このブログの更新は X（旧Twitter）アカウント @m_hiyama で通知されます。
Follow @m_hiyama

ご連絡は上記 X アカウントに DM にてお願いします。

［参照用 記事］

CW指標とCWテレスコープ（実例）

雑記／備忘

基本的な素材から構成される構造物を記述するためのほぼ唯一の手段が指標です。型理論の「コンテキスト」は「指標」の同義語です。その他に「仕様」「表示〈presentation〉」「セオリー」「ボキャブラリー」と呼ばれることもあります。プログラミング言語では、インターフェイス、型クラス、プロトコル、トレイト、コンセプト … など。

呼び名もイッパイありますが、指標の書き方の構文はさらに膨大にあります。指標の構文がインフレーション／エクスプロージョンしてしまうのは、それがテキストで書かれているからでしょう。テキスト構文は理論的な扱いにも困ります。そこで、指標を図形として表現することを考えます。CW指標とは図形として表現した指標のことで、CWテレスコープはCW指標の構築過程の記述です。

この記事ではCW指標とCWテレスコープを実例により説明します。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
%\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}}
%\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\hyp}{ \text{－} }
\newcommand{\H}{ \text{-} }
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow}
%
\newcommand{\T}[1]{ \text{#1} }
\require{color}
%\newcommand{\red}[1]{ \textcolor{red}{#1}}
\newcommand{\orange}[1]{ \textcolor{orange}{#1}}
\newcommand{\mage}[1]{ \textcolor{magenta}{#1}}
%\newcommand{\blue}[1]{ \textcolor{blue}{#1}}
%
\require{color}
\newcommand{\NX}[1]{ \textcolor{orange}{ {#1}} } % New eXpression
%\newcommand{\KX}[1]{ \textcolor{blue}{#1} } % Known eEXpression
%\newcommand{\VN}[1]{ \textcolor{violet}{ {#1}} } % Variable Name
%\newcommand{\KO}[1]{ \mathop{\textcolor{blue}{ {#1}}} } % Known Operator
%
\newcommand{\SWArrow}{\style{display: inline-block; transform: rotate(-45deg)}{\Leftarrow} }
\newcommand{\SEArrow}{\style{display: inline-block; transform: rotate(45deg)}{\Rightarrow} }
\newcommand{\NEArrow}{\style{display: inline-block; transform: rotate(-45deg)}{\Rightarrow} }
\newcommand{\VEQ}{\style{display: inline-block; transform: rotate(90deg)}{\Rrightarrow} }
`$

内容：

はじめに： 絵図表現へ

「テキスト表現から絵図表現〈{pictorial | graphical | diagrammatic} expression〉へ」というのは、僕の長年のテーマです。ひとつの課題として、テキストで書かれた指標を図形として描くことがあります。ここでの図形は組み合わせ幾何的対象物（「組み合わせ的対象物の位相的実現」参照）です。図形を純粋に組み合わせ的な対象物〈purely combinatorial object〉とみなすこともありますが、図形というからにはやはり目視可能な幾何実現を備えているとします。

図形〈絵図〉の問題点は、高次元になると人間の視覚的認識にはかからないことです。視認〈目視〉可能な図形は3次元までで、それ以上は認識できません。とある1次元方向を時間方向にみたてて、4次元図形をムービー〈アニメーション〉で表現することはできます。が、それでも4次元までです。

とはいえ、低次元なら描画〈レンダリング〉できるし、低次元で培った直感やスキルは高次元を理解する足がかりになります。低次元しか扱えないから無意味とはなりません。

3次元までは描画と視認が可能なのですが、では3次元の図形〈絵図〉が容易に描画できるか？ というと、そうではありません。現状としては、３次元図形を２次元キャンバスに描くことが多いです。そのときの描画の技法として次があります。

  1. 見取り図
  2. 分解展開図
  3. 射影図
  4. 断面図

見取り図は、目に見えている像とほぼ同じ姿を描く図法です。写真に撮るのと同じですが、見えてないところを点線で描くとかもします。描く労力が大変なので、ここでは使いません。

