… モノイド圏を対象、ラックス・モノイド関手をタイト射、双加群圏をプロ射、丹原プロ関手を二重射〈2-射〉とする二重圏の二重射 まず、$`\cat{M}, \cat{N}`$ を特定した2つのモノイド圏だとして、$`\cat{M}`$ が左から $`\cat{N}`$ が右から作用する双加群圏達の圏を考えます。それは、「圏論的レンズ 6： 丹原／ペイストロ／ストリート随伴系」において、$`(\cat{M}, \cat{N})\text{-}{\bf Tamb}`$ と書いた圏です…

…ピー射・削除射が、反ラックス・モノイド関手と協調することです。今述べた1-射の定義は、「デカルト・モノイド関手は色々 」において次のように書いたものです。 例えば、$`F = (\u{F}, \nu, \iota):\cat{C} \to \cat{D}`$ がラックス・モノイド関手だとして、$`\nu, \iota`$ がそれぞれ規準的な $`\delta, \tau`$ の逆だと定義するのもアリはアリです（使いにくいですが）。 「使いにくい」と書いてますが、今回の目的では…

…イド圏を対象として、ラックス・モノイド関手を1-射、モノイド自然変換を2-射とする2-圏 $`{\bf CartCAT}`$ ： 大きいデカルト圏〈デカルト・モノイド圏〉を対象として、デカルト構造をタイトに〈up-to-isoで〉保つ関手を1-射、デカルト構造と協調する自然変換を2-射とする2-圏 $`\dimU{{\bf Set}}{2}`$ ： 2-圏とみなした集合圏（$`\dimU{\hyp}{2}`$ については「圏の次元調整」参照）。小さい集合が対象、写像が1-射、…

…at{S}`$ ： ラックス・モノイド関手の乗法ラクセイター（「緩化子〈ラクセイター〉」参照） $`\iota^\cat{S}`$ ： ラックス・モノイド関手の単位ラクセイター $`A, B`$ を色付き有限集合だとして、色彩的モノイド・スピシーズ $`\cat{S}`$ のラクセイターの成分〈components〉は次のように書けます。$`\quad \nu^\cat{S}_{A, B} : \cat{S}(A) \times \cat{S}(B) \to \cat{S}(…

…手、強モノイド関手、ラックス・モノイド関手、反ラックス・モノイド関手と分類しますが、形容詞「強」は「テンソル強度と整合する／協調する」の意味で使いたいので、僕は形容詞「タイト」を使っています。そのことについては： 高次圏： 用語法と文脈（主に2次元） // 厳密、強、ラックス、反ラックス ダガー対称モノイド圏のあいだの関手はタイト・モノイド関手だとします。モノイド関手の一貫性射〈coherence morphism | coherence map〉はラクセイター〈laxato…

… アクテゴリー構造 ラックス・モノイド関手と反ラックス・モノイド関手 定数関手 同語反復射の族 自然性と対角自然性 左ラックス作用構造 おわりに 無法則変換と無法則対角変換代数系は、台となるナニカに等式的法則を課すことで定義されます。テレオロジー圏のような大規模高次な代数系でも同じ定義方法を採用したいのですが、台となるナニカに名前がないので記述に難儀します。法則を課す前のナニカを表すために「非関手的」「非自然」のような形容詞を使っていました。実は、自己関手のランベック代数とモ…

最近、ラックス・モノイド関手の記述と計算のためにサーフェイス図を描いているのですが、サーフェイス図をきれいに描いて公開するのは手間がかかり過ぎて無理です。致し方ないのでテキストで表示しますが、3次元的情報をシリアライズしたテキストは、書くのも読むのも困難です。折衷案として、2次元的にレイアウトしたテキストで3次元サーフェイス図の情報を表すことにします。$`\newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\twoto}{\Rightarrow…

…e } }% %`$ラックス・モノイド関手のラックス乗法〈ラクセイター〉とラックス単位が埋め込みになっていて、対応する射影が存在する、という条件を考えます。単に埋め込み・射影〈Embedding-Projection〉ペアではちっともデカルト的ではないので、埋め込みに対する射影がデカルト構造で定義されることになります。$`\quad (F, \nu, \iota): \cat{C} \to \cat{D} \In {\bf SymMonCat}^\mrm{lax}`$であり、…

