「二重圏でどんないいことあったの？」より：
いいこと三つ目、「二重圏化と米田モナド」の最後のほうに書いたことですが、「関数：関係：包含 ＝ 関手：プロ関手：制限自然変換」という“比例式”がより鮮明になってきました。
どういうことかと言うと、関数と関係の二重圏 $`\mathbf{RelDC}`$ を定義すると、関手とプロ関手の二重圏 $`\mathbf{ProfDC}`$ とのあいだに強いアナロジーがあるよ、ってことです。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}`$
プロ関手には、様々な解釈と定義があります。
- 双関手〈二項関手〉
- 圏の直積上の離散ファイブレーション
- 米田モナドのクライスリ射（「 二重圏化と米田モナド」参照）
- （圏論的な）双遷移系（「状態遷移系としての前層・余前層・プロ関手」参照）
- 混合圏（「これは良い！ プロ関手の代替としての混合圏」参照）
関係にも同様な解釈と定義があります。
- 二項述語
- 集合の直積の部分集合
- ベキ集合モナドのクライスリ射
- 集合の直積をインデキシング集合とするやせた集合族
- やせた片方向二部有向グラフ
アナロジーに関して注意すべき点がいくつかあります。
- プロ関手の標準的な定義は二項関手だが、関係の標準的な定義は部分集合。どれを標準として採用するかはズレている。
- 部分集合 $`R\subseteq A\times B`$ を包含写像 $`R\hookrightarrow A\times B`$ と考えると、離散ファイブレーションとのアナロジーがハッキリする。
- 関係においては、状態遷移の左作用・右作用が無意味（恒等射による作用だけ）になってしまうので、双遷移系と集合族のアナロジーは分かりにくいかも知れない。なお、「やせた」は値が空集合か単元集合であること。
- “やせた片方向二部有向グラフ”は馴染みがないかも知れない（下に説明）
“やせた片方向二部有向グラフ”の説明をします； 有向グラフ $`(E, V, \mrm{src}, \mrm{trg})`$ の頂点集合 $`V`$ が2つの部分 $`A, B`$ に分割されているとします。
$`\quad V = A\cup B\\
\quad A\cap B = \emptyset
`$
このとき、辺（集合 $`E`$ の要素）$`e`$ は次のように分類されます。
- $`\mrm{src}(e)\in A`$ かつ $`\mrm{trg}(e)\in A`$
- $`\mrm{src}(e)\in A`$ かつ $`\mrm{trg}(e)\in B`$
- $`\mrm{src}(e)\in B`$ かつ $`\mrm{trg}(e)\in A`$
- $`\mrm{src}(e)\in B`$ かつ $`\mrm{trg}(e)\in B`$
二番目の種類の辺しか持たない有向グラフが片方向二部有向グラフ〈one-way bipartite directed graph〉です。
やせたグラフ〈thin graph〉は、2つの頂点のあいだの辺が高々1本であるグラフです（単純グラフともいいます）。
やせた片方向二部有向グラフは、非常に特別な形の混合圏になります。「これは良い！ プロ関手の代替としての混合圏」の定義と比べてみてください。
関数と関係の二重圏 $`\mathbf{RelDC}`$ は、関手とプロ関手の二重圏 $`\mathbf{ProfDC}`$ に比べてずっと単純なので、計算や確認が容易で便利です。また、$`\mathbf{ProfDC}`$ の特殊ケースとして $`\mathbf{RelDC}`$ を見ると、新たな発見があるかも知れません。