分解展開図は、もとの図形を分解または展開した結果を2次元内に描く技法です。例えば、ピラミッドの表面である2次元図形（位相的には球面と同相）を四角形1つと三角形3つに分解すると次のようになります。

$`\xymatrix{
\cdot \ar@{-}[r]^a \ar@{-}[d]_d
&\cdot \ar@{-}[d]^b
\\
\cdot \ar@{-}[r]_c
&\cdot
}
\xymatrix@C-1.4pc{
{}
&X \ar@{-}[dl]_p \ar@{-}[dr]^q
&{}
\\
\cdot \ar@{-}[rr]_a
&{}
&\cdot
}
\xymatrix@C-1.4pc{
{}
&X \ar@{-}[dl]_q \ar@{-}[dr]^r
&{}
\\
\cdot \ar@{-}[rr]_b
&{}
&\cdot
}
\xymatrix@C-1.4pc{
{}
&X \ar@{-}[dl]_r \ar@{-}[dr]^s
&{}
\\
\cdot \ar@{-}[rr]_c
&{}
&\cdot
}
\xymatrix@C-1.4pc{
{}
&X \ar@{-}[dl]_s \ar@{-}[dr]^p
&{}
\\
\cdot \ar@{-}[rr]_d
&{}
&\cdot
}
`$

分解展開図のキモは、実際に描かれているパーツをラベルを目安に貼り合わせることです。描かれている図形をそのまんま認識するのではありません。同じラベルが付いている辺・頂点を同一視するのが貼り合わせのルールなので、ラベルがないと「どう貼り合わせるか？」分かりません。

それと注意すべきは、上の分解展開図の四角形と三角形が2次元図形であることです。何の説明・注記もなければ1次元図形（四辺形と三辺形）にも見えます。もし1次元図形だと解釈すると、貼り合わせてピラミッド形にはなりますが、床も壁もないスッカスカの骨組みです。図形の次元が誤認されるのはけっこう深刻な問題で「n角形の対角線とペースティング図」で対策を述べています。

射影図と断面図は今回は使わないので説明はしませんが、重要な描画技法です。

今回の話題は、テキストで書かれた指標を図形化して、その図形を分解展開図により描くことです。分解展開された個々のパーツはペースティング図です。したがって、図形の分解展開図とは、幾つかのペースティング図（パーツ）を並べたものです。パーツ達の貼り合わせの目安にラベルが使われます。

「CW」について

次のブロニの論文には色々面白いことが書かれています。

この論文のなかに、CW-presentation という言葉が出てくるのですが、「CW、‥‥なるほど、これはいいかも」と思いました。それで、図形化した指標をCW指標〈CW signature〉と呼ぶことにしました。図形を作る過程の記述はCWテレスコープ〈CW telescope〉です。「テレスコープ」は、「テレスコープと包括クラン // テレスコープ」のテレスコープと同じ意図、ほぼ同じ意味です。

「CW」はCW複体にちなみます。CW複体とは、位相幾何学〈トポロジー〉の概念で、胞体〈セル〉と呼ばれる基本的な図形を貼り合わせて作った図形のことです。

「CW」は Closure-finite, Weak topology の頭文字のようです。Google検索のAI要約によると：

The "CW" in CW complex stands for "closure-finite with the weak topology". This means a CW complex is a space that can be constructed by attaching cells of to a base space, and it satisfies two key properties:

  • the Closure of each cell intersects only finitely many other cells, and
  • it uses the Weak topology, where a set is open if and only if its intersection with the closure of each cell is open.

しかし、語源は別にどうでもよくて、形容詞としての「CW」は位相幾何学的〈トポロジカル〉程度の意味だと解釈します。「CW指標」なら、指標の位相幾何学的な定式化ということです。

実例：半群が右作用する集合

$`(S, m)`$ が半群であって、集合 $`X`$ に右から作用している構造を考えます。この構造は次のような指標で定義されます。

$`\T{signature SemigroupRightAction }\{\\
\quad \T{sort }\orange{S} \In \mbf{Set}\\
\quad \T{operation }\orange{m} : S \times S \to S \In \mbf{Set}\\
\quad \T{equation }\orange{\text{mult-assoc}} :: \\
\qquad (\id_S \times m); m \twoto \alpha_{S, S, S}; (m \times \id_S); m
: (S\times S)\times S\to S \In \mbf{Set}\\
\quad \T{sort }\mage{X} \In \mbf{Set}\\
\quad \T{operation }\mage{r} : X\times S \to X \In \mbf{Set}\\
\quad \T{equation }\mage{\text{ract-assoc}} ::\\
\qquad (r\times \id_S); r \twoto \alpha_{X, S, S}; (\id_X\times m); r : (X\times S)\times S \to X \In \mbf{Set}\\
\}
`$

