インデックス付きn-圏

インデックス付き圏〈indexed category〉の一般化として、インデックス付きn-圏を定義します。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\msc}[1]{\mathscr{#1}}
%\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}}
\newcommand{\mbb}[1]{\mathbb{#1}}
%\newcommand{\o}[1]{\overline{#1} }
%\newcommand{\u}[1]{\underline{#1} }
%\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
\newcommand{\In}{\text{ in } }
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\dimU}[2]{{#1}\!\updownarrow^{#2}}
`$

内容：

サイズレベル
インデックス付きn-圏
次元が 0, 1 の場合
次元が 2 の場合

サイズレベル

圏のサイズとその背景である“宇宙と世界”に関しては次の過去記事達を参照してください。

サイズレベルが $`r`$ である$`n`$-圏達が作る$`(n +1)`$-圏は次のように書きます。

$`\quad n\mbf{Cat}_{\#r}`$

デフォルトのサイズレベルを $`d`$ としたとき、次の記法も使います。

$`\quad n\mbf{Cat}_{\#+s} := n\mbf{Cat}_{\#(d + s)}`$

$`\quad n\mbf{Cat}_{\#-s} := n\mbf{Cat}_{\#(d - s)}`$

$`n, r`$ が小さいときは、以下の略記を使います（「ファミリー構成モナド：大規模構造の事例として // 一般化されたファミリーとその圏」の表に対して追加・拡張）。

	$`r = d `$	$`r = d + 1`$	$`r = d + 2`$	$`r = d + 3`$
$`n = 0`$	$`{\bf Set}`$	$`{\bf SET}`$	$`\mathbb{SET}`$	$`\mathscr{SET}`$
$`n = 1`$	$`{\bf Cat}`$	$`{\bf CAT}`$	$`\mathbb{CAT}`$	$`\mathscr{CAT}`$
$`n = 2`$	$`2{\bf Cat}`$	$`2{\bf CAT}`$	$`2\mathbb{CAT}`$	$`2\mathscr{CAT}`$
$`n = 3`$	$`3{\bf Cat}`$	$`3{\bf CAT}`$	$`3\mathbb{CAT}`$	$`3\mathscr{CAT}`$

以下に出てくる $`\dimU{\hyp}{\hyp}`$ という書き方については、次の過去記事を見てください。

圏の次元調整

インデックス付きn-圏には二種類の定義があります。最初の定義は以下です。

$`\text{For }x \in |n\mbf{Cat}_{\#r}|\\
\quad n\mrm{WInd}\mbf{Cat}_{\#r}(x) := (n + 1)\mbf{Cat}_{\#(r+1)}(\dimU{x}{n + 1}, n\mbf{Cat}_{\#r})
`$

$`\mbf{W}`$ は weak からです。この定義によるインデックス付きn-圏を弱インデックス付きn-圏〈weak indexed n-category〉と呼びます。正確に言えば：

$`y`$ が $`x`$ 上の弱インデックス付きn-圏であるとは、$`y\in |n\mrm{WInd}\mbf{Cat}_{\#r}(x)|`$ であること。

[追記]
通常のインデックス付き圏、つまり $`1\mrm{WInd}\mbf{Cat}_{\#1}(x)`$ を定義するとき、インデックス付き圏を反変関手として定義します。共変関手のときは余インデックス付き圏〈coindexed categorye〉と呼んで区別したりします。

しかし、高次圏になると反対圏の作り方は色々あり、“標準的な反変関手”という概念は無くなります。そこで、高次圏に対しても通用するインデックス付き圏の定義としては、共変関手を採用することにしました。
[/追記]

二番目の定義は以下です。

$`\text{For }x \in |n\mbf{Cat}_{\#r}|\\
\quad n\mrm{FInd}\mbf{Cat}_{\#r}(x) := n\mbf{Cat}_{\#(r+1)}(x, \dimU{n\mbf{Cat}_{\#r}}{n})
`$

$`\mbf{F}`$ は firm からです。strict〈厳密〉という形容詞は次元が上がるとふさわしくなく、strong〈強〉は用語コンフリクトが起きるので避けたい -- という次第で firm〈堅固〉を使うことにします。この定義によるインデックス付きn-圏を堅固インデックス付きn-圏〈firm indexed n-category〉と呼びます。

$`y`$ が $`x`$ 上の堅固インデックス付きn-圏であるとは、$`y\in |n\mrm{FInd}\mbf{Cat}_{\#r}(x)|`$ であること。

次元が 0, 1 の場合

$`n = 0, 1`$ の場合のインデックス付きn-圏について述べます。デフォルトのサイズレベルを 0 とします

$`n = 0, r = 0`$ とすると：

$`\text{For }x \in |0\mbf{Cat}_{\#0}|\\
\quad 0\mrm{WInd}\mbf{Cat}_{\#0}(x) := 1\mbf{Cat}_{\#1}(\dimU{x}{1}, 0\mbf{Cat}_{\#0})
`$

