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参照用 記事

ジリィ の検索結果:

マルコフ圏におけるテンソル計算の手順とコツ

…空間の圏Meas上のジリィモナドのクライスリ圏Stocです。Stocの射はマルコフ核と呼びます(「マルコフ核: 確率計算のモダンな体系」参照)。可測空間を有限離散可測空間だけに制限すると、マルコフ圏Stocの部分マルコフ圏FinDiscStocになります。圏FinDiscStocの射であるマルコフ核は(ちょっと拡張した)マルコフ行列で表現できます。そして、Poly(FinDiscStoc) の射はマルコフテンソル(後述)で表現できます。「テンソル」は多義曖昧語ですが、ここで出…

確率的圏における同一視・オーバーロード

…概念 マルコフ核と、ジリィ空間への可測写像 分布マルコフ核と、ジリィ空間の要素である確率測度 述語マルコフ核と、述語関数 確率測度と、確率密度関数 おわりに 同一視されがちな概念確率的圏〈stochastic category〉とは、具体的に構成されたマルコフ圏(マルコフ圏 A First Look -- 圏論的確率論の最良の定式化」参照)のことです。確率的圏の形式的な定義は「統計的反転の圏論的セットアップ 1/2 // 確率的圏と準確率的圏」に書いてあります。確率的圏はマル…

統計的反転の圏論的セットアップ 2/?

…ることにしましょう。ジリィ・モナドは、確率測度を集めて作りますが、任意の測度を集めて作る一般化ジリィ・モナド〈generalized Giry monad〉を定義して、一般化ジリィ・モナドのクライスリ圏として“核の圏”Kernを定義します。測度に関する色々な性質(後で使う予定)を列挙して、ルベーグ錐〈Lebesgue cone〉を導入します -- 今回・第2回も淡々とセットアップ〈準備〉が続きます。内容: 一般化ジリィ・モナド 核の圏 測度空間の圏 測度に関する色々な性質 ル…

統計的反転の圏論的セットアップ 1/2

… 標準ボレル空間上のジリィ型モナド 確率空間の2-圏と確率的関連の圏 ωバナッハ錐とωヒルベルト錐 続く 確率的圏と準確率的圏確率的圏の合意された定義はありませんが、ここでは次のように考えます; 確率的圏〈stochastic category〉とは、ジリィ型モナド(すぐ後で定義します)のクライスリ圏の部分圏であり、マルコフ圏となっているもの。具体的に構成されたマルコフ圏と言ってもいいでしょう。準確率的圏〈quasi-stochastic category〉は、準ジリィ型モナ…

確率的論理のバリエーション

…ここで、Giry はジリィ関手(ジリィモナドの台関手) Giry:Meas → Meas in CAT です。マルコフ核 p に次の関数 f を対応させます。 For x∈X, f(x) := p∩(x)({1}) 0 ≦ f(x) ≦ 1 となるので、f:X → [0, 1] in Meas と考えます。この方法で、Stoc(X, B)∋p ←→ f∈Meas(X, [0, 1]) という1:1対応が作れます。この1:1対応を前提として次の三者を同一視し、同じ記号で表します…

有限的確率圏と多面体

…らなる圏Meas上のジリィモナドのクライスリ圏をStocとします。|Stoc| = |Meas| で、Stocの射はマルコフ核(「「マルコフ核: 確率計算のモダンな体系」参照)です。Stocの“有限的”な部分圏を次のように定義します。 FinStoc : 対象を、FinMeasの対象に制限したStocの充満部分圏 FinDiscStoc : 対象を、FinDiscMeasの対象に制限したStocの充満部分圏 FStoc : 対象を、FMeasの対象(自然数)に対応する離散可測…

アレンジメント計算 7: AlmostSurelyEqual

…和である測度による“ジリィ・スタイルのモナド”と考えることができます。したがって、形式的凸結合モナドのクライスリ圏はジリィ・スタイルの具体的確率圏〈concrete stochastic category〉です。対象を可算集合に制限した圏が我々が事例に使うマルコフ圏です。この事例の圏は、CountblDiscStoc と命名するのが自然でしょう、FinDiscStoc, DiscStoc を既に使っていますから。 FinDiscStoc ⊆ CountblDiscStoc ⊆…

アレンジメント計算 3: 絵算の基本技法

…能なマルコフ圏Cが、ジリィモナドをベースに構成した確率的圏である状況考えましょう。“C内の確率空間”の概念が重要です。確率空間は、Cの対象 A と、ω:1 → A in C の組 (A, ω) です。これを、いつものように記号の乱用で A = (A, ω) のように書くのは一旦やめて、X = (A, ω) のように書きます。あるいは、使う文字が増えすぎないように、X = (X, μX) と書きます。 Xは、確率空間Xの台可測空間 μXは、確率空間Xの確率測度 確率空間と関連〈…

