ひとつ前の記事「Propositions-As-Typesを曲解しないで理解するために」の最初の節や最後の節で、同義語・曖昧多義語を話題にしました。曖昧さは色々な形で現れます。なにごとかを正確に理解するには、曖昧さを処理していくことが必要です。まー、曖昧に書く…
「贅沢なグロタンディーク宇宙とPropositions-As-Types」に対して、老婆心的な補足をします。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in }} `$内容： 「命題」を排除したい！ ベリティ型とその型…
次の2つの記事の続きです。 贅沢主義者のグロタンディーク宇宙 型・インスタンス・宇宙とタルスキ宇宙系列 Propositions-As-Typesというよく知られたキャッチフレーズを、グロタンディーク宇宙の観点からなるべく明確にします。$`\newcommand{\mrm}[1]{\math…
「贅沢主義者のグロタンディーク宇宙」でグロタンディーク宇宙の話をしました。贅沢主義か節約主義かは、公理系を設定するときの態度であって、どちらの態度で公理系を設定しても、得られる概念は同じです。ところで、単一のグロタンディーク宇宙ではなくて…
たいていの公理系はミニマリスト・アプローチで定義されていて、無駄な（他の公理達から導出可能な）公理は入れないで、必要最小限の公理達から構成されています。しかし、導出可能な命題を最初から公理系に入れておくのが絶対にダメなわけではないです。「…
ダラッっと語る。$`\newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1} } %\newcommand{\u}[1]{\underline{#1} } %\newcommand{\Imp}{\Rightarrow} %\newcommand{\If…
同一の概念にたくさんの呼び名があるのは、よくあることです。呼び名が違うことで同一性に気付かなかったり混乱したりします。表題にある概念の同一性について整理しておきます。$`\newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} } \newco…
「スライス圏の大域的な定義： スラッシュ記号の解釈」で、スラッシュ記号 '$`/`$' で表現されるスライス構成について述べました。そこで次のように書きました。 二番目の $`f^*`$ は定義に条件が必要で複雑でもあるので、ここでは一番目だけを扱います。 過…
以下の過去記事達で指摘した問題の一部に対する対策をします。 型理論に出てくる第一射影と第二射影 最近の型理論のハマリ所 ファイバー積の場合の第一射影と第二射影で使う記法を新たに約束します。双対であるコファイバー和についても論じます。$`\newcomm…
木〈ツリー〉や林〈フォレスト〉は重要なデータ構造です。以下の過去記事で説明したことがあります。 木と林（有向グラフ） 木と林（有向グラフ） その2 レベル付き林の圏 （最後の追記参照） カートメル〈John Cartmell〉による木・林の定義が使いやすいと…
「論理計算のための宇宙と型、二種類の述語」において、二元の宇宙 $`{\bf Prop}`$ を次のように定義しました。$`\quad {\bf Prop} := |{\bf Bool}|`$$`{\bf Bool}`$ は2つの対象 $`{\bf 0}, {\bf 1}`$ だけを持つ集合圏の充満部分圏です。しかし実際の証明…
[追記]「論理計算のための宇宙と型 補遺」に続きがあります。[/追記]型理論と圏論の言葉は次のように対応します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\mfk}[1]{ \mathfrak{#1} } \newcommand{\In}{ \text{ in } }`$ 型理論 圏論 型 対象 型…
一部の証明支援系／プログラミング言語において、シグマ型を直積型と同じ '$`\times`$' で、パイ型を指数型と同じ '$`\to`$' で書くという記法が採用されています。これは短く書けて便利なのですが、当然ながら混乱を招くので、少し変更した形で紹介します。…
色々とハマル。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\op}{ \mathrm{op} } % used \newcommand{\hyp}{\text{－} } % used \newcommand{\ILT}{ \triangleleft } % immediately…
以前、圏論の普遍性という概念は難しい、という話を書いたことがあります。 圏論の普遍性が難しい理由 普遍性は“前層の表現可能性”により語られるので、普遍性の難しさは“前層の表現可能性”の難しさです。「表現可能である」ことは前層の性質ですが、「当該…