略記を使って書けば：

$`\text{For }x \in |\mbf{Set}|\\
\quad 0\mrm{WInd}\mbf{Set}(x) := \mbf{CAT}(\dimU{x}{1}, \mbf{Set})
`$

$`y\in |0\mrm{WInd}\mbf{Set}(x)|`$ とは、$`y`$ が $`x`$ をインデキシング集合とするインデックス付き集合族〈indexed family of sets〉であることです。

強固インデックス付き0-圏は：

$`\text{For }x \in |\mbf{Set}|\\
\quad 0\mrm{FInd}\mbf{Set}(x) := \mbf{SET}(x, \dimU{\mbf{Set}}{0})
`$

これは、次のように書いても同じです。

$`\text{For }x \in |\mbf{Set}|\\
\quad 0\mrm{FInd}\mbf{Set}(x) := \mbf{SET}(x, |\mbf{Set}|)
`$

次元が 0 の場合は、強固インデックス付き0-圏と弱インデックス付き0-圏の差はありません。

次に、$`n = 1, r = 1`$ とすると：

$`\text{For }x \in |1\mbf{Cat}_{\#1}|\\
\quad 1\mrm{WInd}\mbf{Cat}_{\#1}(x) := 2\mbf{Cat}_{\#2}(\dimU{x}{2}, 1\mbf{Cat}_{\#1})
`$

略記を使って書けば：

$`\text{For }x \in |\mbf{CAT}|\\
\quad 1\mrm{WInd}\mbf{CAT}(x) := 2\mbb{CAT}(\dimU{x}{2}, \mbf{CAT})
`$

$`y\in |1\mrm{WInd}\mbf{CAT}(x)|`$ とは、$`y`$ が $`x`$ をインデキシング圏〈ベース圏〉とする通常のインデックス付き圏〈indexed category〉であることです。この場合、インデックス付き圏は厳密2-関手とは限らず、一般の2-関手となります。2-関手がスード関手（過去記事では「タイト関手」と呼んでいる）の場合は「インデックス付き圏を拡張してファイバー付き圏へ」に書いてあります。

強固インデックス付き1-圏は：

$`\text{For }x \in |\mbf{CAT}|\\
\quad 1\mrm{FInd}\mbf{CAT}(x) := \mbb{CAT}(x, \dimU{\mbf{CAT}}{1})
`$

強固インデックス付き1-圏とは厳密インデックス付き圏〈strict indexed category〉です。つまり、（2-関手ではなくて）通常の1-関手です。弱インデックス付き1-圏と強固インデックス1-圏は違う概念です。

次元が 2 の場合

$`n = 2, r = 2`$ とすると：

$`\text{For }x \in |2\mbf{Cat}_{\#2}|\\
\quad 2\mrm{WInd}\mbf{Cat}_{\#2}(x) := 3\mbf{Cat}_{\#3}(\dimU{x}{3}, 2\mbf{Cat}_{\#2})
`$

略記を使って書けば：

$`\text{For }x \in |2\mbb{CAT}|\\
\quad 2\mrm{WInd}\mbb{CAT}(x) := 3\msc{CAT}(\dimU{x}{3}, 2\mbb{CAT})
`$

弱インデックス付き2-圏とは、3-圏のあいだの3-関手（(3, 0)-変換手〈(3, 0)-transfor〉）ということになります。だいぶ複雑な構造となり、扱いは難しくなります。

堅固2-インデックス付き圏のほうが簡単な構造です。

$`\text{For }x \in |2\mbb{CAT}|\\
\quad 2\mrm{FInd}\mbb{CAT}(x) := 2\msc{CAT}(x, \dimU{2\mbb{CAT}}{2})
`$

堅固インデックス付き2-圏は、2-圏 $`x`$ から、2-圏とみなした（3-射を捨てた）$`2\mbb{CAT}`$ への2-関手（(2, 0)-変換手〈(2, 0)-transfor〉）です。弱インデックス付き1-圏と同じように扱えます。

次元やサイズが大きくなると手に負えないので、比較的容易に扱えるインデックス付きn-圏は次のものでしょう。

インデックス付き集合族（弱インデックス付き0-圏＝堅固インデックス付き0-圏）
スード関手としてのインデックス付き圏（弱インデックス付き1-圏）
スード関手としての強固インデックス付き2-圏

これらは次のように書くのが分かりやすいでしょう。

$`\mrm{Ind}\mbf{Set}(x)`$ （$`x`$ 上のインデックス付き集合達）
$`\mrm{WInd}\mbf{CAT}(x)`$ （$`x`$ 上の弱インデックス付き圏達）
$`\mrm{FInd}2\mbb{CAT}(x)`$ （$`x`$ 上の堅固インデックス付き2-圏達）

分かりやすいですが書くのが面倒なので、場面ごとに楽に書ける記法でかまいません。