幾つかの注意事項：

  1. 初出の構成素役割り名〈constituent role name〉はオレンジ色またはマゼンタで色付けしています。オレンジ色は半群の構成素、マゼンタは右作用の構成素です。
  2. equation〈等式〉といいながら、イコールではなくて $`\twoto`$ なのは、等式を2-射とみなしているからです。
  3. $`\alpha_{\hyp, \hyp, \hyp}`$ は、直積の結合律子〈associator〉です。集合の直積演算は厳密には結合的〈associative〉ではありません。$`\alpha_{\hyp, \hyp, \hyp}`$ が、$`(S\times S)\times S \cong S\times(S\times S)`$ などの同型を与えます。

$`\text{mult-assoc}`$（乗法の結合法則）と $`\text{ract-assoc}`$（右作用の結合法則）という2つの法則を、ストリング図で描いてみると以下のようです。

オレンジ色の丸が $`m`$ で、マゼンタの三角が $`r`$ です。ワイヤーがグニッと曲がっているところは以下の結合律子〈associator〉です。

$`\quad \alpha_{S, S, S} :: (S\times S)\times S \to S\times (S \times S)\In \mbf{Set}\\
\quad \alpha_{X, S, S} :: (X\times S)\times S \to X\times (S \times S)\In \mbf{Set}
`$

指標に出現している構成素役割り名〈ラベル〉に対する呼び名は次のようです。

$`\text{ラベル}`$ 呼び名〈用語〉
$`S`$ 半群の台集合
$`m`$ 半群の乗法〈二項演算〉
$`\text{mult-assoc}`$ 半群の（乗法の）結合法則
$`X`$ 状態空間
$`r`$ 右作用
$`\text{ract-assoc}`$ 右作用の結合法則

指標構文の変更

前節の指標の構文を変更します。

  1. 常に集合圏で考えることを前提として、$`\In \mbf{Set}`$ は省略する。
  2. 直積は厳密モノイド積ではないが、あたかも厳密モノイド積のように扱って、結合律子〈associator〉と単位律子〈unitor〉は書かない。
  3. 対象の直積も射の直積も、$`\times`$ ではなくて単なるリストとして書く。$`S\times S`$ は $`(S, S)`$ 、$`\id_S \times m`$ は $`(\id_S, m)`$ と書く。
  4. 2-射のプロファイル（域と余域の仕様）で、1-射のプロファイルは省略してもよい（書くのを禁止はしないけど）。

直積を厳密モノイド積として扱うことは、モノイド圏の厳密化〈strictification〉により正当化できます。$`(S,S)`$ などは、厳密化したモノイド積の記法だと解釈できます。

上記のように変更した構文で半群の右作用の指標を書くと次のようです。

$`\T{signature SemigroupRightAction }\{\\
\quad \T{sort }\orange{S}\\
\quad \T{operation }\orange{m} : (S, S) \to S\\
\quad \T{equation }\orange{\text{mult-assoc}} :: (\id_S, m); m \twoto (m, \id_S); m\\
\quad \T{sort }\mage{X}\\
\quad \T{operation }\mage{r} : (X, S) \to X\\
\quad \T{equation }\mage{\text{ract-assoc}} :: (\id_X, m); r \twoto (r, \id_S); r\\
\}
`$

恒等射は特別な射です。射が恒等射であることを、以下のどちらかで表すことにします。

  1. 矢印の上にイコール記号を乗せる： $`f : A \overset{=}{\to} B`$
  2. 先頭に $`\text{id}`$ を入れる： $`\text{id } f : A {\to} B`$

