モナドの靴を履いたスパンとファミリー、そして二重圏 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

集合圏のスパンの一般化として、スパンの足をモナド（比喩的に靴）で修飾したものを考えることができます。バンドル-ファミリー対応により、靴を履いたスパンをファミリー化できます。さらに、ファミリーの値の圏〈ターゲット圏〉を集合圏以外にすると、豊穣化された靴履きファミリーを定義できます。

豊穣化された靴履きファミリー達をうまく計算するには、二重圏を組み立てるのが良さそうです。とりあえず、二重圏に向けての方針・計画を述べます。$`\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} }
\newcommand{\mbf}[1]{ \mathbf{#1} }
\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
%\newcommand{\u}[1]{ \underline{#1} }
\newcommand{\o}[1]{ \overline{#1} }
\newcommand{\id}{ \mathrm{id}}
\newcommand{\Id}{ \mathrm{Id}}
\newcommand{\op}{ \mathrm{op}}
\newcommand{\In}{ \text{ in }}
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\H}{\text{-}}
\newcommand{\base}[1]{ {{#1}\!\lrcorner} }
`$

内容：

モナドの靴を履いたスパン
靴履きスパンから靴履きファミリーへ
豊穣靴履きファミリー
二重圏へ

関連する過去記事：

モナドの靴を履いたスパン

スパンやモナドは、すべて集合圏において考えます。集合圏のスパンは次の形をしています。

$`\quad \xymatrix{
{}
& E \ar[dl]_f \ar[dr]^g
&{}
\\
A
&{}
&B
}\\
\quad \In \mbf{Set}`$

スパン〈span〉（という構造）の構成素の呼び名〈役割り名〉は以下のとおりです。

$`E`$ を、スパンのボディ〈body〉と呼ぶ。
$`A`$ を、スパンの左足〈left foot〉と呼ぶ。
$`B`$ を、スパンの右足〈right foot〉と呼ぶ。
$`f`$ を、スパンの左脚〈left leg〉と呼ぶ。
$`g`$ を、スパンの右脚〈right leg〉と呼ぶ。

集合圏上のモナド〈monad over $`\mbf{Set}`$〉を、記号の乱用により次のように書きます。

$`\quad P = (P, \mu^P, \eta^P)/\mbf{Set}`$

モナドとモナドの台関手〈underlying functor〉を同じ記号で表します。今は集合圏上のモナドしか考えないので、$`/\mbf{Set}`$ は省略してかまいません。

$`P, S`$ を集合圏上の2つのモナド（同じモナドでもよい）として、次の形のスパンを考えます。

$`\quad \xymatrix{
{}
& E \ar[dl]_f \ar[dr]^g
&{}
\\
P(X)
&{}
&S(Y)
}\\
\quad \In \mbf{Set}`$

行きがかり上、モナド $`P`$ を左靴〈left shoe〉、モナド $`S`$ を右靴〈right shoe〉と呼びます。上の形のスパンを、靴を履いたスパン〈span with shoes〉と呼ぶことにします（行きがかり上）。短く靴履きスパンともいいます。

通常のスパンは裸足ですが、自明なモナド $`(\mrm{Id}_{\mbf{Set}}, \mrm{ID}_{\mrm{Id}_{\mbf{Set}}}, \mrm{ID}_{\mrm{Id}_{\mbf{Set}}})`$ の靴を両足に履いているともいえます。したがって、通常のスパンと靴履きスパンは排他的ではなくて、通常のスパン〈裸足のスパン〉は特別な靴履きスパンです。

靴履きスパンは、（名前は付けてませんでしたが）以下の過去記事で導入したものです。

靴履きスパンから靴履きファミリーへ

靴履きスパン $`P(X)\overset{f}{\leftarrow} E \overset{g}{\to} S(Y)`$ があると、左脚と右脚をデカルト・ペアリングでまとめて、次のバンドルを作れます。

$`\quad \xymatrix{
E \ar[d]^{\langle f, g\rangle}
\\
P(X)\times S(Y)
}\\
\quad \In \mbf{Set}
`$

