…出てきたらとりあえずグロタンディーク構成。この場合は、特定のスキーマ上じゃなくて、すべてのスキーマに渡ってインスタンスを寄せ集めた圏が構成できます。実は、InstC[-] = [-, C] のCが必ずしも小さくない（例：C = Set）なので、サイズの問題があるのですが、気にしないことにしましょう。一般に、H:D→C がインデックス付き圏のとき、そのグロタンディーク平坦化を積分記号を使って ∫(x∈D | H[x]) と書くことにします*3。“積分変数”xは、対象も射も表すも…

…ックス付き圏に対するグロタンディーク構成が適用できて、その結果が要素の圏（category of elements）です。関手Dの要素の圏を el(D) と書いて、それに伴うファイブレーションを el(D)→C とします。スピヴァックは、el(D)→C が「ある“普遍的な”ファイブレーションのDによる引き戻し」で得られることを注意しています。これは、上記のnLab記事にも書いてある事実の引用にすぎないですけどね。ここで出てきた“普遍的な”ファイブレーションとは、Set●→Se…

…ファイブレーション、グロタンディーク構成、前層／層、トポス、インスティチューションなどが含まれます。実際スピヴァックは、これらの道具を縦横無尽に使って実際的な結果を出しつつあります。そして： Moreover, one may hope to leverage existing mathematical theory to their own database issues through this connection.さらには、あなた自身のデータベースに関する問題を、この…

…けたとき、とりあえずグロタンディーク構成（Grothendieck construction）をしてみると、なんか面白いことがあるかも知れません（いつも面白いとは保証しませんが）。例えば、圏Cから圏Setへの関手 F:C→Set があると、集合を離散圏とみなせば、Fは C→Cat となるのでインデックス付き圏となります（反変・共変の差は無視）。このインデックス付き圏にグロタンディーク構成を施すと要素の圏（category of elements）が得られます。以下で、反変ベキ…

…、最終的にできる多重グロタンディーク構成は圏同値になるでしょう（ここらへん未確認）。加群の係数域であるモノイドMを固定したファイバー Module[M] = Module[M, *] はお馴染みといえますが、状態空間（加群の台）のほうを固定したファイバー Module[*, S] は代数ではそれほど注目されない気がします。Module[*, S] のワイルドカード「*」はモノイドの上を走るので、同じ状態空間にたくさんのモノイドを取っ替え引っ替え作用させることになります。複数モ…

…プルは、順序に関するグロタンディーク構成から得られると考えられます。圏の圏Catに相当する圏は、順序集合と単調写像の圏Ord、あるいはプレ順序を考えたPreOrdとかです。圏とプロ関手の圏に相当すると思われるORelに関しては「順序付き関係の圏」で触れています。随伴に相当する概念はガロア対応（Galois connection）と呼ばれます。単調写像の組 f:A→B、g:B→A で、f(x)≦b ⇔ x≦g(b) となるものです。したがって、圏と随伴対の圏の対応物は、（プレ）…

…なります。もちろん、グロタンディーク構成により単一の圏（とファイバー構造）に直すことができます。メイヤー代数の準同型の実例コンピューティングとは別な例をだします。Vを平面だとします。平面の点とその2次元座標 (x, y) を同一視します。Mは平面の平行移動 move(u, v) の全体とします。MのVへの作用を中置演算子・で表すとして、(x, y)・move(u, v) := (x + u, y + v) で定義します。Mは平行移動の順次合成でモノイド、コモノイド構造は対角と…

…忘れた圏を作る手順がグロタンディーク構成（Grothendieck construction）です。通常、グロタンディーク構成というと、インデックス付き圏 → ファイバー付き圏（fibred/fibered category）という対応を意味することが多いので、ここでは、ファイバー付きではない単なる圏を作ることをグロタンディーク平坦化と呼びましょう。繰り返されたインデックス付き圏に2回グロタンディーク平坦化を行うことは、二重インデックス付き圏に対して一気にグロタンディーク平坦…

…y）となりますから、グロタンディーク構成を適用できます。インデックス付き圏（共変か反変かは気にしないことにします）Shf(C)[-]:T→Cat に対するグロタンディーク構成（平坦化）を Flatten(Shf(C)[-]:T→Cat) とすると、これが幾何空間の圏となります。幾何空間の圏の定義には、層の値の圏Cと位相空間圏の部分圏Tがパラメータに入っています。つまり、次のようになります。 GS(T, C) := Flatten(Shf(C)[-]:T→Cat) 座標幾何の一…

…双対「例外付き計算とグロタンディーク構成」に次のような図を載せました。正常終了時には型Bの値を出力して、異常終了時には型Xの例外を投げる計算単位fです。例外をキャッチした場合は次のようになります。「双対性と環境付き計算」では、双対的な対応を示す次の表を挙げました。 例外 環境 出力 入力 直和 + 直積 × モノイド 余モノイド 余対角 ∇ 対角 Δ 始対象 0 終対象 1 例外型 環境型 この表の双対性に従い、例外処理とその双対を絵に描いてみます。行きがかり上、例外型がEに…

「例外付き計算とグロタンディーク構成」で述べた話の双対をとると、環境付き計算になります。「環境」という言葉はいろいろな意味で用いられますが、ここでの環境はOSの環境変数に類似した概念で、プログラムから参照可能な大域変数といった意味です。環境は次の条件を満たすとします。 読み取りはできるが書き換えはできない。 時間的に値が変動しない。 複数の計算単位から参照できる。 値が変わらないので変数というよりは定数です。大域的な設定（configuration）情報と考えればいいでしょう…