アレンジメント計算 1: 確率グラフィカルモデル

…た確率的マルコフ圏(ジリィモナドのクライスリ圏の部分マルコフ圏)だとします。このとき、Cの対象は可測空間で、Cの射はマルコフ核(「マルコフ核: 確率計算のモダンな体系」参照)です。PはCを厳密化・多圏化したマルコフ多圏です。この状況で、Relev(P) がどんな圏であるかを説明します。圏論の標準的語彙を使うなら、Relev(P) の定義は非常に簡単で: Relev(P) := ()/P 右辺は、Pの単位対象 ()(空リスト)に対するアンダー圏〈余スライス圏〉(「オーバー圏、ア…

マルコフ核の随伴公式とフビニの定理

…日の「拡張スタイルのジリィモナド」にて: 随伴公式は積分のフビニの定理です。ただし、マルコフ核が絡むと、単純なフビニの定理と少し違った形になります。単純なテンソル積測度ではなくて、依存テンソル積とでも呼ぶべき構成が必要です。が、この話題は別な機会にします。 こいうことを書いてよくあるパターンは、「別な機会」が2年後になったり、永久に書かなかったり(たち消え)。間をおかずに書いてしまうのが吉です。マルコフ核の随伴公式は、フビニの定理に帰着されます。そのフビニの定理も、ある種の随…

拡張スタイルのジリィモナド

…のことの実例として、ジリィモナドを拡張スタイルで記述してみましょう。モノイド・スタイルより、幾分計算しやすいと思います。(測度論が絡むところは、どうやっても難しいですけどね。)予備知識として、ジリィモナドとマルコフ核につていは次の記事を参照してください。 分布から拡散へ: ミシェル・ジリィを巡って マルコフ核: 確率計算のモダンな体系 測度論的議論は適当にはしょっています(測度論をよく知らないので)。内容: 記号の約束 確率測度達の可測空間 カリー化マルコフ核 デルタ測度 拡…

モナド、クライスリ圏、随伴 の落ち穂拾い

…りました。 圏M上のジリィモナドを'G'と書くことにした。 Gのクライスリ圏Sの射をラテン文字大文字で書くことにした。 Sの射を、'F', 'G' と書いた。 文字'G'の使用が衝突した。 絵のなかで'G'を使っていたので修正しませんでした(絵の描き直しが面倒)。他にも、ベースの圏Mとクライスリ圏Sがゴッチャになっていて分かりにくいかと思います。僕は一度書いた記事は書き直さない(単なるモノグサです)ので、昨日の記事はそのままですが、今後のために注意事項を書いておきます。単に記…

確率的圏における期待値と雑音

…。確率的圏は、事実上ジリィモナドのクライスリ圏です。こう定義してみても、期待値の概念は現れません。期待値を計算することは多いので、圏論的確率論で期待値が扱えないのは困ります。とりあえず、特定の目的を想定して、そこで使えそうな期待値概念を定義しましょう。特定の目的とは、「雑音が乗る/真の値を推測する」という言葉にハッキリした意味を与えることです。[追記]この記事は、使っている記法の関係で読みにくいかも知れません。読みにくさの原因や対処については: モナド、クライスリ圏、随伴 の…

確率的圏、存在命題とスコーレム・コンビネータ

…として、Meas上のジリィモナドを Giry = (Giry, μ, η) (記号の乱用)とします。すると、圏Stocは、ジリィモナドのクライスリ圏として定義されます。 Stoc := Kl(Meas, Giry) これは、具体的な圏Stocのハッキリとした定義です。確率的圏とは、Stocへの埋め込み関手を持つ圏だとします。「埋め込み関手が存在する」ではなくて、特定の埋め込み関手を備えた構造を確率的圏と呼ぶことにします。圏Cと埋め込み関手 J:C → Stoc の組 (C, …

マルコフ圏の一族

…有限測度〉まで含めたジリィ型モナドのクライスリ圏は半デカルト性を持ちません。基底を指定した有限次元ベクトル空間(テンソル積がモノイド積)も半デカルトではありません。これらの圏はすべて準マルコフ圏なのです。準マルコフ圏という概念が必要だと思われる幾つかの状況証拠があります。まず、余可換コモノイド・モダリティを備えた対称モノイド圏Cを考えた場合、次が成立します。 Cの余可換コモノイド・モダリティの余単位割り当てが自然変換になっていれば、Cは(定義より)マルコフ圏である。 Cの余可…

