…用するアクテゴリー〈加群圏〉のテンソル積に関して普遍性も含めて書いてあります。 [CG22-23] Title: Actegories for the Working Amthematician Authors: Matteo Capucci, Bruno Gavranović Submitted: 30 Mar 2022 (v1), 11 Dec 2023 (v2) Pages: 92p URL: https://arxiv.org/abs/2203.16351 双アクテゴ…

…イド圏 加群 ←→ 加群圏〈アクテゴリー〉 双加群 ←→ 双加群圏〈双アクテゴリー〉 二重圏の2-射〈二重射〉が何であるかは置いといて、代数学の意味での双加群が作る二重圏のフレーム（境界となる四辺形）は次のようになります。$`\quad \xymatrix{ R \ar@{-->}[r]^M \ar[d]_{f} & S \ar[d]^{g} \\ R' \ar@{-->}[r]_{M'} & S' }`$ここで、$`R, S, R', S'`$ は環で、$`f, g`$ は…

…す。ここでは単に、左加群圏〈left module category〉とします。代数学で使われている名詞をそのまま（「的」とか付けずに）形容詞に使います。そういうわけで、代数学の“双加群〈両側加群〉”に相当する圏類似代数系は双加群圏〈bimodule category〉と呼びます。双加群圏は、左加群圏であり右加群圏でもあり、左右のモノイド作用がバランス〈平衡〉している圏類似代数系です。「圏論的レンズ 6： 丹原／ペイストロ／ストリート随伴系」において、ペイストロ／ストリート〈…

…には、「モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形」で述べた一般論を利用できます。デカルト・インデックス付き圏の変形 2デカルト・インデックス付き圏 $`\cat{P}: \cat{C} \to {\bf CartCAT}`$ と $`T \in |\cat{C}|`$ に対して、変形したデカルト：インデックス付き圏 $`\cat{P}_T: \cat{C} \to {\bf CartCAT}`$ が定義できました（前節）。さらに、$`u \in |\…

…t{M}`$ 上の右加群圏〈right module category〉だともいいます。左アクテゴリー〈left actegory〉も同様に定義できます。ひとつの圏 $`\cat{C}`$ に対して、モノイド圏 $`M`$ が左から作用し、モノイド圏 $`\cat{N}`$ が右から作用しているとき、複合構造 $`(\cat{M}, \cat{N}, \cat{C}, \odot, \oslash)`$ を両側アクテゴリー〈two-sided category〉といいます。$…

…例は： モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形 ストライプ図については何度も書いているので： 「ストライプ図」の検索結果 さてところで、後で出てくるプロ関手は、関手の一種であり、2つの圏の直積圏を域とします。そのような関手を双関手〈bifunctor〉と呼びますが、二項関手〈functor {with | of} two arguments〉と呼んだほうが分かりやすいし、三項関手、四項関手、‥‥、n項関手と一般化しやすいです。多項関手〈n項関手 |…

…さい。 モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形 もとになる右アクテゴリーと、それから構成された右アクテゴリーは次のようになります。結合律子と右単位律子（の名前）はすべてオーバーロードします。 $`(\cat{M}, \cat{C}, R, \alpha, \rho),\; R = (\ract)`$ $`(\cat{M}\times \cat{M}^\op, \cat{C}\times \cat{C}^\op, S, \alpha, \rho),\…

…tegory | 左加群圏 | left module category〉は、左加群の圏論化〈categorification〉です。左アクテゴリーの構成素は： モノイド圏 圏 双関手〈二項関手〉 法則射の族（自然変換）、すぐ下に説明 法則射〈律子〉は次の等式的法則を弱化したものです。 左作用結合律： 左作用単位律： 「オプティック界隈の丸付き文字と記号の乱用」で述べたように、2つの法則の法則射〈律子〉を同じ記号 でオーバーロードする習慣がありますが、分かりにくいので単位律子…

…の別名があります。 加群圏〈module category〉 圏論的モノイド作用〈categorical monoidal action〉 モノイド作用〈monoidal action〉（圏論的モノイド作用の省略） 作用〈action〉（モノイド作用の省略） アクテゴリー（左アクテゴリー）は次の構成素からなります。 モノイド圏 （記号の乱用、一部の構成素を省略） 圏 双関手〈二項関手〉 作用の結合律を表す自然変換 作用の単位律を表す自然変換 法則〈公理〉としては、マックレーン…

…文献 アクテゴリー〈加群圏〉 テレオロジー圏とストリング図 テレオロジー圏の定義 最初の記事＋シリーズ目次 参考文献テレオロジー圏〈teleological category〉は、次で論文でヘッジズによって導入されました。 Title: Coherence for lenses and open games Author: Jules Hedges Submitted: 15 Sep 2017 (v3) Pages: 30p URL: https://arxiv.org/ab…

