簡単な呼び名・言い回しで実は複雑な内容を語っていることがあります。簡単な呼び名・言い回しを、ドリルダウン（だんだん詳細化する）方式で分析してみましょう。例えば「小さな圏の圏の2-圏」は、けっこう複雑な内容を表しています。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\msc}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\mbb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
%\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
%\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
%\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
%\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
%\newcommand{\hyp}{ \text{－} }
%\newcommand{\Iff}{ \Leftrightarrow }
%\newcommand{\Imp}{ \Rightarrow }
`$
内容：
はじめに
次のような言葉を考えましょう。
- 自然数の集合
- 関係の圏
- 圏の圏
- 小さな圏の圏の2-圏
これらはけっこう曖昧な言葉なので、「～ 達の ‥」という言い回しと、構成素をもれなく述べることでより正確に書いてみます。
- 自然数達の集合
- (集合と関係)達の圏
- (圏と関手と自然変換)達の2-圏
- ( ( (小さな圏と関手)達の1-圏 ) と 関手 と 自然変換 )達の2-圏
簡単な例
自然数達の集合
これは集合なので要素を持ちます。そのことを次のように書きます。
集合：
- 要素
要素は自然数です。そのことを次のように書きます。
集合：
- 要素： 自然数
この集合が $`\mbf{N}`$ のことなのか、$`\mbf{N}`$ の部分集合（例えば、すべての偶数の集合）なのか分かりませんが、いちおう分析は出来たとします。
次は、
(集合と関係)達の圏
これは圏なので0-射〈対象〉と1-射〈射〉を持ちます。そのことを次のように書きます。
圏：
- 0-射〈対象〉
- 1-射
この圏の0-射は集合で、1-射は関係です。そのことを次のように書きます。
圏：
- 0-射： 集合
- 1-射： 関係
圏と構成素（の要素）に名前を付けて呼ぶなら、例えば次のようです。
圏 $`\cat{C}`$：
- 0-射： 集合 $`A, B\In \cat{C}`$
- 1-射： 関係 $`R: A\to B\In \cat{C}`$
2-圏の例
(圏と関手と自然変換)達の2-圏
これは2-圏なので0-射〈対象〉と1-射〈射〉と2-射を持ちます。そのことを次のように書きます。
2-圏：
- 0-射
- 1-射
- 2-射
この2-圏の0-射は圏で、1-射は関手で、2-射は自然変換です。そのことを次のように書きます。
2-圏：
- 0-射： 圏
- 1-射： 関手
- 2-射： 自然変換
0-射が圏なので、さらにドリルダウンできます。
2-圏：
- 0-射： 圏：
- 0-射： 対象
- 1-射： 射
- 1-射： 関手
- 2-射： 自然変換
2-圏と構成素（の要素）に名前を付けて呼ぶなら、例えば次のようです。
2-圏 $`\msc{A}`$：
- 0-射： 圏 $`\cat{C}, \cat{D}\In \msc{A}`$
- 0-射： 対象 $`A, B\In \cat{C}`$
- 1-射： 射 $`f:A \to B \In \cat{C}`$
- 1-射： 関手 $`F, G:\cat{C}\to\cat{D}\In \msc{A}`$
- 2-射： 自然変換 $`\alpha :: F \twoto G:A\to B \In\msc{A}`$
集合の所属記号 $`\in`$ を使って書くならば：
2-圏 $`\msc{A}`$：
- 0-射： 圏 $`\cat{C}, \cat{D}\in |\msc{A}|`$
- 0-射： 対象 $`A, B\in |\cat{C}|`$
- 1-射： 射 $`f\in \cat{C}(A, B)`$
- 1-射： 関手 $`F, G\in \msc{A}(\cat{C}, \cat{D})`$
- 2-射： 自然変換 $`\alpha\in \msc{A}(A, B)(F, G)`$
複雑な例
( ( (小さな圏と関手)達の1-圏 ) と 関手 と 自然変換 )達の2-圏
これは2-圏なので前節と同じです。
2-圏：
- 0-射
- 1-射
- 2-射
この2-圏の0-射は1-圏で、1-射は関手で、2-射は自然変換です。そのことを次のように書きます。
2-圏：
- 0-射： 1-圏
- 1-射： 関手
- 2-射： 自然変換
0-射が1-圏なので、さらにドリルダウンできます。
2-圏：
- 0-射： 1-圏：
- 0-射： 小さな圏
- 1-射： 関手
- 1-射： 関手
- 2-射： 自然変換
2-圏の0-射である1-圏の0-射が小さな圏なので、もっとドリルダウンできます。
2-圏：
- 0-射： 1-圏：
- 0-射： 小さな圏：
- 0-射： 対象
- 1-射： 射
- 1-射： 関手
- 0-射： 小さな圏：
- 1-射： 関手
- 2-射： 自然変換
2-圏と構成素（の要素）に名前を付けて呼ぶなら、例えば次のようです。
2-圏 $`\mbb{X}`$：
- 0-射 ： 1-圏 $`\msc{A}, \msc{B}\In \mbb{X}`$：
- 0-射： 小さな圏 $`\cat{C}, \cat{D} \In \msc{A}`$：
- 0-射： 対象 $`A, B\In \cat{C}`$
- 1-射： 射 $`f: A\to B\In \cat{C}`$
- 1-射： 関手 $`F:\cat{C}\to \cat{D}\In \msc{A}`$
- 0-射： 小さな圏 $`\cat{C}, \cat{D} \In \msc{A}`$：
- 1-射： 関手 $`\Phi, \Psi : \msc{A}\to \msc{B}\In \mbb{X}`$
- 2-射： 自然変換 $`\alpha :: \Phi \twoto \Psi : \msc{A}\to \msc{B}\In \mbb{X}`$
集合の所属記号 $`\in`$ を使って書くならば：
2-圏 $`\mbb{X}`$：
- 0-射： 1-圏 $`\msc{A}, \msc{B}\in |\mbb{X}|`$
- 0-射： 小さな圏 $`\cat{C}, \cat{D}\in |\msc{A}|`$：
- 0-射： 対象 $`A, B\in |\cat{C}|`$
- 1-射： 射 $`f\in \cat{C}(A, B)`$
- 1-射： 関手 $`F \in \msc{A}(\cat{C}, \cat{D})`$
- 0-射： 小さな圏 $`\cat{C}, \cat{D}\in |\msc{A}|`$：
- 1-射： 関手 $`\Phi , \Psi\in \mbb{X}(\msc{A}, \msc{B})`$
- 2-射： 自然変換 $`\alpha \in \mbb{X}(\msc{A}, \msc{B})(\Phi , \Psi)`$
入れ子になった〈ネストした〉圏論的構造は、内部へ内部へとドリルダウンして、その構造全体を把握することが重要です。