バンドル-ファミリー対応（「バンドル-ファミリー対応再考」参照）により、以下のようなファミリーに変換できます。

$`\quad P(X)\times S(Y) \to |\mbf{Set}| \In \mbf{SET}`$

この形のファミリーは単なるファミリーではなくて、ベース（ファミリーの域〈ドメイン〉である集合）が、モナドを含む特別な形をしています。靴履きスパンから翻訳した概念なので、「靴履き」を踏襲して靴履きファミリー〈family with shoes〉と呼ぶことにします。左靴 $`P`$ と右靴 $`S`$ を履いたファミリーです。

通常のファミリーとファミリー達が形成する圏については、最近の記事で述べています。「ベース」「ファイバー」「ベースパート」「ファイバーパート」「ファミリー射」などの用語は下記過去記事を参照してください。

モノイドと群の淡中再構成 3/n ： End と Aut // ファミリー達の圏

靴履きファミリー達の圏は、少し追加変更が必要です。

左靴 $`P`$ と右靴 $`S`$ を履いたファミリー達の圏を、$`\mbf{Fam}_{(\mbf{Set}, P, S)}`$ とします。$`(\mbf{Set}, P, S)`$ は、2つのモナドとモナドのルート圏〈基礎圏〉を示しています。ファミリーのベースは集合のペア $`(X, Y)`$ でインデックスされす。ペア $`(X, Y)`$ でインデックスされる集合をベースとする靴履きファミリー達の圏は次のように書きます。

$`\quad \mbf{Fam}_{(\mbf{Set}, P, S)}[(X, Y)] \;\ \in |\mbf{CAT}|`$

丸括弧は適宜省略してかまいません。例えば、$`\mbf{Fam}_{\mbf{Set}, P, S}[X, Y]`$ と書いてもいいです。

圏 $`\mbf{Fam}_{(\mbf{Set}, P, S)}[X, Y]`$ の対象は次の形の靴履きファミリーです。

$`\quad F:P(X)\times S(Y) \to |\mbf{Set}| \In \mbf{SET}\\
\quad G:P(X)\times S(Y) \to |\mbf{Set}| \In \mbf{SET}
`$

この圏の射 $`\varphi : F \to G`$ は、ファイバーパートのみで、次の形をしています。

$`\quad \varphi = (\varphi_{x, y})_{x\in P(X), y\in S(Y)}\\
\text{Where}\\
\quad \varphi_{x, y} : F(x, y) \to G(x, y) \In \mbf{Set}
`$

一般的には、靴履きファミリー $`F`$ と靴履きファミリー $`G`$ のベースが異なります。次のように：

$`\quad F:P(X)\times S(Y) \to |\mbf{Set}| \In \mbf{SET}\\
\quad G:P(Z)\times S(W) \to |\mbf{Set}| \In \mbf{SET}
`$

この場合のファミリー射（正確には靴履きファミリー射〈morphism between families with shoes〉）はベースパートが必要です。ベースパートは、以下のような写像のペア $`(f, g)`$ でインデックスされます。

$`\quad f:X \to Z \In \mbf{Set}\\
\quad g:Y \to W \In \mbf{Set}
`$

$`\mbf{Fam}_{(\mbf{Set}, P, S)}[Z, W]`$ の射である $`G`$ は、$`P(f)\times S(g)`$ を使って、$`\mbf{Fam}_{(\mbf{Set}, P, S)}[X, Y]`$ 内に引き戻せます。

$`\quad (P(f)\times S(g) )^*(G) = G\circ ( P(f)\times S(g)) \;: P(X)\times S(Y) \to |\mbf{Set}| \In \mbf{SET}`$

そしたら、$`\mbf{Fam}_{(\mbf{Set}, P, S)}[X, Y]`$ 内で $`F \to (P(f)\times S(g) )^*(G)`$ を考えればいいのです。それが靴履きファミリーのあいだの射です。

つまり、ベースが異なるかも知れない $`F, G`$ のあいだのファミリー射 $`\varphi`$ は、次のようなベースパートとファイバーパートを持ちます。

$`\quad \base{\varphi} = (f, g)\\
\text{Where}\\
\quad f:X \to Z \In \mbf{Set}\\
\quad g:Y \to W \In \mbf{Set}
`$

