…辺D(-, r)は、米田埋め込み〈Yoneda embedding〉による r∈D の像です。「米田の「よ」とか： ちょっと変わった記法・名前達」と「困った時の米田頼み、ご利益ツールズ」の記法で書くなら： D(-, r) = λx.D(x, r) = よ(r) = r米 いま、Fの表現対象をもうひとつ取ってきてsとします。rもsも表現対象であることから、 K r米 in [Dop, Set] K s米 in [Dop, Set] したがって、 r米 s米 in [Dop, S…

…（なんたる偶然）。 米田の「よ」 赤線が引いてあるところに注目。平仮名の「よ」ですね。これは、次の論文からの引用（PDFを画像でコピー）です。 Title: This is the (co)end, my only (co)friend Author: Fosco Loregian Pages: 84p URL: https://arxiv.org/abs/1501.02503 「よ」の意味は米田埋め込み（Yoneda embedding）です。yとかYとかで表記されることが…

どうやら、米田埋め込みを単位とするモナドがありそうです。ちゃんと構成するのはけっこう大変。このモナドを定義するためのアウトラインを示します。内容： 伝説としての米田モナド 前層構成子の上のモナド： 楽観的な導入 サイズの問題とフレイド／ストリートの定理 相対モナド 相対モナドとしての米田モナド 左カン拡張の存在 残るは 伝説としての米田モナドCを圏として、米田埋め込み〈Yoneda embedding〉yCは、Cから“Cの前層の圏”PSh(C)への関手 yC:C→PSh(C)…

米田埋め込みはやっぱり役に立ちますね。米田埋め込みを利用するときに便利なツールを幾つか紹介します。それらのツール達は： 関手に使うラムダ記法 米田の星 (-)米, (-)米 関手・自然変換のテンソル積 マルチ米田埋め込みのドット記法 内容： 過去の事例： CPSと確率変数 困った時の米田頼み、もうひとつの例 米田埋め込み ラムダ記法と米田の星 超巨大圏CATと直積 関手・自然変換のテンソル積 マルチ米田埋め込みとテンソル積 前層の圏とマルチ米田埋め込み おわりに 過去の事例：…

…「確率変数」の正体は米田埋め込み」「「確率変数」の変種：測度に縛られない確率変数」で一応は納得したかな、という報告をしました。「確率変数」の次にワケわからない言葉が「分布」です。「分布」についても、2015年の記事「「分布、測度、密度」は同じか違うか」で書いてるんですが、もう少し詳しい分析をしておきます。もし理屈っぽい話が面倒になったら飛ばして、最後の節を読んでください。内容： 「確率分布」のオフィシャルな定義とニュアンス 連続分布と離散分布 ユークリッド空間上の測度 測度と…

…「確率変数」の正体は米田埋め込み 「確率変数」の変種：測度に縛られない確率変数 「確率変数」という概念をもう少し一般化できそうな気がしてきました。内容： ニ項関手をカリー化したら確率変数 バナッハ空間に値を取る確率変数 プロ関手を楽観的に捉える 確率変数の圏論的構造 ニ項関手をカリー化したら確率変数「「確率変数」の変種：測度に縛られない確率変数」で述べたことを手っ取り早く復習すると： ニ項関手 HomProb:Probop×Prob→Set のカリー化（ラムダ抽象）Λ(Hom…

…「確率変数」の正体は米田埋め込み」では、「確率変数（random variable）」という概念を、確率空間と確率を保存する（可測）写像の圏Probの米田埋め込みyProbとして定式化しました。これは、有名な圏論の手法をそのまま適用できる点がとても良いのですが、場合によっては具合が悪いことがあります。定式化を少し修正すると、問題点を解決できます。内容： 米田埋め込みではウマクないとき 関手のカリー化と米田埋め込み 無制約確率変数 米田埋め込みではウマクないとき「確率変数」とい…