両方を併用して $`\text{id } f : A \overset{=}{\to} B`$ も禁止はしません。

1-射でなくて2-射のときも同様です。恒等2-射は：

  1. 二重矢印の上にイコール記号を乗せる： $`\alpha :: f \overset{=}{\twoto} g`$
  2. 先頭に $`\text{id}`$ を入れる： $`\text{id } \alpha :: f {\twoto} g`$

結合法則を記述している2-射は、集合圏の恒等2-射なので、この約束を適用しましょう。（先頭に $`\text{equation}`$ と書いてあるので、イコール記号を乗せなくても誤解は生じませんが。）

$`\T{signature SemigroupRightAction }\{\\
\quad \T{sort }\orange{S}\\
\quad \T{operation }\orange{m} : (S, S) \to S\\
\quad \T{equation }\orange{\text{mult-assoc}} :: (\id_S, m); m \overset{=}{\twoto} (m, \id_S); m\\
\quad \T{sort }\mage{X}\\
\quad \T{operation }\mage{r} : (X, S) \to X\\
\quad \T{equation }\mage{\text{ract-assoc}} :: (\id_X, m); r \overset{=}{\twoto} (r, \id_S); r\\
\}
`$

構文をもっと単純化する必要がありますが、いったんここまでにして、この指標からどんな図形ができるかを見ておきましょう。

CW指標／CWテレスコープの実例

半群の右作用の指標（テキスト版）のCW指標（絵図版）は、2次元と3次元のセルも持つ一般化高次グラフ〈generalized higher {dimensional} graph〉です。より具体的には「等式的2-グラフ（2-圏の記述のために）」で紹介している等式的2-グラフです。2次元までのセル達を考えれば（3次元のセル達を捨てれば）、それは通常のペースティング図で描けます。3次元のセルは、2つの2次元グラフのあいだの遷移〈transition〉として記述します。

半群の右作用の指標には2-射（等式）までしかないのに何故3次元か？ と疑問に感じるでしょう。モノイド積（集合の直積と写像の直積）を表現するために、次元を追加しているからです。唯一の0-射〈対象〉を追加して、それまでの0-射を1-射にして、それまでの1-射を2-射にして、それまでの2-射を3-射にする作業をするので、3-射（高次グラフの3次元セル）が出現します（詳しくは後述）。

CW指標が出来上がるまでの中間段階である一般化グラフ達を並べたリストがCWテレスコープです。$`X`$ がCWテレスコープなら、次の形をしています。

$`\quad X = (X_0, X_1, \cdots, X_{L - 1})`$

自然数 $`L`$ がリストの長さです。インデックスを $`0`$ から始めているので最後のインデックスが $`L - 1`$ です。インデックスが一般化グラフの次元と一致する場合は、正規形〈normal form〉のCWテレスコープと呼びます。以下に挙げる半群の右作用のCWテレスコープは正規形なので、次の形をしています。

$`\quad X = (X_0, X_1, X_2, X_3)`$

各 $`X_i`$ は、分解展開図の図法により描いているので、貼り合わせのためのラベルが付いた幾つかのペースィング図です。ラベルは名前ではなくて自然数です。例外は0次元セルのラベルで、行きがかり上黒塗りの星印です。

以下に、半群の右作用の指標に対するCWテレスコープ $`X = (X_0, X_1, X_2, X_3)`$ を示します。

$`X_0`$：

$`\quad \star`$

ただ1つの0-セルです。

$`X_1`$：

$`\quad \xymatrix{
\star \ar[r]^0
&\star
}
\xymatrix{
\star \ar[r]^1
&\star
}`$

2つの1-セルです。貼り合わされると、$`\star`$ を基点〈base point〉とする2本のループになります。

$`X_2`$：

$`\quad \xymatrix{
{}
&{\star}\ar[dr]^0
&{}
\\
{\star} \ar[ur]^0 \ar[rr]_0
\ar@{.}@/^1pc/[rr]|{0\Downarrow}
&{}
&{\star}
}
\quad \xymatrix{
{}
&{\star}\ar[dr]^0
&{}
\\
{\star} \ar[ur]^1 \ar[rr]_1
\ar@{.}@/^1pc/[rr]|{1\Downarrow}
&{}
&{\star}
}
`$

