普遍性については過去に何度か述べています。
「普遍性」という言葉の使い方が無駄に難しいので、出来れば避けたほうがいいだろう、というのが僕の考えです。とはいえ、「普遍性」を使わずに済ませるのは困難です。言葉づかいの説明をします。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
`$
圏 $`\cat{C}`$ のなかでの議論で次の言い方をします。
- 対象 $`X`$ は、普遍性を持つ〈has a universal property〉。
しかしこれは不正確で、前層 $`F`$ がないと普遍性の定義はできません。そこで、より正確な言い回しは次のようになります。
- 対象 $`X`$ は、前層 $`F`$ により与えられる普遍性を持つ〈has a universal property given by〉。
主語を前層にして言い換えると：
- 前層 $`F`$ は、対象 $`X`$ に普遍性を与える〈gives a universal property to〉。
例えば、圏論的直積 $`A\times B`$ を例とすると、大雑把な言い回しは次のようです。
- 対象 $`A\times B`$ は、普遍性を持つ。
前層にも言及すると：
- 対象 $`A\times B`$ は、前層 $`F`$ により与えられる普遍性を持つ。
前層 $`F`$ は、対象 $`A, B`$ をパラメータに持つので、$`F_{A, B}`$ と書くことにします。
- 対象 $`A\times B`$ は、前層 $`F_{A, B}`$ により与えられる普遍性を持つ。
$`F_{A, B}`$ は、具体的には次のような前層です。
$`\quad F_{A,B}(\hyp) = \cat{C}(\hyp, A)\times \cat{C}(\hyp, B)`$
右辺の $`\times`$ は集合圏の直積です。$`A\times B`$ の $`\times`$ とは（同じ記号でも）全然別物です。
「対象 $`A\times B`$ は、前層 $`F_{A, B}`$ により与えられる普遍性を持つ」を意味を変えずに言い換えると：
- 対象 $`A\times B`$ は、前層 $`F_{A, B}`$ を表現する〈represents〉。
あるいは主語を変えて：
- 前層 $`F_{A, B}`$ は、対象 $`A\times B`$ により表現される〈is represented by〉。
「普遍性」という言葉は、前層の表現に関する記述のときに使う言葉です。しかし、「表現する／される」を使えば、「普遍性」という言葉は実は不要です。「普遍性」といういわくありげな（魅力的とも言えるが）言葉におじ気付いてしまう人は、「普遍性」を使うのをやめてみることをオススメします。
「対象 $`A\times B`$ は、前層 $`F_{A, B}`$ を表現する」は次のことです。
$`\quad F_{A, B} \cong \cat{C}(\hyp, A\times B)`$
ここで、$`\cong`$ は関手の自然同型です。
もうひとつ「普遍性」の困ることは、余前層の余表現も「普遍性」と呼んで区別しないことです。これで混乱してしまうこともあります。例えば、以下の余前層 $`G_{A, B}`$ を余表現する対象は（それがあれば） $`A+B`$ です。
$`\quad G_{A,B}(\hyp) = \cat{C}(A, \hyp)\times \cat{C}(B, \hyp)`$
結局、次の2つの概念を区別して使えばよいことになります。
- $`\cat{C}`$ 上の前層の表現
- $`\cat{C}`$ 上の余前層の余表現
とある前層または余前層を表現または余表現する対象に関して、「対象は普遍性を持つ」という言い方をするのです。そういう言い回しの習慣があるだけです。
