「スライス圏の大域的な定義： スラッシュ記号の解釈」で、スラッシュ記号 '$`/`$' で表現されるスライス構成について述べました。そこで次のように書きました。
二番目の $`f^*`$ は定義に条件が必要で複雑でもあるので、ここでは一番目だけを扱います。
過去記事では複雑な場合を除外しました。この記事で、複雑な場合（めんどうなスラッシュ・アスタリスク）について述べます。実際、コイツはめんどくさい。$`\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} }
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1} }
\newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1} }
%\newcommand{\u}[1]{\underline{#1} }
%\newcommand{\Imp}{\Rightarrow}
%\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}
%\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\op}{ \mathrm{op} }
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\sl}{ {/_*} } % slice
\newcommand{\opsl}{ {/^*} } % {opposite | contravariant} slice
\newcommand{\dimU}[2]{ {{#1}\!\updownarrow^{#2}} }
`$
内容：
アスタリスク
スラッシュとアスタリスクで何でもかんでも表そうとするのは、僕は嫌いなんですが、その気持ちは脇に置いて、実際に使われているアスタリスクの用法を紹介します。以下、出てくる圏は、すべてプルバック〈ファイバー積〉を持つとします。
次の図のような状況を考えます。
$`\quad \xymatrix{
{}
& {A'} \ar[rr]^{f''} \ar@/^/[dddl]_{a'}
\ar@{}[dddr]|{\text{p.b } }
& {}
& {B'} \ar@/^/[dddl]^{b'}
\\
{A} \ar[rr]^{f'} \ar[dd]_{a}
\ar@{}[ddrr]|{\text{p.b } }
& {}
& {B} \ar[ur]^{\varphi} \ar[dd]_{b}
& {}
\\
{}
& {}
& {}
& {}
\\
{X} \ar[rr]_f
& {}
& {Y}
& {}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
$`\text{p.b.}`$ はプルバック四角形を表します。図だと分かりにくいかも知れませんが、プルバック四角形のひとつは四角形 $`ABYX`$ 、もうひとつは四角形 $`A'B'YX`$ です。次のような言い方／書き方をします。
- $`a`$ は、$`b`$ を $`f`$ により引き戻した射だから $`a = f^* b`$
- $`a'`$ は、$`b'`$ を $`f`$ により引き戻した射だから $`a' = f^* b'`$
$`f, b`$ からプルバック四角形が一意に決まるわけではないので、$`f^*b`$ も一意に決まるわけではありません。たくさんある（かも知れない）候補からひとつ選んで、それを $`f^*b`$ と書いているのです。$`f^*b'`$ も同様です。
$`(f, b)`$ と $`(f, b')`$ に対してそれぞれのプルバック四角形を選んで固定すれば、$`\varphi:B \to B'`$ に対する $`f^*\varphi : A \to A'`$ は一意に決まります。それは、次の図のようになるからです。
$`\quad \xymatrix{
{A} \ar@/_/[ddr]_{a} \ar@/^/[drr]^{f':\varphi} \ar@{.>}[dr]
&{}
&{}
\\
{}
&{A'} \ar[r]^{f''} \ar[d]_{a'}
\ar@{}[dr]|{\text{p.b.} }
&{B'} \ar[d]^{b'}
\\
{}
&{X} \ar[r]_f
&{Y}
}\\
\quad \In \cat{C}
`$
点線の射は一意に決まるので、それを $`f^* \varphi`$ とします。