2面の2-セルです。点線で描いている対角線〈仕切り線〉については「n角形の対角線とペースティング図」を参照してください。2つの面を貼り合わせると、見取り図で描くのが難しい図形になります。無理に貼り合わせなくても、分解展開図の形で理解しておけば十分です。

$`X_3`$：

$`% No.1
\quad \xymatrix@R+1pc@C-0.5pc{
{}
&{\star} \ar[rr]^0
&{}
&{\star} \ar[dr]^0
&{}
\\
{\star} \ar[ur]^0 \ar[rrrr]_0 \ar[urrr]|0
\ar@{.}@/^1pc/[urrr]|{0\SEArrow} \ar@{.}@/^1.4pc/[rrrr]|{0\Downarrow}
&{}
&{}
&{}
&{\star}
}
%
\underset{0}{\overset{=}{\Rrightarrow}}
%
\quad \xymatrix@R+1pc@C-0.5pc{
{}
&{\star} \ar[rr]^0 \ar[drrr]|0
\ar@{.}@/^1pc/[drrr]|{0\SWArrow}
&{}
&{\star} \ar[dr]^0
&{}
\\
{\star} \ar[ur]^0 \ar[rrrr]_0
\ar@{.}@/^1.4pc/[rrrr]|{0\Downarrow}
&{}
&{}
&{}
&{\star}
}
`$

$`% No.2
\quad \xymatrix@R+1pc@C-0.5pc{
{}
&{\star} \ar[rr]^0
&{}
&{\star} \ar[dr]^0
&{}
\\
{\star} \ar[ur]^1 \ar[rrrr]_0 \ar[urrr]|1
\ar@{.}@/^1pc/[urrr]|{1\SEArrow} \ar@{.}@/^1.4pc/[rrrr]|{1\Downarrow}
&{}
&{}
&{}
&{\star}
}
%
\underset{1}{\overset{=}{\Rrightarrow}}
%
\quad \xymatrix@R+1pc@C-0.5pc{
{}
&{\star} \ar[rr]^0 \ar[drrr]|0
\ar@{.}@/^1pc/[drrr]|{0\SWArrow}
&{}
&{\star} \ar[dr]^0
&{}
\\
{\star} \ar[ur]^1 \ar[rrrr]_1
\ar@{.}@/^1.4pc/[rrrr]|{1\Downarrow}
&{}
&{}
&{}
&{\star}
}
`$

上段と下段がそれぞれ1つの3-セルで、合計2つの3-セルです。上段・下段それぞれの左右の境界は円周と同相な図形です。2つの2-セルを境界の円周で張り合わせると球面で、球面の内部を3-セルが埋めるので球体になります*1。つまり、上段の球体と下段の球体ができます。さらなる貼り合わせは気にしなくてもいいでしょう。

テキストで書いた半群の右作用に出現する名前ラベルと、CW指標（の分解展開図）に出現する番号ラベルの対応をまとめます。番号ラベルは k-i の形で、k が次元、i が通し番号です。

$`\text{名前}`$ 番号
$`S`$ 1-0
$`X`$ 1-1
$`m`$ 2-0
$`r`$ 2-1
$`\text{mult-assoc}`$ 3-0
$`\text{ract-assoc}`$ 3-1

ラベルが名前であるか番号であるかは、構造の記述には何の影響も与えません。番号を使えば、恣意性がない標準的なラベリング*2が出来ます。

なお、名前を番号に置き換えることに違和感を感じる人はいるでしょうが、名前は邪魔になります。興味があれば以下の過去記事も参照してください。

テキスト指標からCW指標へ

テキストで書かれた指標を、CW指標（図形、組み合わせ幾何的対象物）へと変換するには3つのことを行います。

  1. 宣言達の再配置（順番の並べ替え）
  2. 次元をずらす
  3. 名前の削除（名前を自然数の番号に置き換える）

まず、宣言先頭のキーワードを単純化します。$`k`$次元の射の宣言の先頭は、$`k\text{-mor}`$ というキーワードにします。射が恒等射のときは $`k\text{-id}`$ にします。そして、次元が小さ順に宣言を並べます。次のようになります。