$`\quad \varphi^\flat = (\varphi^\flat_{x, y})_{x\in P(X), y\in S(Y)}\\
\text{Where}\\
\quad \varphi^\flat_{x, y} : F(x, y) \to G(P(f)(x), S(g)(y) )
`$

以上の定義はちょっとモヤッとしたところがあるかも知れません。一発で正確に $`\mbf{Fam}_{(\mbf{Set}, P, S)}`$ を定義したいなら、圏 $`\mbf{Set}\times\mbf{Set}`$ をベース圏〈インデキシング圏〉とするインデックス付き圏〈indexed category〉$`\mbf{Fam}_{(\mbf{Set}, P, S)}[\hyp]`$ を考えて、グロタンディーク構成すればOKです。

$`\quad \mbf{Fam}_{(\mbf{Set}, P, S)} := {\displaystyle \int_{\mbf{Set}\times\mbf{Set}}} \mbf{Fam}_{(\mbf{Set}, P, S)}[\hyp]`$

豊穣靴履きファミリー

$`F`$ が、左靴 $`P`$ 、右靴 $`S`$ を履いた靴履きファミリーだとは、
$`\quad F:P(X)\times S(Y) \to |\mbf{Set}| \In \mbf{SET}`$
であることでした。$`F`$ の値は集合圏の対象（つまり集合）です。ファミリーの値の圏〈ターゲット圏〉を、集合圏以外も許すことにします。

$`\cat{V}`$ を圏だとします。$`\cat{V}`$ に対して、後で色々と条件を付けますが、今はとりあえず単なる圏だとしておきます。次のような写像は意味があります。

$`\quad F:P(X)\times S(Y) \to |\cat{V}| \In \mbf{SET}`$

集合圏 $`\mbf{Set}`$ を一般的な圏 $`\cat{V}`$ に置き換えても、前節の構成はできます。グロタンディーク構成を使って、次のように定義しましょう。

$`\quad \mrm{Fam}_{(\mbf{Set}, P, S)}(\cat{V}) := {\displaystyle \int_{\mbf{Set}\times\mbf{Set}}} \mrm{Fam}_{(\mbf{Set}, P, S)}[\hyp](\cat{V})`$

念の為、グロタンディーク構成を施す対象物であるインデックス付き圏を $`\cat{F} = \cat{F}[\hyp]`$ と置いて、$`\cat{F}`$ を記述しておきます。$`\cat{F}`$ は、次のような関手です。

$`\quad \cat{F}: (\mbf{Set}\times \mbf{Set})^\op \to {_1 \mbf{CAT}} \In \mathbb{CAT}
`$

ここで、$`{_1 \mbf{CAT}}`$ は、圏達の2-圏から2-射〈自然変換〉を捨てて1-圏とみなしたものです。$`{_1 \mbf{CAT}}`$ は、とても大きな圏〈very large category〉達の1-圏達の2-圏 $`\mathbb{CAT}`$ の対象です。

関手 $`\cat{F}`$ の対象パートは次のとおりです。

$`\quad \text{For }(X, Y)\in |\mbf{Set}\times \mbf{Set}|\\
\quad \cat{F}[(X, Y)] := \mbf{CAT}(\mrm{DiscCat}(P(X)\times S(X)), \cat{V})\;\in |\mbf{CAT}|
`$

$`\mrm{DiscCat}`$ は、集合を離散圏とみなす関手です。$`\mbf{CAT}(\hyp, \hyp)`$ は、2-圏 $`\mbf{CAT}`$ のホム圏です。外部ホムは圏となるので、$`\cat{F}[(X, Y)]`$ は圏になります。$`\cat{F}[(X, Y)]`$ の対象が靴履きファミリー（実体は関手）であり、射が靴履きファミリーのあいだの（ペースパートが恒等な）ファミリー射（実体は自然変換）です。

関手 $`\cat{F}`$ の射パートは次のとおりです。

$`\quad \text{For }(f, g):(X, Y)\to (Z, W)\In \mbf{CAT}\times \mbf{CAT}\\
\quad \cat{F}[(f, g)] := (P(f)\times S(g))^*\\
\qquad : \mbf{CAT}(\mrm{DiscCat}(P(Z)\times S(W)), \cat{V}) \to
\mbf{CAT}(\mrm{DiscCat}(P(X)\times S(Y)), \cat{V}) \In \mbf{CAT}
`$