…昧な確率変数 前層と米田埋め込み 米田埋め込みとしての確率変数 [追記 date="翌日"]記法を中心としたマトメ 補足もあります。 「確率変数」の変種：測度に縛られない確率変数 「確率変数」はなぜ分からないのか「確率変数とは、ランダムな値を取る変数」とか、“定義”として出されますが、これじゃ何のことだかサッパリ分からない！ 意味がハッキリした定義として「確率空間からの可測写像」というのがあります。しかし、実際の用法として「確率変数」を常に「可測写像」として使っているとは思え…

…20世紀でしょ*2。米田の補題なんて1954年だよー、驚いちゃうよね*3。ほんとの批判者はいないのかも知れない今回のように、フローチャートに関してなんか言うと批判が集まる、という現象は観測されます。しかし、誇張した（勝手に全称限量子を付けた）主張への批判や、おそらくはイヤな経験からの感情論や、とりあえずイチャモン付けたいだけの人の戯言しか見つからないので、ほんとの（本気の）批判者はいないのかも知れない、という気もしてきます。ネット上で根拠のない（ときに虚偽の）情報が高速大規模…

…さんの圏論に関する「米田埋め込みと米田の補題」（PDF）とか「イデアル完備化は左随伴である」（PDF）とか、証明論や圏論に興味を持っているかたなら読みたくなる内容でしょう（読みきれるかどうかは別問題）。ところで、お二人は丸山善宏さんや矢田部俊介さんと親しいとのことでした。丸山さんも矢田部さんも僕はお会いしたことはありませんが、丸山さんに関しては「丸山善宏さんの「圏論的双対性の理論入門」と understanding conferrability」で言及したことがあり、矢田部さ…

…的に決まるM-集合は米田埋め込みですよ、って話。Mをモノイドとして、M = (M, ・, 1) とします。このモノイドMを圏とみなし、それも同じ記号Mで表します。圏Mの対象は1個しかないので、それを1と書くことにします（何でもいいのですけど、何かに決める）。すると、|M| = Obj(M) = {1}、Mor(M) = M です（少し記号の乱用あり）。圏Mから集合圏Setへの関手の全体はまた圏になるので（関手圏）、それを [M, Set] = SetM と書き、この圏の対象を…

…n 1958. ）。米田の補題はそれより前の1954年です。モナドの理論にしても、ベックの分配法則も含めて、1960年代には出来上がっていたと言っていいでしょう。スピヴァックの関手データモデルはごく最近の話題ですが、使っている圏論は初等的なものです。というわけで、21世紀のモダンな圏論を知る／使うような機会はないですね。ジェイコブ・ルーリー（Jacob Lurie）が何やらやっているらしい事は知ってますが、僕の手が届くようなシロモノじゃないし。スピヴァックを通じて、間接的にル…

…さ。 *1:例えば、米田の補題はなんと11ページに出てきちゃうんですよね。まー、これは教科書としてイカガナモノカという気もしますが。 *2:後述するように、特定事例の固定的なイメージだとマズイのですが。 *3:「合成」のほうがよく使われていますが、僕は「結合」を使っています。 *4:一般の圏を、集合圏で“表現する”ことは重要ですが、それはまた別な話。 *5:[追記]スピヴァックの用語法では、パス同値関係（path equivalence relation）です。[/追記] *…

…C(A, L) を与えて、それが自然変換であることを示すことになります。練習問題とします(苦笑)、確認してみてください*3。 *1:[追記]母線は、成分線〈component {segment | arrow | line}〉に変更しました。「圏論の極限を具体的に // 関手の極限の復習」参照。[/追記] *2:C(-, R) は対象Rの米田埋め込みです。反変関手（＝前層）Fが表現可能なら、それは“ほぼ”米田埋め込みの像圏に入っています。 *3:自明な練習問題ではありません。

…ランドマークである「米田の補題」を米田さんが発表したのは1954年、半世紀以上も前。今、僕らがなんか「高級そうだ」と思っている概念、例えばモナドの複合可能性の基準を与えるベックの分配法則でも1960年代には知られていた。うつろいゆく現在は刺激にはなる。けど、基盤のないところに刺激だけ与えられてもアイディアは生まれない。身も蓋もないことを言ってしまうと、僕ら凡人には、多少の基盤があってもアイディアなんて生み出せない。たまに「おおー、閃いた」とか思っても、何十年も前から知られてい…