…手の上に載った構造達ラックス・モノイド関手を、台関手に載ったモノイド様構造〈monoid-like structure〉とみなす観点は有効だと思います。アナロジーとしては： ラックス・モノイド関手 ←→ モノイド 反ラックス・モノイド関手 ←→ コモノイド ネーミングはバランスが取れてませんが、反ラックス・モノイド関手をラックス・コモノイド関手と呼べばアナロジーがよりハッキリするでしょう。 ラックス・モノイド関手 ←→ モノイド ラックス・コモノイド関手 ←→ コモノイド デ…

…かつ主要な概念であるラックス・モノイド関手については、次の記事に記述があります。 モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 ラックス・モノイド関手について、もうちょっと 図式思考の例として、ラックス・モノイド関手について考えてみる バエズの、モノイド圏に関する6ページの minimalist account も便利です。 Title: Some Definitions Everyone Should Know Author: John C. Baez Date: May…

…」が使われています。ラックス・モノイド関手に付属する associator を laxator 、unitor を unit laxator と呼んでいます。ラックス・モノイド関手に限らずに、「法則〈律〉をゆるめるための射」をナントカ・ラクセイターでいいだろう、と思います。「ゆるめるヤツ、弛緩させるヤツ」てな意味でしょうから。 緩化子 イコールで記述される法則は厳密法則〈strict law〉といいます。 厳密結合律： $`(A\otimes B)\otimes C =o A…

…ド圏上の可換モナドはラックス・モノイド・モナドとみなせる」という事実があります。それを聞いても「あーそうですか、それで？」なんだけど、動機があって辿り着くと「ほー、そうかそうか、ウンウン」みたいな気分になります。動機・経緯について手短に説明して、当該の事実も簡単にメモします。内容： 構文モナド 可換モナド 厳密2-圏内のモナド対象 ラックス・モノイド・モナドと可換モナド 構文モナド をインスティチューション理論の意味での指標の圏だとします。対象 は指標です*1。なにかしら「指…

…実は次のことです。 ラックス・モノイド関手により、モノイドは保存される。 なるほど！ これで がインデックス付き圏になることは容易に示せます。以上の構成を、（10年前よりは）詳しく話します。難しいところはないのですが、面倒です。細部まで詰めると長くなるので、ある程度は端折りますが、ストーリーは追えるように記します。セットアップ小さい圏の2-圏 を基本に据えて話をします。“大きいか知れない厳密2-圏”達の3-圏を とすると、です。以下の議論は、 の代わりに、任意の厳密2-圏 を…

…末版 モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 米田ご利益ツールズ「ご利益ツールズ」という言葉は次の記事で使ったものです。 困った時の米田頼み、ご利益ツールズ 上記過去記事で紹介したツール達は： ラムダ記法 米田の星（上米〈うえヨネ〉、下米〈したヨネ〉） 関手・自然変換のテンソル積 マルチ米田埋め込み／マルチ余米田埋め込み これらにさらにツールを追加して増強版ご利益ツールズを作りましょう。追加ツールのひとつは米田の「よ」です。これについては： 米田の「よ」、米田の「米」…

…ンス達の2-圏、射はラックス・モノイド関手、2-射はラックス・モノイド自然変換 ： 番号付けの憂鬱前節で「1-セオリーを0-ドクトリンと呼ぼう」と言ったのですが、次の等式が成立していることを前提しています。 k-ドクトリン ＝ (k + 1)-セオリー 「k-ドクトリンのインスタンスは構造付きk-圏の種別」なので、番号〈次元〉k が揃っていて気持ちいいですね。が、いつでも気持ちいいとは限りません。構造付き集合を「1-構造」、構造付き圏を「2-構造」と呼ぶこともあります。モノイ…

…ます。詳しくは、「反ラックス・モノイド関手の一般余結合律〉の最初の2節と「BUNツリーの亜群オペラッド構造 // BUNツリー」を参照してください。 は二分木形状である。 が二分木形状のとき、 は二分木形状である。これは の 番目のプレースホルダーに を代入〈置換〉したもの。 以上により構成される記号列だけが二分木形状（のテキスト表現）である。 二分木形状の幅〈width〉を次にように定義します。 例えば：すべての二分木形状からなる集合を として、 を次のように定義します。ペ…