…の標準的な圏論化は、加群圏〈module category〉またはアクテゴリー〈actegory〉と呼ばれます。最近、アクテゴリー〈加群圏〉の需要(?)が増しているようですが、定義や記述が整理されてません。ゴチャゴチャしてしまう理由のひとつは、台〈underlying thing〉を2つ持つ複合構造だからでしょう。パート抽出関手で台を分離すれば情勢は見えやすくなると思います。今日はパート抽出関手を導入しただけで、アクテゴリー〈加群圏〉の定義と記述はまたいずれ。 *1:ちゃんと…

…値関手 モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形 準マルコフ圏モノイド圏を、記号の乱用を使って次のように書きます。左辺の はモノイド圏で、右辺の はモノイド圏の台圏〈underlying category〉です。また、この書き方はモノイド圏の構成素〈constituent | stuff〉を列挙しているだけで、モノイド圏の法則（マックレーンの五角形等式など）は省略しています。記号の乱用や省略に伴う混乱を少なくするために、必要があれば次のような書き方も…

…ちゃんと抑えよう： お絵描き完全解説 // 対象と射の格上げ」参照。 *6:描画法のバラエティは「絵算（ストリング図）における池袋駅問題の真相」参照。 *7:同様な描画法はクライスリ射の描画にも使います。 *8:オプティックの状況では、Gは圏論的作用（双関手）をカリー化した関手です。 *9:「モノイド関手／ラックス・モノイド関手とその実例 // マッカーディのストライプ図」参照。ストライプ図を使った実例は「モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形」。

…例は： モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形 インデックス付き圏を拡張してファイバー付き圏へ 法則の記述法としては、次の記事も参考になるかも知れません。 マックレーンの五角形をインデックスなしの等式で表す 上記記事内で、マックレーンの五角形を次のように描きました。これもストリング図書き換えによる描画です。同じ描画法で、ラックス・モノイド関手の結合律と左単位律を描いてみると次のようになります。右単位律は左単位律と同様なので省略。 タイト・モノイド関…

…事は： モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形 モノイド自然変換とモノイド同値関手 リストモナドとテンソル空間モナドのあいだの準同型射 インデックス付き圏を拡張してファイバー付き圏へ ストリング図／ストライプ図を使うと、次の類似性が目視で確認できると思います。 線形代数 モナド 双圏の変換手 代数 モナド 0-変換手 加群 モナド射 1-変換手 加群射 モナド2-射 2-変換手 この類似性は、理解を容易にする効果がありますが、それだけでなく、背後に…

…あるいはモノイド圏／加群圏などの複雑な構造になると、その定義は（それぞれに）何十個かの等式（や同型関係式）*1で記述されます。それら何十個かの等式を書き下せと言われたら、僕は出来ません。そんなもん覚えてないし、記憶力に劣る僕が覚えられるわけないです。しかし、ある程度の時間があれば定義を書き下せそうです。その時間は、翻訳に要する時間です。全然何も覚えてないわけじゃなくて、たくさんの等式とは“別な形“でイメージは持っています。そのイメージを何十個かの等式に翻訳すれば、オフィシャル…

…の記事のフランツ独立性を一緒に考えて、2つの独立性の関連を探ると、統計的独立性に関する理解が深まると思います。また、シンプソン独立性／フランツ独立性は、統計的独立性以外の“独立性”概念の分析にも利用できるでしょう。 *1:射影 A×B→A と A×B→B が可測写像になるような最小のσ代数と言っても同じです。 *2:モノイド圏におけるマックレーンの五角形・三角形等式（一貫性制約）については「モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形」に書いてあります。

…・意味論 指数関手や加群圏の簡単な例 上記の一番目の記事の「一般化：2次元化と相対化」の節で、無限タワー化が必要そうだが難しい、ということは書いています。 二項指数関手 E:Xop×A→A において、XとAのどちらか、あるいは両方が2-圏のときを考える必要があります。2次元構造を考慮した指数関手の定義が欲しいのです。出来ることなら、n次元の指数関手の定義が望みですが、それは難し過ぎますね。 難しいんだけど、多少イイカゲンであってもn次元の（二項）指数関手の定義がやっぱり必要。…

…例をここで述べます。加群圏とその準同型についても触れます。内容： 有限集合と有限次元ベクトル空間 写像ベクトル空間の二項関手性 モノイド圏上の加群圏 関手の連続性と指数法則 加群圏の準同型としての次元関手 有限集合と有限次元ベクトル空間「指数関手と構文論・意味論 // 二項指数関手の例」の三番目の例は、コンパクト・ハウスドルフ空間と連続写像の圏CompHousと、バナッハ空間と有界（＝連続）線形写像の圏Banに関するものでした -- ちょっとむずかしげ。コンパクト・ハウスドル…

…trength〉や“加群圏〈module category〉の準同型”などに関係して出現します。簡単ではあっても、ツマラナイわけではありません。最近、スタンピング関手／スタンピング・モナドと、その拡張概念に関する計算法について、もう一度考え直す必要があるんじゃないかと思っています。 *1:スペイン語（https://ja.forvo.com/search/Barbosa/es/）だと「バルボサ」に近い音ですが、ポルトガル語（https://ja.forvo.com/searc…