マルコフ核と確率密度関数

…の理解のために、僕がジリィモナド、マルコフ核、マルコフ圏などをおすすめするのは、見通しがよくなり、必要な概念が実は少数なことが分かるからです。少数の概念に対する膨大な呼び名(同義語、類義語、曖昧語)が無節操にとっ散らかっています。必要な少数な概念が測度論ベースなので、そこのハードルが高いのは事実です。測度論を避ける手段として、確率測度の代わりに確率密度関数を使う方法があります。確率密度関数をベースにするアプローチには、次の制限があります。 可測空間に測度(確率測度とは限らない…

有限離散マルコフ核に関する注意

…圏Meas上に作ったジリィ確率圏(ジリィモナドのクライスリ圏)をStocとして、対象を|FinDiscMeas|に制限したStocの充満部分圏を、FinDiscStocとします。FinDiscStocの射はマルコフ核ですが、対象が有限離散可測空間なので、通常の行列・テンソルの計算で処理できます。行列・テンソルのサイズが小さいなら手計算も可能です。有限離散の場合の書き方マルコフ核とその被積分形式〈integrand form〉を同一視はしませんが、名前のオーバーロードはします。…

圏論的確率論におけるCタイプとAタイプ

…れにも色々ある)上にジリィモナドを構成し、そのジリィモナドのクライスリ圏が確率的圏です。場合により、部分圏をとることもあります。そうやって作った確率的圏の実例を挙げましょう。 可測空間の圏 確率的圏 Meas Stoc SBorel SBorelStoc CGMeas CGStoc FinMeas FinStoc 他にも確率的圏はありますが、この4つがよく出てくる確率的圏です。Stocは、ジリィ自身が定義したオリジナルの確率的圏です。現在知られているほとんどの確率的圏は、St…

マルコフ核: 確率計算のモダンな体系

…記法と反書字順記法 ジリィ関手 記号のだいたいの約束 マルコフ核の定義 マルコフ核のラムダ記法表示 積分表示と被積分形式 ランダム要素 ランダム要素の事象への所属度 ディラック測度 チャップマン/コルモゴロフ結合 デルタ関手 暗黙のデルタ ペアリング記法 測度の前送り -- 写像の場合 関数の引き戻し -- 写像の場合 随伴公式 -- 写像の場合 測度の前送り -- マルコフ核の場合 関数の引き戻し -- マルコフ核の場合 随伴公式 -- マルコフ核の場合 テンソル積 チャッ…

フォングの“因果セオリー”の理論

…するための圏である“ジリィモナドのクライスリ圏”をターゲット圏にするときが本領発揮です。フォングが採用している確率的なターゲット圏はCGStoc(とそれから派生した圏)です。CGStocは扱いやすい可測空間(countably generated measurable space)を対象とした“ジリィモナドのクライスリ圏”です。奇しくも、ジリィモナドの発案者もローヴェアです(「分布から拡散へ: ミシェル・ジリィを巡って」参照)。ストリング図の描き方最後に、フォングのストリング…

経験分布って、なんだそれ?

…、X G(X) が、ジリィモナド〈Giry monad〉の台関手になるからです。ちなみに、集合 G(X) の要素を何と呼ぶかというと(正規表現使って): {確率的}?状態 確率{測度}? {確率}?分布 ランダム{要素 | 元 | 点 | etc.} 曰く言い難しのニュアンスを無視すれば、これらは完全に同義語です。Xがベクトル空間とは限らないので、 の引き算は意味ないです。 という書き方で、台〈support〉が点aであるデルタ関数を表しているだけです。なので、台が点aである…

マルコフ圏って、いいんじゃないのコレ

…確率論的な圏、例えばジリィモナドのクライスリ圏Stocと薄っすらと似ています。この“薄っすらと似た感じ”を、「どちらもマルコフ圏である」という事実で説明できます。また、似てるけど違う点を、マルコフ圏に上部構造を載せて議論できます。例えば、先ほど言った条件付き確率の公理候補を、NonDetで考えたりすると、確率論に特有な概念か、不確定さ一般に通用する概念かを判断できます。NonDetは計算科学でよく利用されてきました。マルコフ圏という共通の枠組みがあることから、確率論の概念の一…