反ラックス・モノイド余モナドの計算（ストライプ図絵算）をゴニョゴニョしているときに気付いた等式があります。とりあえずその等式を、余モナドのパンツマジック等式〈pants magic equation〉と呼んでおきます。ストライプ図を眺めると、下着〈パンツ〉の上にズボン〈パンツ〉を履いていたのに下着だけになってしまうマジックに見えるからです。ある観点から見ると、パンツマジック等式は自明な等式でした -- 「なーんだ」という気分になりました。なので、この記事はボツにしようかとも思…

…ための準備です。「反ラックス・モノイド関手の一般余結合律 // 二分木の半オペラッド構造」でツリーに対する置換〈代入〉演算を導入して、「BUNツリーの亜群オペラッド構造 // オペラッド＝複圏」で記法を整理しました。BUNツリーに対して次の記法を定義しました。 今まで、プレースホルダーに対して代入できるのはBUNツリーでしたが、圏 （ は任意）の対象も代入できるとします。それを次のように書きます。 注意すべきは、この時点で得られるのは“リーフが圏の対象であるBUNツリー”であ…

…。それ以前の記事「反ラックス・モノイド関手の一般余結合律」で定義した二分木は、BUNツリー（の伸縮同値類）と考えることができます。幅（プレースホルダーの個数）が であるBUNツリーの集合は、 と書きます。絶対値記号で囲っているのは、 と書くと単なるBUNツリーだけではなくて、マックレーン変形などの高次構成素も持つ複雑な構造を表すからです。 に対して、BUNツリー を定義します*1。 はほんとの二分木ではありませんが、“用語の乱用”で二分木と呼んでしまいます。プレースホルダー …

…手性 前の記事： 反ラックス・モノイド余モナド： 記号の使用・乱用 再考 BUNツリー達に3次元構造を付け足すBUNツリーの亜群オペラッドの主たる用途は何かというと、モノイド圏に対する記号的計算デバイスとなることです。この用途のためには、もう1次元上げた構造にしたほうが便利です。各次元の構成素を表にすると： 一般的呼び名 BUNツリーの場合 0次元の構成素 対象 ただひとつだけ 0次元の構成素のリスト 複対象 自然数と同一視可能 1次元の構成素 複射 BUNツリー（の伸縮同値…

「反ラックス・モノイド余モナドの余クライスリ圏 その1」で次のように書いています。 記号の乱用を使わずに書くなら次のようになります。...[snip]...以上のように書けば紛れが少ないですが、実際には記号の乱用も遠慮なく使うので注意してください。 「遠慮なく使う」のはやっぱりマズいかもね。今扱っているのは、反ラックス・モノイド関手を台とする余モナドという高階な対象物なので、記号の乱用をやり過ぎるとワケわかんなくなります。かといって律儀に書くと矢鱈と煩雑になるので、バランスが…

「反ラックス・モノイド関手の一般余結合律」における二分木〈バイナリーツリー〉の扱いが不十分だったので補強します。目的の計算を実行するために*1、色々と準備が必要ですな。内容： 目論見違い BUNツリー 伸縮同値関係 オペラッド＝複圏 オペラッド＝複圏の法則 複ホムセットの亜群構造 複結合が亜群準同型射になること BUNツリーとマックレーン変形が作る構造 最初の記事（シリーズ目次あり）： 準マルコフ圏からなる2-圏 次の記事： 反ラックス・モノイド余モナド： 記号の使用・乱用 …

…ド圏を対象として、反ラックス・モノイド関手と反ラックス・モノイド自然変換を1-射／2-射とする厳密2-圏 のなかの余モナドの余クライスリ圏について考えることにします。 内容： 記号の約束 圏としての余クライスリ圏 モノイド圏としての余クライスリ圏 モノイド積の交替律 モノイド積と恒等射 残り 最初の記事（シリーズ目次あり）： 準マルコフ圏からなる2-圏 次の記事： BUNツリーの亜群オペラッド構造 前の記事： 反ラックス・モノイド関手の一般余結合律 記号の約束 は、小さいモノ…