…による作用を持つ圏を加群圏〈module category〉とも呼びます。次の記事で詳しく解説しています。 モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形 以上のことから、二項指数関手 E:X×A→A とは、「第一変数に関して反変連続・第ニ変数に関して共変連続なモノイド作用」のことになります。あるいは、圏Aがモノイド圏X（の反対圏）による連続作用を持つ加群圏〈module category with continuous action〉だ、と言っても同じで…

…回り） モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形（五角形の上側は時計回り、五角形の下側は反時計回り）これらの図で、五角形の頂点はツリーで、五角形の辺はツリーの変形になっていることが分かるでしょう。ストリート（Ross Street）は、ツリーの代わりに五角形を使って、“五角形を頂点に描いた五角形”を使ったりしています（珍しい描き方です）。*3ギロー／マルボス（Yves Guiraud, Philippe Malbos）のスライドには、綺麗な五角形の絵…

…の実例 モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形 モノイド自然変換とモノイド同値関手 次は多色のストライプ図の例です（"Frobenius Morphisms of Bicategories"より）。ストライプ図は、モノイド圏を含む2次元の圏とそのあいだの関手の計算に大変便利な道具です。スパンの弱2-圏 ＝ 二部箙の弱2-圏弱2-圏とそのあいだの関手の準備ができれば、XCat = Lax2(1(2), SPAN(Set)) という定義の説明ができます…

…ょう。 モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形 圏Dがモノイド圏C上の加群圏になっていると、その加群構造からラックス・モノイド関手 H:C→End(D) を構成できます*1。これから、Monoid(C)→Monad(D) を作れます。つまり、 圏Dがモノイド圏C上の加群圏ならば、C内のモノイドは、D上のモナドを誘導する。 モノイド圏Cは、自分自身の上の加群圏であることから、 モノイド圏C内のモノイドは、C上のモナドを誘導する。 これが「モナド工場の…

…ょっと モノイド圏と加群圏に関するフォークロアとマックレーン五角形・三角形 この記事でもモノイド関手の復習をします。なお、この記事は、「自然演繹の再構築への道」で述べた計画の一環です。内容： 各種のモノイド関手の呼び名 ストライプ図の復習 状況設定 モノイド自然変換 モノイド同値関手 各種のモノイド関手の呼び名モノイド関手にはいくつかの種類があります。単に形容詞なしで「モノイド関手」と言ったときに何を意味するかは人により違います。以下に、モノイド関手の種類を挙げます。 厳密モ…

…final.pdf 加群圏の創始者であるEtingof達によるテンソル圏の教科書です。「テンソル圏」は人により定義が異なりますが、ホムセットがベクトル空間であるアーベル圏でモノイド構造を持ち、さらにいくつかの条件を満たす圏としてテンソル圏を定義しています。 Lectures on Tensor Categories and Modular Functors Lectures on Tensor Categories and Modular Functors (Universi…

…; 関手と自然変換のヒゲ結合 ・ * 自然変換の横結合 ・ * 世間に逆らっているようですが、現状のメジャーな記法はホント計算に向いてません。また残念ながら、反図式順と図式順を混ぜざるを得ないことはあります。例えば、左加群圏では反図式順、右加群圏では図式順を使うと計算が楽です。さらには、特定の状況下では、これ以外の記法を使うこともあります。 *1:Globularの計算モデルは、関手と自然変換からなる2-圏ではなくて、3次元の圏なので、ストリクトな横結合は定義できないのです。

「モノイド圏上の加群圏の実例」にて： 僕が加群圏にちょっと興味をいだいたのは、変則的なラムダ計算のモデルとして加群圏が使えないかな？ と思ったからです。思っただけで、よく分かってません。 これ、分かりました。何が分かったのか？ を大雑把に記します。どうしてそうなるのか？ を説明する余裕が今日はないので、それは時間と気力があるときに書くつもりです。内容： 積分の計算がモナドみたいだった理由 積分計算 コンパクト測度空間 割とうまく出来てる 積分の計算がモナドみたいだった理由こと…

…では、モノイド圏上の加群圏を定義しましょう。C = (FinSetop, ×, 1, α, λ, ρ) とします。CはFinSetと同じですが、射の向きはひっくり返しておきます。モノイド構造はひっくり返しても変わりません。ひっくり返すのは技術的な理由でたいした意味はありません。そして、D = FdVect とします。Cはモノイド圏、Dは単なる圏と捉えます。二項関手 :C×D→D を定義しましょう。 A∈|C|, V∈|D| に対して、AV := MapSpace(A, V) …

…(D, H)をC上の加群圏（module category）と呼びます。（加群の圏（category of modules）とは違いますから注意。）モノイド圏C上の加群圏(D, H)と、モノイド関手 Φ:C→End(D) が同じであることは、圏論のフォークロアのひとつでしょう。フォークロアとは、誰かの発見と特定できるようなものではなく、なんとなく知られている事実のことです。このフォークロアを律儀に確認してみます。その過程で、モノイド積やモノイド作用に関するマックレーン五角形・…