まとめると：
- $`f^*b`$ ： たくさんある（かも知れない）プルバック四角形のなかからひとつを選ぶと決まる。
- $`f^*b'`$ ： たくさんある（かも知れない）プルバック四角形のなかからひとつを選ぶと決まる。
- $`f^*\varphi : f^*b \to f^* b' \In \cat{C}/X`$ ： $`f^*b, f^*b'`$ が決まっているなら一意に決まる。
すべての $`b: B \to Y`$ に対する $`f^*b`$ を決めてしまえば、次は成立します。
$`\quad f^*(\varphi; \psi) = (f^*\varphi);(f^*\psi)\\
\quad f^*(\mrm{id}_B) = \mrm{id}_{f^*B}
`$
つまり、$`f^*`$ は共変関手になります（下の $`X, Y`$ が入れ替わっている事は、$`f^*`$ が共変関手である事とは別なことです）。
$`\quad f^* : \cat{C}/Y \to \cat{C}/X \In \mbf{CAT}`$
しかし、次の等式は保証できません。
$`\text{For } f:X \to Y, g:Y \to Z \In \cat{C}\\
\quad (f;g)^* = (g^*)* (f^*) : \cat{C}/Z \to \cat{C}/X \In \mbf{CAT}
`$
ここで、中置演算子記号のアスタリスクは、関手の図式順結合です。
等式は成立しませんが、関手のあいだの同型（関手圏における同型＝自然同型）は成立します。
$`\quad (f;g)^* \cong (g^*)* (f^*)\\
\quad (\mrm{id}_X)^* = \mrm{Id}_{\cat{C}/X}
`$
$`(\hyp)^*`$ は、圏 $`\cat{C}`$ 上で定義された、2-圏 $`\mbf{CAT}`$ （または $`\mbf{Cat}`$）に値をとる反変スード関手になります。厳密関手にはなりません（なるとは限りません）。$`X, Y`$ が入れ替わるのは、スード関手 $`(\hyp)^*`$ の反変性で、$`(\hyp)^*`$ の値は共変関手です。
たくさんある（かも知れない）プルバック四角形のなかからひとつを選ぶ写像を亀裂子〈cleavage〉と呼びます。実際、プルバック四角形の選択は、余域ファイブレーション〈codomain fibration〉の亀裂子です（「ファイブレーションの亀裂と分裂」参照）。$`(f;g)^* = (g^*)* (f^*)`$ が成立するような亀裂子があれば、それを分裂子〈splitting〉と呼びます。分裂子の存在を仮定すると話が簡単になります（一般性は失われますが）。
スラッシュ
上付きアスタリスク記法は、単一の圏を扱っているうちはいいのですが、色々な圏を一緒に扱うときはウマくありません。$`f^*`$ の代わりに $`\cat{C}\opsl f`$ を使います。この記法は「スライス圏の大域的な定義： スラッシュ記号の解釈」で導入したものです。
$`\quad (\cat{C}\opsl \hyp) : \dimU{\cat{C}^\op}{2} \to \mbf{CAT} \In \mathbb{2CAT}^\mrm{psd}`$
$`\mathbb{2CAT}^\mrm{psd}`$ は、1-射をスード関手〈pseudo functor〉とした2-圏達の3-圏です。$`\dimU{\cat{C}^\op}{2}`$ は、1-圏を2-圏とみなす操作です（$`\dimU{\hyp}{n}`$ に関しては「圏の次元調整」を参照）。
ブラケット記法で簡潔に書くなら：
$`\quad (\cat{C}\opsl \hyp) \in [{\cat{C}^\op}, \mbf{CAT}]^\mrm{psd}_2`$
ブラケット記法については次の過去記事を参照してください。
スード反変関手 $`\cat{C}\opsl`$ は、圏 $`\cat{C}`$ がプルバック〈ファイバー積〉を持つときしか定義できないことに注意してください。
ここで、スラッシュの使用法を復習しましょう。
- $`\cat{C}/c`$ ： スライス圏〈オーバー圏〉
- $`\cat{C}\opsl f`$ ： 反変スード2-関手〈(2, 0)-変換手〉 $`\cat{C}\opsl`$ による $`f`$ の値〈像〉である共変1-関手〈(1, 0)-変換手〉。$`\cat{C}`$ が了解されているなら $`\cat{C}\opsl f`$ を $`f^*`$ と書いてもよい。$`\cat{C}\opsl c`$ は $`\cat{C}/c`$ でもよい。