…モノイド圏のとき、反ラックス・モノイド関手 では余結合律*1が成立します。準マルコフ余モナドの計算（「準マルコフ余モナドの計算と記述の方法」参照）で必要になるので、余結合律を一般化した法則を導入します。 内容： 二分木とモノイド圏 二分木の半オペラッド構造 二分木の変形 反ラックス・モノイド関手の一般余乗法 反ラックス・モノイド関手の一般余結合律 一般余結合律の事例 最初の記事（シリーズ目次あり）： 準マルコフ圏からなる2-圏 次の記事： 反ラックス・モノイド余モナドの余クラ…

…記述の基本 事例 反ラックス・モノイド関手の余乗法の自然性 反ラックス・モノイド関手の余乗法の余結合律 反ラックス・モノイド関手の余乗法と対称との強調 最初の記事（シリーズ目次あり）： 準マルコフ圏からなる2-圏 次の記事： 反ラックス・モノイド関手の一般余結合律 前の記事： 準マルコフ余モナド 記述の基本モノイド圏または2-圏の1-射／2-射を行列形式でテキスト記述します。射 は縦方向に次のように書きます。 は次のようです。一般に、上から下に向かって「対象 射 対象 射 ‥…

…手を1-射として、反ラックス・モノイド自然変換を2-射とする2-圏（厳密2-圏）を構成しました。この2-圏のなかの余モナド〈コモナド〉を考えてみましょう。これは、「準マルコフ圏の掛け算関手 // 掛け算関手のさらなる性質」で予告した内容です。内容： 厳密2-圏内の余モナド 記号の約束 掛け算余モナド 反ラックス・モノイド性： 準備 反ラックス・モノイド性： 記述 最初の記事（シリーズ目次あり）： 準マルコフ圏からなる2-圏 次の記事： 準マルコフ余モナドの計算と記述の方法 前…

…容： 掛け算関手 反ラックス・モノイド関手としての掛け算関手 反ラックス対称モノイド関手としての掛け算関手 準マルコフ関手としての掛け算関手 掛け算関手のさらなる性質 最初の記事（シリーズ目次あり）： 準マルコフ圏からなる2-圏 次の記事： 準マルコフ余モナド 前の記事： 準マルコフ圏からなる2-圏 掛け算関手 をモノイド圏とします。もう少し明確な書き方は：記号の乱用は使っているので、 はモノイド圏とその台〈underlying thing〉である圏の両方を意味します。圏のサ…

…加しました。また、反ラックス・モノイド関手に関する記述が不適切なところがあったので、そこには追記でコメントして修正しました。[/追記]内容： 絵図は描かないので… 準マルコフ圏 反ラックス対称モノイド関手 準マルコフ関手 何に使う？ シリーズ目次（リンク集）： 準マルコフ圏からなる2-圏 準マルコフ圏の掛け算関手 準マルコフ余モナド 準マルコフ余モナドの計算と記述の方法 反ラックス・モノイド関手の一般余結合律 反ラックス・モノイド余モナドの余クライスリ圏 その1 BUNツリー…

…ちゃんと抑えよう： お絵描き完全解説 // 対象と射の格上げ」参照。 *6:描画法のバラエティは「絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相」参照。 *7:同様な描画法はクライスリ射の描画にも使います。 *8:オプティックの状況では、Gは圏論的作用（双関手）をカリー化した関手です。 *9:「モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 // マッカーディのストライプ図」参照。ストライプ図を使った実例は「モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形」。

…作を考えると、それはラックス・モノイド関手になります。ラックス・モノイド関手は、プログラミングではアプリカティブ〈applicative〉と呼ばれているものです。ラックス・モノイド関手自体の説明はこの記事ではしません。次の記事検索などを参照してください。 「ラックス・モノイド」のブログ内検索結果 内容： 歯抜けリスト 付点集合圏からの関手 ジップ操作 歯抜けリストリストは、囲み記号にブラケット〈角括弧〉区切り記号にカンマを使って [1, 2, 3] のように書くことにします。…