$`(P(f)\times S(g))^*`$ は、写像のプレ結合による引き戻しです。ファミリーだけでなくて、ファミリーのあいだの射（自然変換）も引き戻します。ファミリーのあいだの射も、値が射であるファミリーなので、同様に引き戻せるのです。

$`\cat{F}[(X, Y)]`$ が圏（$`{_1 \mbf{CAT}}`$ の対象）となることは、定義から明らかですが、$`\cat{F}[(f, g)]`$ が関手となることは確認が必要です。律儀に調べれば分かります。

以上により、$`\cat{F}`$ が、$`\mbf{Set}\times \mbf{Set}`$ 上の（厳密な）インデックス付き圏（圏を値とする反変関手）であることが分かったので、グロタンディーク構成を適用できます。

グロタンディーク構成で作られた圏 $`\mrm{Fam}_{(\mbf{Set}, P, S)}(\cat{V})`$ を、豊穣圏〈enriched category〉に倣って$`\cat{V}`$-豊穣靴履きファミリー〈$`\cat{V}`$-enriched family with shoes〉と呼ぶことにします。豊穣靴履きファミリーの圏は、左右の靴となる2つのモナド $`P,Q`$ と、豊穣化ベース圏〈enriching base category〉$`\cat{V}`$ により決まります。

二重圏へ

前節で定義した$`\cat{V}`$-豊穣靴履きファミリー達の圏 $`\mrm{Fam}_{(\mbf{Set}, P, S)}(\cat{V})`$ をもとにして二重圏を構成したいと思います。現時点で、構成法が完全に分かっているわけではないのですが、二重圏の名前は $`\cat{V}\H\mathbb{Mat}_{(\mbf{Set}, P, Q, \delta)}`$ とします。この二重圏は、ある種の行列〈matrix〉達の圏だと言えなくもないので、Mat を使っています。$`(\mbf{Set}, P, Q, \delta)`$ は、集合圏上の2つのモナドとベックの分配法則からなる系〈システム〉です。二重圏の構成には分配法則が必要になります。

二重圏（まだチャンと定義してないけど）$`\cat{V}\H\mathbb{Mat}_{(\mbf{Set}, P, Q, \delta)}`$ の二重射〈double morphism〉は次の形をしています。

$`\quad \xymatrix{
X \ar[r]|{/}^F \ar[d]_f
\ar@{}[dr]|{\Downarrow\, \varphi}
&Y \ar[d]^g
\\
Z \ar[r]|{/}_G
&W
}`$

$`X, Y, Z, W`$ は集合で、二重圏の対象（二重圏の対象は集合）。
$`f, g`$ は集合のあいだの写像で、二重圏のタイト射。
$`F, G`$ は$`\cat{V}`$-豊穣靴履きファミリーで、二重圏のプロ射。つまり、この二重圏のプロ射は、両端の集合の左右に靴 $`P, Q`$ を履かせた豊穣ファミリー。
$`\varphi`$ は$`\cat{V}`$-豊穣靴履きファミリーのあいだの射で、二重圏の二重射。

タイト射のタイト方向の結合は、写像の結合です。二重射のタイト方向の結合も、$`\cat{V}`$-豊穣靴履きファミリーの結合として定義できます。

問題は、プロ射のプロ方向への結合です。基本的には、「ベックの分配法則に基づく“一般化圏の製造工場”」で述べた方法で結合の定義が出来るとは思います。しかし、集合圏上のモナド $`P, S`$ には条件を付ける必要がありそうです。

集合圏上のモナド $`P, S`$ はベックの分配法則を備えていますが、それだけではなくて、可換モナド〈commutative monad〉、あるいはモノイド・モナド〈monoidal monad〉であると仮定するべきかも知れません。可換モナドやモノイド・モナドは強い条件ですが、強い条件があれば二重圏の構成は容易になります。

詳しい作り方や必要な条件は、具体例を調べないと見当が付きませんね。左右の靴（2つのモナド）を、ListモナドとMaybeモナドとかにして調べてみますわ。