$`\T{signature SemigroupRightAction }\{\\
\quad \T{0-mor }\orange{S}\\
\quad \T{0-mor }\mage{X}\\
\quad \T{1-mor }\orange{m} : (S, S) \to S\\
\quad \T{1-mor }\mage{r} : (X, S) \to X\\
\quad \T{2-id }\orange{\text{mult-assoc}} :: (\id_S, m); m \overset{=}{\twoto} (m, \id_S); m\\
\quad \T{2-id }\mage{\text{ract-assoc}} :: (\id_X, m); r \overset{=}{\twoto} (r, \id_S); r\\
\}
`$

モノイド圏は単一対象の2-圏とみなせます。この事実を利用して、単一の0-射の宣言を新たに加えて、既存の宣言の次元を1つ上げます。次のようになります。

$`\T{signature SemigroupRightAction }\{\\
\quad \T{0-mor } \star \\
\quad \T{1-mor }\orange{S} : \star \to \star \\
\quad \T{1-mor }\mage{X} : \star \to \star \\
\quad \T{2-mor }\orange{m} :: (S, S) \twoto S\\
\quad \T{2-mor }\mage{r} :: (X, S) \twoto X\\
\quad \T{3-id }\orange{\text{mult-assoc}} ::: (\id_S, m); m \overset{=}{\Rrightarrow} (m, \id_S); m\\
\quad \T{3-id }\mage{\text{ract-assoc}} ::: (\id_X, m); r \overset{=}{\Rrightarrow} (r, \id_S); r\\
\}
`$

宣言に出現する名前を、次元ごとの通し番号に機械的に置き換えます。名前と番号の対応表は前節の最後にあります。非常に可読性が悪くなりますが、実際に置き換えてしまえば：

$`\T{signature SemigroupRightAction }\{\\
\quad \T{0-mor } \star \\
\quad \T{1-mor }\orange{0} : \star \to \star \\
\quad \T{1-mor }\mage{1} : \star \to \star \\
\quad \T{2-mor }\orange{0} :: (0, 0) \twoto 0\\
\quad \T{2-mor }\mage{1} :: (1, 0) \twoto 1\\
\quad \T{3-id }\orange{0} ::: (\id_0, 0); 0 \overset{=}{\Rrightarrow} (0, \id_0); 0\\
\quad \T{3-id }\mage{1} ::: (\id_1, 0); 1 \overset{=}{\Rrightarrow} (1, \id_0); 1\\
\}
`$

ここまで来れば、前節のCWテレスコープも納得がいくでしょう。

CW指標とCWテレスコープの形式的定義（概略）

CW指標とCWテレスコープを、どのようにして形式的に定義するかは、いずれ別に述べるとして、ここでは概略だけ（かなりスカスカ）を記します。

CW指標とCWテレスコープを構成・構築する作業環境は、球体集合〈globular set〉達の圏です。球体集合の圏以外でも、次の性質を持つ圏 $`\cat{G}`$ なら作業環境になります。

  1. $`\cat{G}`$ の対象に対して、各次元ごとのセル達の集合がある。
  2. $`\cat{G}`$ は余完備である。
  3. $`\cat{G}`$ においてエピ-モノ分解〈epi-mono factorization〉が出来る。
  4. $`\cat{G}`$ の自己関手として境界作用素を持つ。
  5. $`\cat{G}`$ の対象のなかでプレックス（後述）達が特定されている。
  6. $`\cat{G}`$ の対象のなかでポリプレックス（後述）達が特定されている。
  7. $`\cat{G}`$ 上に項モナド〈term monad〉が存在する。

これらの性質について今は説明しませんが、球体集合達の圏 $`\mbf{G}\H\mbf{Set}`$ の場合について注釈しておきます； プレックス〈plex〉は、形状圏 $`\mbf{g} = \mbf{G}^\op`$ の対象 $`\alpha`$ の米田埋め込みの像〈値〉$`よ^\wedge(\alpha)`$ のことです。セルとプレックスは別物ですが、$`A`$ のセル達の集合 $`A(\alpha)`$ とプレックスからの写像の集合 $`\mbf{G}\H\mbf{Set}(よ^\wedge(\alpha), A)`$ が（米田の補題により）一対一対応します。