…きるはずですけど）、米田の補題を使えば、同型であるという事実は示せてしまいます。XをCの任意の対象として、ホムセット C(X, [A×B, C]) と C(X, [B, [A, C]]) のあいだの同型を系統的に構成できれば、[A×B, C] と [B, [A, C]] が同型であることが従います。ホムセットの同型は、おおよそ次の手順で示せます。 C(X, [A×B, C]) ------------------------ C(X×A×B, C) -------------…

…「2次元の圏における米田の補題がわからない」において、「特殊な状況」と言っているのも、1セルが準同型とは解釈しにくいような状況のことです。以下、1セルを、M, Nなどの大文字で表すことにします。dom(M)、cod(M) は0セルですが、シェルマンは、域／余域（domain/codomain）ではなくて左フレーム（left frame）、右フレーム（right flame）と呼んでいます。2セルに対しても左フレーム、右フレームが定義されます（後述）。このフレーミングの構造*1…

…ることにします。圏の米田の補題米田の補題から導かれる米田埋め込みでは、圏Cをその前層の圏に埋め込みます。C上の前層の圏は、CAT(Cop, Set) とCATのホムセットとして書けます。CATがデカルト閉*2で、内部ホム（指数、ベキ）があるので、CAT(Cop, Set) を表現する内部ホムを [Cop, Set] と書くと、この内部ホムは圏CATの対象として確定します。Cの米田埋め込みは、yC:C→[Cop, Set] in CAT という関手で、次のように定義されます。 …

…)ですね。継続渡しや米田埋め込みの話は次の記事とそこからのリンク先を見てください。 goto、大域変数、例外、双対性 トレース付きモノイド圏などに関する参考文献このダイアリーのなかで引用したことがある資料をいくつか再掲します。トレース付きモノイド圏に関しては、この分野のパイオニアである長谷川真人（はせがわ・まさひと）さんによる一連の論文／解説があります。 "Recursion from Cyclic Sharing: Traced Monoidal Categories an…

…うに書いています。 米田の補題は圏論の有名な定理、米田信夫さんはその発見者。なのに、 google:米田の補題 米田信夫 今日（2007-01-19）現在、事実上僕が書いたエントリーだけ。 「事実上」と書いているのは、同じ記事の携帯向けとかアーカイブされたバージョンとかが検索に引っかかるからです。それらを別々に勘定してもヒット件数は数件だったでしょう。さて、5年弱経過した今、google:米田の補題 米田信夫 を検索してみると： 約 746 件 （0.15 秒） ヒット件数は…

…ように、CPS変換は米田埋込みです。この解釈を採用するなら、goto文の意味（セマンティクス）は、米田埋込みの埋め込み先に存在します。圏Cを埋め込む先は関手圏 [Cop, Set] です。[Cop, Set] は、集合値関手とそのあいだの自然変換の圏ですが、C上の（集合値の）前層とも呼びます。つまり、goto文を含むプログラムの意味はベース圏上の前層のなかに棲んでいる、と考えることができます。通常の関数に比べると、goto制御構造は随分と高いところ（higher order）…

…goto文は、継続や米田埋め込み（CPS変換）で解釈できる場合もあります*1。 CPS（継続渡し方式）変換をJavaScriptで説明してみるべ、ナーニ、たいしたことねーべよ CPS（継続渡し方式）変換で裏返る理由 圏論番外：米田埋め込み (前編) -- 後編がない ^^; フローチャート（goto文とも関係します）といえば、トレース付きモノイド圏やコンパクト閉圏でしょう。 フローチャートからマゾ・テストまで 多重継承は嫌われ者ですが、メイヤー先生は独自の擁護論を展開していま…

…ません。でも、普通に米田の補題とか使っている*2のだから、そういう場面で「圏と圏の対象の意図的な混同」をするとワケワカンナクなりますよ。独自性を発揮するのはいいことなんだけど、普通の論法を使うべきところでは普通にやらないと、それはオカシイってことになるのよね、やっぱり。●分からないものは分からない郡司ペギオ-幸夫さんを読み解こうって人に老婆心で注意すれば； 難解さに負けて「なんだか分からないけどスゴイ」「なんだか分からないからスゴイ」って結論に持っていかないように、ってことだ…