- $`F / c`$ ： 関手 $`F:\cat{C} \to \cat{D}`$ に対して、$`\cat{C}/c`$ から $`\cat{D}/F(c)`$ への関手
- $`F\opsl (c, f)`$ ： $`F:\cat{C} \to \cat{D}`$ に対して、$`\cat{C}/c`$ から $`\cat{D}/d`$ への関手（後述）
これらのスラッシュは、次のような関手（正確にはスード2-関手）に対する省略記法とみなせます。
$`\quad \mrm{Slice}^* : \dimU{ (\int^\leftarrow \mrm{Taut}) }{2} \to \mbf{CAT} \In \mathbb{2CAT}^\mrm{psd}`$
次節以降で説明します。
4種類のグロタンディーク構成
「グロタンディーク構成と積分記号」から、必要なことだけごく手短にまとめます。
$`\cat{I}`$ を圏として：
- $`P:\cat{I}^\op \to \mbf{CAT} \In \mathbb{2CAT}^\mrm{psd}`$ をインデックス付き圏〈indexed category〉と呼ぶ*1。
- $`Q:\cat{I} \to \mbf{CAT} \In \mathbb{2CAT}^\mrm{psd}`$ を余インデックス付き圏〈coindexed category〉と呼ぶ。
- 余インデックス付き圏にグロタンディーク構成を施したものを余平坦化圏〈coflattened category〉と呼ぶ。
- 余平坦化圏には、順方向余平坦化圏〈forwardly coflattened category〉と逆方向余平坦化圏〈backwardly coflattened category〉がある。
- 余インデックス付き圏 $`Q`$ の順方向余平坦化圏を $`\int^\to Q = \int^\to (\cat{I} \mid Q)`$ と書く。
- 余インデックス付き圏 $`Q`$ の逆方向余平坦化圏を $`\int^\leftarrow Q = \int^\leftarrow (\cat{I} \mid Q)`$ と書く。
余平坦化圏は圏なので、反対圏を作れますが、ファイバー方向だけ逆転した圏も作れます。余平坦化圏（平坦化圏でも）の各ファイバーの反対圏をとって作った圏は、右肩に $`\mrm{fop}`$ を付けます。次が成立します。
$`\quad (\int^\to Q)^\mrm{fop} = \int^\leftarrow Q\\
\quad (\int^\leftarrow Q)^\mrm{fop} = \int^\to Q
`$
同語反復ファイブレーション
「スライス圏の大域的な定義： スラッシュ記号の解釈 // 同語反復余インデックス付き圏のグロタンディーク構成」のセッティングを少しだけ変えます。
記法を簡潔にするために $`\mbf{CAT1} := \dimU{\mbf{CAT}}{1}`$ とします。$`\mbf{CAT1}`$ は1次元の圏〈通常の圏〉であって2-圏ではありません。
$`\quad \mbf{CAT1} \in |\mathbb{CAT}|`$
$`\mbf{CAT1}`$ から $`\mbf{CAT}`$ への包含関手を余インデックス付き圏〈共変インデックス付き圏〉とみなしたものを $`\mrm{Taut}`$ （tautology から）とします。
$`\quad \mrm{Taut} := \mrm{Incl}_{\mbf{CAT1}} : \mbf{CAT1} \to \mbf{CAT} \In \mathbb{2CAT}^\mrm{psd}`$
余インデックス付き圏 $`\mrm{Taut}`$ に対してグロタンディーク構成ができます。
- 順方向余平坦化圏： $`\int^\to \mrm{Taut} = \int^\to (\mbf{CAT1} \mid \mrm{Taut})`$
- 逆方向余平坦化圏： $`\int^\leftarrow \mrm{Taut} = \int^\leftarrow (\mbf{CAT1} \mid \mrm{Taut}) = (\int^\to \mrm{Taut})^\op`$
余インデックス付き圏のグロタンディーク構成に伴うファイブレーション（反ファイブレーション）は次のようになります。左肩の $`\pi`$ はファイブレーションの射影を意味します。
