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参照用 記事

圏論的コンテナ

コンテナは、形状〈shape〉を持つデータに対する型理論的な概念として登場しました。よく知られたデータ型をコンテナとして説明できるので便利だなとは思っていましたが、データ型以外の用途でも使えることに気付きました。まずはこの記事でコンテナそのもの…

集合論と圏論がズレるとき: 空リスト問題

プログラミング言語や型理論の文脈で、空リストの型つけ〈タイピング〉が話題になることがあります。集合論と圏論で解釈してみると、結果が違ってきます。発想が違うので結果がズレるのは驚くことではありませんが、意外に思う人もいるかも知れません。内容…

余モナドにおけるパンツマジックとシングレット

反ラックス・モノイド余モナドの計算(ストライプ図絵算)をゴニョゴニョしているときに気付いた等式があります。とりあえずその等式を、余モナドのパンツマジック等式〈pants magic equation〉と呼んでおきます。ストライプ図を眺めると、下着〈パンツ〉の…

モノイド圏: 評価写像の双関手性

「準マルコフ圏からなる2-圏」という記事を書いてからもうすぐ3週間です。「準マルコフ圏からなる2-圏」に引き続く記事で、「“準マルコフ圏からなる2-圏”内の余モナドの余クライスリ圏が準マルコフ圏になる」ことを示す予定だったのですが、引き続く記事は既…

豊饒化〈豊穣化〉ドクトリン

「圏論的ドクトリンの安直な導入」への追加です。豊饒化〈豊穣化〉構成で新しい“圏の種別”が定義されることがあります。“圏の種別”をドクトリンと(安直に)呼んだので、既存のドクトリンから豊饒化で新しいドクトリンが作られることになります。通常の圏の…

二分木の平坦化定理

圏論の計算をしていて、組み合わせ的な議論に行き着くことはよくあります。モノイド圏をいじっていたら、二分木のプリミティブな組み合わせ的事実が必要になりました。その話をします。内容: 二分木とリスト リストのスプライシングと平坦化 二分木の平坦化…

余計な話? 厳密2-亜群オペラッドとモノイド圏

「準マルコフ圏からなる2-圏」からはじまる一連の記事を書いているのですが、これらの記事の目的は「準マルコフ圏からなる2-圏内の余モナドの余クライスリ圏を調べる」ことです。この記事のタイトルの「余計な話かも知れない」とは、上記の目的には不要かも…

反ラックス・モノイド余モナド: 記号の使用・乱用 再考

「反ラックス・モノイド余モナドの余クライスリ圏 その1」で次のように書いています。 記号の乱用を使わずに書くなら次のようになります。...[snip]...以上のように書けば紛れが少ないですが、実際には記号の乱用も遠慮なく使うので注意してください。 「遠…

BUNツリーの亜群オペラッド構造

「反ラックス・モノイド関手の一般余結合律」における二分木〈バイナリーツリー〉の扱いが不十分だったので補強します。目的の計算を実行するために*1、色々と準備が必要ですな。内容: 目論見違い BUNツリー 伸縮同値関係 オペラッド=複圏 オペラッド=複…

反ラックス・モノイド余モナドの余クライスリ圏 その1

ここ何回かの記事でやりたいことは、「準マルコフ圏を基礎圏とする準マルコフ余モナドがあれば、その余クライスリ圏は再び準マルコフ圏の構造を持つ」ことを示すことです。が、一度にやろうとすると長くなるので、ここでは、(小さい)モノイド圏を対象とし…

反ラックス・モノイド関手の一般余結合律

がモノイド圏のとき、反ラックス・モノイド関手 では余結合律*1が成立します。準マルコフ余モナドの計算(「準マルコフ余モナドの計算と記述の方法」参照)で必要になるので、余結合律を一般化した法則を導入します。 内容: 二分木とモノイド圏 二分木の半…

準マルコフ余モナドの計算と記述の方法

準マルコフ圏達を対象類とする厳密2-圏と、そのなかの余モナドについて幾つかの記事を書きました。 準マルコフ圏からなる2-圏 準マルコフ圏の掛け算関手 準マルコフ余モナド 何を言いたいのかと言うと: 準マルコフ余モナドの余クライスリ圏は再び準マルコフ…

準マルコフ余モナド

「準マルコフ圏からなる2-圏」において、準マルコフ圏を対象〈0-射〉として、準マルコフ関手を1-射として、反ラックス・モノイド自然変換を2-射とする2-圏(厳密2-圏)を構成しました。この2-圏のなかの余モナド〈コモナド〉を考えてみましょう。これは、「…

準マルコフ圏の掛け算関手

記事「準マルコフ圏からなる2-圏」で導入した概念に対して簡単な例を挙げます。概念的には簡単ですが、テキストで記述するのはけっこうな手間です。内容: 掛け算関手 反ラックス・モノイド関手としての掛け算関手 反ラックス対称モノイド関手としての掛け算…

準マルコフ圏からなる2-圏

昨日、ドクトリンの話をしたので、ドクトリン概念(ただし安直な定義)を使って、準マルコフ圏について説明します。すべての準マルコフ圏を集めた類(大きいかも知れない集合)に2-圏*1の構造を入れます。[追記 date="翌日"]準マルコフ圏の定義で、対称 を入…