「圏論：米田埋め込みと射の社会性」でトチ狂ったワケワカンナイことを書いてしまい、「昨日の内容への謝罪＋圏もどきから圏を作る話」でゴメンナサイと言ったわけですが、その事情は； とある問題を考えていて、そこで当面していた特定状況と一般論が混同・混乱していたのです。「当面していた特定状況」は、「昨日の内容への謝罪＋圏もどきから圏を作る話」でも触れましたが、もう少し解説っぽく書いておきます。圏の生成系（識別系）Cが圏で、GをCの対象類の部分集合とします； G⊆|C| 。Gが圏Cの生成…

…たエントリー「圏論：米田埋め込みと射の社会性」は、まったくのトンチンカンでした。ryoさんのご指摘のとおり、∀k.(k;f = k;g) を仮定するなら、kにidを入れれば即座に f = g が出るので、それ以上の議論は論理的には何の意味もありません。「論理的には何の意味もない」のですが、なんか気分的には、あるいはスローガン的には意味があるような気がしなくもないので、昨日のエントリーはそのまんまで残しておきます。さてところで、k;f = k;g のkのところにidを入れればい…

…のエントリー「圏論：米田埋め込みと射の社会性」は、まったくのトンチンカンでした。ryoさんのご指摘のとおり、∀k.(k;f = k;g) を仮定するなら、kにidを入れれば即座に f = g が出るので、それ以上の議論は論理的には何の意味もありません。「論理的には何の意味もない」のですが、なんか気分的には、あるいはスローガン的には意味があるような気がしなくもないので、このエントリーはそのまんまで残しておきます。事情と言い訳は「昨日の内容への謝罪＋圏もどきから圏を作る話」に書い…

…ます。 「圏論番外：米田の補題に向けてのオシャベリ」のコメント欄 「竹内外史・著『層・圏・トポス』」 竹内さんの語り口竹内さんはゲーデルも一目置いたほどの世界的な論理学者（ロジシャン）ですが、その書きっぷりは粗っぽくてエエカゲンなところがあります（そこがまた素敵だったりするのですが）。P.199からP.207の追加のあとがきがエラータになっていて、「あーすまんすまん、エエカゲンだったわ」みたいな事が書いてあります。竹内さんのご専門と業績からは信じられないようなお言葉ですが（竹…

…やりません。順不同。米田のジレンマ「何の役に立つか分からないから、やらない」「やらないから、何の役に立つか分からない」を繰り返して前に進めない状態。デカルト拳17世紀フランスが発祥の地とされる、必殺暗殺拳。念じる（我思う）だけで相手に致命的ダメージを与えられる。対象類（class of objects）いつも「オブジェクトとは／オブジェクトなら／オブジェクトでは」などと騒いでいる一群の人々.看手よく見られる誤字。正しくは「看守」直和人名。「なおかず」と読む。左随伴カップルで歩…

…は絶対的ではなくて、米田埋め込みなんてのは「物だって働きだろうよ」って考え方です。働きも物化（エンコーディング）できるって発想がノイマン型コンピュータの基本的アイディアで、圏論では指数と呼んでいます。あっ、いやっ、今日は圏論の話はあまりしないんですけどね。さて、線形代数に登場する事物達（entities）も、通常は物と働きに分けます。ベクトルは物でいいでしょう。問題はコベクトルなんですよ。コベクトルって何か？ って。双対空間の元です。双対空間って？ その定義が微妙なんですよ。…

…るために、何もしない関数をIとして、CのCPS変換C*を使って、 c = A*(B*(C*(I)))(); 出来上がった式 A*(B*(C*(I)))() は、入れ子の内側からの順序が C, B, A になっています。関数結合（合成）を「・」で表すともっと見やすくて： 単純な関数化：(C・B・A)() CPSへの変換：(A*・B*・C*)(I)() 素直な関数化に対してCPS変換は確かに裏返ってます。この事実の背景は、CPS変換（実は米田埋め込み）が反変関手だということです。