…egory）*1からグロタンディーク構成（Grothendieck construction）で得られるファイバー圏（fibred/fibered category）になります。内容： 例外を投げるかもしれない計算 例外のキャッチと再スロー 例外付き計算の結合 例外付き計算のインデックス付き圏／グロタンディーク構成 例外を投げるかもしれない計算まず、A、Bなどはデータ型で、fが純粋計算（pure computing）の計算単位（computational unit）とします。…

…ory）とみなして、グロタンディーク構成を行うことは有効なテクニックです。このテクニックの簡単な応用例を紹介します。この方法は、オブジェクト指向のクラス、抽象クラス、インターフェースなどを全部ひっくるめた型階層（type hierarchy）を作りたいときなどに使えます。Σを指標だとして、M[Σ]をモデル圏とします。H[Σ]はM[Σ]の部分圏で次の性質を持つとします。 H[Σ]は、M[Σ]の広い（broad, wide）部分圏である。 H[Σ]は、M[Σ]のやせた（thin）…

…インデックス付き圏のグロタンディーク構成」とかに書いてあります。すぐ上に出てきた「p≦f*(q)」という条件を反変関手Pを使って表現するなら、p≦P(q) ですが、順序≦は圏の射となるので、同値性「p{f}q ⇔ p≦f*(q)」は次にように書き換えられます。 p{f}q ⇔ (p→P(q) という射が存在する) ホーアトリプル p{f}q とは、圏C上の仕様構造から作った圏Dの射でした。一方で、「p→P(q) という射」とはインデックス付き圏からグロタンディーク構成した圏の…

…クトル空間全体からなる圏だとします。このVectはグロタンディーク構成で作れます。Vectの対象であるベクトル空間Vから係数体を取り出す操作をU(V)とします。U:Vect→Field という関手を作れますが、これもベクトル空間の本体を忘れて係数体だけを残す“忘却関手”と言えなくもないでしょう。ブレイド図の圏の射であるブレイドにおいて、紐の上下関係（手前と奥の区別）を“忘れる”と単なる交差になり、ブレイド図の圏からアミダ図の圏への関手が定義できます。これは忘却関手でしょうか？

…クス付き圏を平坦化（グロタンディーク構成）した圏の対象と見るのがよさそうです。言いたいことは、「ホップ代数は群に似ている」とかではなくて、ホップ代数は群そのものだってことです。ただし、ホップ代数が伝統的な群（集合圏における群）の単なる言い換えというわけではありません。多元環やモナドが集合圏におけるモノイドとは違うように、ベースとなる圏を取り替えれば、全然違った様相を呈します。ホップ代数が新しいのは、集合圏とは違った圏を舞台として群概念を考える点です。計算で挫折した群の逆元 x…

…が等しいかどうか？ グロタンディーク構成で考えてみる」のときと同じ考え方です。実際には、"hello" と {"$t": "hello"} のどちらを正規形と考えるか？ とか、変換や同一視をどのタイミングで行うか？ などの問題があります。前例"hello" と {"$t": "hello"} の同一視と似たことは既にCatyで行っています。Catyの拡張JSONでは、どんなデータにもタグが付けられます。例えば、@yen 120 のように。タグ付きデータを普通のJSONにエンコ…

… [追記]圏GSは、グロタンディーク構成の良い例になっていますので、そのことを補足します。位相空間X上の「圏Cに値をとる層」の圏をShf[X]とします。圏のベキ（指数）DCを[C, D]とも書くことにすれば、Shf[X] = ([Open(X), C]の適当な部分圏）です。連続写像 f:X→Y があると、層の押し出しは、f*:Shf[X]→Shf[Y] という関手を定義します。この状況は、（関手の反変・共変の違いを無視すれば）Shf[-] が位相空間の圏Topをベース圏とする…

…インデックス付き圏のグロタンディーク構成に基づいて考えて、答を出しました（作り話）。実話かどうかはともかくとして、「1 と 1.0 は等しいか？」をグロタンディーク構成を使って解く話をします。僕は、「圏の例はそこらじゅうにいくらでも転がっている」ということを割と強調するのですけど、これも「そこらじゅうにいくらでも転がって」いた事例ですね。関連するエントリー： インデックス付き圏のインデックス付き圏 インデックス付き圏の3つの例 インデックス付き圏のグロタンディーク構成 ベクト…

…インデックス付き圏のグロタンディーク構成」にて： インデックス付き圏（indexed category）の話をしても全くウケないのは承知でもう一回。 さらにもう1回か2回か。一人くらい（内海さん）にはウケるかもしれないので^^;「インデックス付き圏の3つの例」で挙げた3つの例のなかで、図式の例とインスティチューションの例は、具体例とは言いながら完全に圏を1つ固定した話ではなくて、圏の類を話題にしているので後回し。ベクトル空間の例に対してグロタンディーク構成（平坦化）を具体的に…

…あると、それに対してグロタンディーク構成（Grothendieck construction）とか平坦化（flatten）とか呼ばれる操作をしてファイバー圏（fibred/fibered category）が作れます。とりあえず、ファイブレーションは考えないで、インデックス付き圏から1つの圏を作る手順を示します。インデックス付き圏の雰囲気は、まー、次の絵のような感じです。Iがベース圏（インデックスの圏）で、Iの対象 i, j などの上に木が生えているみたい。それぞれの木 A[…