マルコフ圏 A First Look -- 圏論的確率論の最良の定式化

…します。ローヴェア/ジリィ〈William Lawvere, Michèle Giry〉以来、圏論的に確率的な不確定性を扱うときは次のようにします(「分布から拡散へ: ミシェル・ジリィを巡って」参照)。 基礎となる圏C上に、確率的な不確定性を表すモナド G:C→C, η::IdC⇒G:C→C, μ::G*G⇒G:C→C *3を定義し、Gの(正確には (G, η, μ) の)クライスリ圏上で確率に関する議論をする。 Gのクライスリ圏をDとしましょう。もとの圏Cは、標準的な方法で…

多様体と確率・統計: 情報幾何の入り口まで

…きます。このモナドはジリィモナド〈Giry monad〉と呼ばれます。ジリィモナドに関する記事は次の検索でリストできます。 「ジリィ」のブログ内検索 可測空間X上の確率分布とは、確率測度のことなので、PM(X)の要素のことです。しかし、なにか(あまりハッキリしない)ニュアンスが付くことがあります。そのへんのことは次の記事を参照してください。 確率・統計の「分布」の意味と使用法 心が安らぐ「分布の空間」を定義してみる 確率変数が分布に「従う」とは 確率空間の台としての多様体A …

確率変数が分布に「従う」とは

…とのところ」は分かりませんが、「従う」という特殊な言葉を使うのは、言及してない背後の構造の存在を暗示しているのかも知れません。関連する過去記事「確率変数」について: 「確率変数」と言うのはやめよう 「確率変数」の正体は米田埋め込み 「分布」について: 確率・統計の「分布」の意味と使用法 心が安らぐ「分布の空間」を定義してみる 分布から拡散へ: ミシェル・ジリィを巡って 「母集団」「標本」について: 超曖昧語「母集団」「標本」にケリをつける IIDな確率変数達はどこから来るのか

ベイズ確率論、ジェイコブス達の新しい風

…拡散へ: ミシェル・ジリィを巡って // ローヴェアとジリィの定式化」において、同じ概念に付けられた17個の名前を列挙しています。僕はさらに、「拡散」(18個目)という呼び名を追加しています。そして、ジェイコブスは「チャンネル」(19個目)と呼んでいるわけです。([追記]ゴルブツォフを追加。ゴルブツォフ〈Peter Golubtsov〉については「マルコフ圏 A First Look -- 圏論的確率論の最良の定式化」を参照。ゴルブツォフを入れると20個の名前。[/追記]) …

二点しかない離散空間に長さ1の線分を描けるか?

…)された論文により、ジリィモナド界隈の人々が成立するだろうと期待していた(しかし、証明はなかった)定理を証明しました。 Title: The factorization of the Giry monad Author: Kirk Sturtz Pages: 18p URL: https://arxiv.org/abs/1707.00488 新しい証明・理論には、新しいアイディアが必要です。スターツは、いくつもの新しいアイディアを駆使して証明・理論を組み立てていますが、そのな…

確率空間の凸結合と分割

…拡散へ: ミシェル・ジリィを巡って」で述べた拡散圏のなかで考えたら面白いかもしれません。よく分からんけど。おわりに冒頭に書いたように、この記事は、もっと長い記事の一部分になる予定のものでした。残る話題は何かというと、確率空間の凸結合/分割が、より一般的なメカニズムの事例ではないか、ということです。前節で、有限個の重みを連続化することを書きましたが、ソッチ方面への拡張ではありません。有限個のままでも、なんか面白いことがあるような気がします。 *1:Xi∩Xjが測度ゼロの集合にな…

分布から拡散へ: ミシェル・ジリィを巡って

…を与えてくれる道具にジリィモナド〈Giry monad〉があります。ところが、ジリィモナド周辺もかなりとっ散らかった印象があります。ジリィモナドには多様なバリエーションがあるのですが、それらを包括的に語る言葉が不足しています。物理現象である“拡散”をメタファーにすると、ジリィモナドを直感的に把握できるようになり、用語法の整理にも寄与することになります。内容: 分布を寄せ集めると ローヴェアとジリィの定式化 「拡散」がよくね ジリィの原典を眺めると ジリィ・スタイルのモナド ジ…

質量モナド

…行列 可測圏 R+値ジリィ・モナド 測度的積分核の圏 射はR+係数行列と類似 ジリィ・モナド(Giry monad)をちゃんと説明したことはないですが、関連箇所は: 「ジリィ」の日記内検索 別な形の表にすると: 集合圏ベース 可測圏ベース Maybeモナド 質量モナド ベキ集合モナド R+値ジリィ・モナド 「集合圏←→可測圏」とベース圏を対応させると、「Maybeモナド←→質量モナド」と対応しそうだということです。この対応の根拠はまだ弱いので、もっと証拠を揃えたいところです。