モノイド圏があると、それから複圏と多圏が作れます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\In}{\text{ in } } \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\Lis}[1]{\langle {#1} \rangle} \newcommand{\MComp}[1]{ \mathop{;_{#1}} } \n…
半グラフは、グラフの拡張概念で、辺の両端に頂点があることを要求しません。片側しか頂点がない辺、頂点と接続してない辺も認めます。ツリーは、グラフのなかでも特によく使われるものです。ツリーを半グラフ・ベースで考えたらどうなるでしょうか？ グラフ…
アーマン／チャップマン／ウウスタル〈Danel Ahman, James Chapman, Tarmo Uustalu〉による有向コンテナは、圏と同値な構造です。コンテナをベースにした定義であることから幾つかのメリットがあります。有向コンテナの“ある種の双対”をとった余有向コンテナ…
「ハイパーグラフって要らないよなー」と、なんとなく思っていました。なんで要らないのだろう？ と考えてみました。ハイパーグラフを、なんらかの事物・概念を表す描画法と捉えたとき、もっと有能で使い勝手がいい描画法があるので要らない、ってことです。…
有向グラフであって、有向辺のソースとして“複数の頂点のリスト”を許す構造が複グラフ〈multigraph〉です。複グラフがあると、それからある種の多項式関手を定義できます。その多項式関手は、複グラフの頂点集合をインデキシング集合としてモノイド圏に値を…
直前の記事「コステロの半グラフ圏によるシステム記述」で使用したコステロの半グラフ圏はホントに使い勝手が良いです。半グラフ圏の部分圏をとったり、半グラフ圏の変種を考えることにより、色々な応用ができます。しかし、その定義にやや曖昧なところもあ…
2ヶ月半ほど前に「半グラフからシステムの記述へ」という記事を書きました。半グラフ（関連記事へのリンクは「スケマティック系のハブ記事 // 半グラフ」）は、ワイヤーに向きがないワイヤリング図／ストリング図だと思ってかまいません。無向ワイヤリング図…
この記事には内容的な記述はありません。スケマティック系関連の記事へのリンク集となります。スケマティック系の概略と目的は、「スケマティック系のために： 雑多な予備知識 // 絵図的手法とスケマティック系」に書いています。 スケマティック系 半グラフ…
ケビン・コステロが定義した“グラフの圏”は、実際には圏になってません。しかし、ほとんど圏と同様に扱えますし、役に立ちます。射の結合可能性条件を等式から同型に緩めた事例として興味深く示唆に富みます。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcomma…
集合論で許されるありとあらゆる集合の集まりを $`\mathbb{V}`$ と書くことにします。$`\mathbb{V}`$ は集合ではないし、その外を考えることは許されないので、集合達の絶対的大宇宙と言えます。$`\mathbb{V}`$ は集合ではないので、集合のように扱うことは…
圏の概念を一般化する方法として、豊穣化と内部化があります。例えば、圏達の圏で豊穣化した豊穣圏は厳密2-圏です。圏達の圏に内部化した内部圏は二重圏です。豊穣化ではホムセットが集合以外のモノになり、内部化では対象集合／射集合が集合以外のモノにな…
ローヴェア〈William Lawvere〉は、彼の学位論文で「セオリー」という概念を導入しました。現在、ローヴェアのセオリーに対する色々な呼び名がありますが（「用語のバリエーション記述のための正規表現 // ウンザリする例」参照）、ここではローヴェア・セオ…
「オペラッド〈operad〉」という言葉は非常によく使われるのですが、僕は「オペラッド」の同義語として「複圏〈multicategory〉」を好んで使っていました。その理由は、「圏〈category〉 → 複圏〈multicategory〉 → 多圏〈polycategory〉」というきれいな拡…
「左加群は前層、右加群は余前層、双加群はプロ関手」の続きです。余前層としての右加群（または前層としての左加群）が、ファミリー〈集合族〉の圏上のモナドのアイレンベルク／ムーア代数になってるよ、という話です。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}…
「有向コンテナと多項式コモナド」にて： モノイド類似構造である有向コンテナ〈圏〉構造が、多項式自己関手を台とするコモノイド構造として反映されるわけです。面白いですね。 面白そうなので、アーマン／ウウスタル〈Danel Ahman, Tarmo Uustalu〉以外の…