ポリプレックス〈polyplex〉は難しい概念です。$`\mbf{G}\H\mbf{Set}`$ におけるポリプレックスはペースティングスキーム〈pasting scheme〉のことです。ペースティングスキームは、バタニンツリー（「バタニン・ツリー 再論」参照）でエンコードできます。

$`\mbf{G}\H\mbf{Set}`$ における項モナドは、球体集合から厳密ω-圏〈strict omega category〉を自由生成する関手と忘却関手の随伴系から作られるモナドです。

$`X = (X_i)_{i=0}^{L - 1}`$ が長さ $`L`$ のCWテレスコープだとして、各 $`i\:(0\le i \le L - 2)`$ に対して次のような図式があります。

$`\quad \xymatrix{
{}
&{\partial (A_{i + 1})} \ar@{_{(}->}[dl] \ar[dr]^{f_{i+1}}
&{}
&{}
\\
{A_{i+1}} \ar[dr]_{g_{i+1} }
&{\text{p.o.}}
&{T(X_i)} \ar[dl]^{h_{i+1}}
&{X_i} \ar[l]_{\eta_{X_i}}
\\
{}
&{Y_{i+1}}
&{}
&{}
}\\
\quad \In \cat{G}
`$

ここで：

  1. $`\partial (A_{i + 1})`$ は、$`A_{i+1}\in |\cat{G}|`$ の境界。
  2. ラベルがない $`\hookrightarrow`$ は、境界の標準埋め込み。
  3. $`T`$ は項モナドの台関手、$`\eta`$ は項モナドの単位。
  4. $`f_{i+1}`$ は $`A_{i+1}`$ を $`X_i`$ に添加〈attach〉するために使う射〈アタッチャー〉。
  5. 四角形はプッシュアウト四角形〈pushout square〉、したがって、$`Y_{i+1}`$ はコファイバー和。

一般的には、$`X_i`$ の $`i`$ が $`X_i`$ の次元を表すわけではありません。単にリスト内の順番を示すインデックスが $`i`$ です。しかし、正規形のCWテレスコープでは $`i`$ が $`X_i`$ の次元と一致します。

半群の右作用の実例では、$`i = 0`$ で次の図式になります。

$`\quad \xymatrix{
{}
&{\partial (\{\text{1-0}, \text{1-1}\})} \ar@{_{(}->}[dl] \ar[dr]^{f_1}
&{}
&{}
\\
\{\text{1-0}, \text{1-1}\} \ar[dr]_{g_1}
&{\text{p.o.}}
&\{\star\} \ar[dl]^{h_1}
&\{\star\} \ar[l]_{\eta_{X_0}}
\\
{}
&{Y_1}
&{}
&{}
}\\
\quad \In \mbf{G}\H\mbf{Set}
`$

$`X_0 = \{\star\}`$ で、$`T(X_0) = X_0`$ となり、$`\eta_{X_0}`$ は恒等射です。$`A_1 = \{\text{1-0}, \text{1-1}\}`$ は2本の矢印〈有向辺〉です。$`A_1`$ の境界 $`\partial(A_1)`$ は4つの頂点です。2本の矢印の4つの頂点は、$`f_1`$ ですべて $`\star`$ にマップされます。

プッシュアウト図式のコファイバー和として作られた $`Y_1`$ は、単一頂点と2本のループからなるグラフ（普通の1次元有向グラフ）です。0次元の特殊事情で、$`X_1 = Y_1`$ となりますが、一般的には $`Y_{i+1}`$ に細工をして $`X_{i+1}`$ を作ります。細工とは、$`g_{i+1}`$ と $`\eta_{X_i};h_{i+1}`$ の余デカルトコペアの像〈image〉を作ることです。

テキストで書かれた指標が圏論的にうまく振る舞うのは、背後で組み合わせ幾何的メカニズムが働いているからです。この記事で指標の具体例を挙げたので、もっと系統的で詳しい説明をいずれするつもりです。

*1:遷移を三角形分割の変形と考えた場合はパッヒナル移動〈Pachner move〉といいます。

*2:標準的ですが、それでもラベリングが一意的には決まりません。同じ次元のセルの番号付けは色々あります。