「モノイドと群の淡中再構成」というシリーズ記事を書いています。第1回兼ハブ記事は「モノイドと群の淡中再構成 1/n」です。
このシリーズの目的は、さらに過去に書いた「米田埋め込みの繰り返しと淡中再構成」で言ってることで：
淡中再構成〈Tannaka reconstruction〉を、米田の補題の直接的で簡単な応用として記述したい、ということです。米田の補題を知っていれば、（古典的・初等的な）淡中再構成は当たり前に見えるようにしたい、と。
米田の補題と米田埋め込みを知っていれば、そこから（モノイドの）淡中再構成までは遠くありません。直感的で雑な議論では、淡中再構成のメカニズムはかなり単純で、「モノイドと群の淡中再構成 2/n ： 概要 // 淡中再構成定理とは」で述べた次の同型はほぼ自明に感じるでしょう。$`\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\mbf}[1]{ \mathbf{#1} }
\newcommand{\In}{ \text{ in }}
`$
$`\quad M \cong \widetilde{M} \In \mbf{Mon}`$
淡中再構成をドライブする基本公式のキャッチフレーズは：
「よ」と「よ」で「た」
これは、次の自然同型を意味しています。
$`\quad よ*よ \cong た`$
$`よ`$ は米田埋め込みで、アスタリスク $`*`$ は関手の図式順結合〈合成〉、同型右辺の $`た`$ は淡中変換（圏論版のゲルファント変換）です。
米田埋め込みが充満忠実なことは米田の補題から出ることです。充満忠実関手どうしを結合しても充満忠実なので、$`よ*よ`$ は充満忠実です。上記の自然同型から淡中変換も充満忠実です。「モノイドと群の淡中再構成 3/n ： End と Aut」で述べた、「関手 $`F`$ が充満忠実なら、$`\mrm{End}_F`$ はファイバーごとに同型である」を適用すると、それで（モノイドの）淡中再構成は出来てしまいます。
「簡単でしょ」と言いたいのですが、簡単じゃないところがあります。“直感的で雑な議論”ではなくて、ちゃんとやろうとすると、$`よ`$ と $`よ`$ の結合〈合成〉は出来ないんですよね。そのことは「米田埋め込みの繰り返しと淡中再構成」に書いています。「モノイドと群の淡中再構成 1/n // 共変関手と反変関手」でも触れています。
米田埋め込みにしろ淡中変換にしろ、二項関手〈双関手〉のカリー化と関手の結合だけで構成しています。やってることはほんと簡単なんですよ。しかし、そこに共変関手／反変関手の問題が絡むとややこしくなります。以下の記事でも「ややこしい」と言っています。
過去記事「反対圏／反変関手と、2-圏のストリング図」で述べたように、ほんとの反変関手を含む圏達の2-圏を考えるのは一案です。共変関手と反変関手の結合が素直にできます。しかし、別なところで歪みが生じます。反変関手と共変関手のあいだの自然変換はどう定義したらいいでしょう？ なんだかよく分かりません。“あちらを立てればこちらが立たず”な状況で難しい。
反変・共変関手とカリー化と結合を、厳密で辻褄があった形で提示できれば、“直感的で雑な議論”と $`よ*よ \cong た`$ を合理化できるんですが ‥‥ 悪戦苦闘しております。