$`\quad {^\pi \mrm{Taut}} : \int^\to \mrm{Taut} \to \mbf{CAT1} \In \mathbb{CAT}\\
\quad {^\pi \mrm{Taut'}} : (\int^\to \mrm{Taut})^\mrm{fop} \to \mbf{CAT1} \In \mathbb{CAT}
`$
$`\mrm{Taut'}`$ は、余インデックス付き圏 $`\mrm{Taut}`$ の値である圏ごとに反対圏をとって出来た余インデックス圏です。
上記の $`{^\pi \mrm{Taut}}, {^\pi \mrm{Taut'}}`$ を同語反復ファイブレーション〈tautological fibration〉と呼びます。これらは、余インデックス圏 $`\mrm{Taut}, \mrm{Taut}'`$ からグロタンディーク構成で作られたファイブレーションです。
ここで出てきた反対圏やファイバーごとの反対圏はややこしいですね。ややこしい事情や対策については以下の記事を参照してください。
順方向余平坦化ファイブレーションでは、ベース圏である $`\mbf{CAT1}`$ の対象 $`\cat{C}`$ に対するファイバー〈局所圏〉は、$`\cat{C}`$ 自身です。$`\mbf{CAT1}`$ の射 $`F:\cat{C}\to \cat{D}`$ に対するファイバー〈局所圏〉間の関手は、$`F`$ 自身です。逆方向余平坦化ファイブレーションでは、ファイバーが反対圏 $`\cat{C}^\op`$ 、ファイバー間の関手は $`F^\op`$ です。
同語反復ファイブレーションのトータル圏である順方向余平坦化圏がスード2-関手 $`\mrm{Slice}^*`$ の域〈ソース圏〉となります。
ファイバー反変スードスライシング関手
毎度話がややこしいのですが、$`\cat{C}^\op`$ 上の反変関手は $`\cat{C}`$ 上の共変関手です。同様に、$`\int^\leftarrow \mrm{Taut}`$ 上のファイバー方向だけ反変なスード関手を定義することは、$`\int^\to \mrm{Taut}`$ 上のスード関手を定義することと同じです。
$`\int^\leftarrow \mrm{Taut}`$ の対象 $`(\cat{C}, c)`$ に対する $`\mrm{Slice}^*`$ の値はスライス圏で与えられます。
$`\quad \mrm{Slice}^*( (\cat{C}, c)) := \cat{C}/c \; \in |\mbf{CAT}|`$
$`\int^\leftarrow\mrm{Taut}`$ で考えた場合、対象 $`(\cat{C}, c)`$ から $`(\cat{D}, d)`$ への射は、ベース射である1-関手 $`F:\cat{C} \to \cat{D}`$ と、ファイバー方向の射 $`f: d \to F(c) \In \cat{D}`$ （ここが逆方向）の組です。
$`\quad (F, f) : (\cat{C}, c) \to (\cat{D}, d) \in \int^\leftarrow\mrm{Taut} \\
\text{Where }\\
\quad F:\cat{C} \to \cat{D} \In \mbf{CAT}\\
\quad f:d \to F(c)\In \cat{D}
`$
これに対して、値 $`\mrm{Slice}^* ( (F, f))`$ を決めることにします。
関手 $`F/c : \cat{C}/c \to \cat{D}/F(c)`$ は自然に定義できます。一方、$`f:d \to F(c)\In \cat{D}`$ に対しては、$`\cat{D}\opsl`$ により $`\cat{D}/F(c) \to \cat{D}/d`$ が決まります。
$`\quad F/c : \cat{C}/c \to \cat{D}/F(c) \In \mbf{CAT}\\
\quad \cat{D}\opsl f : \cat{D}/F(c) \to \cat{D}/d \In \mbf{CAT}
`$
上記の2つの関手を結合した関手を定義します。
$`\quad \mrm{Slice}^* ( (F, f)) := (F/c) * (\cat{D}\opsl f) : \cat{C}/c \to \cat{D}/d \In \mbf{CAT}`$
次の略記を許します。
$`\quad F\opsl (c, f) := \mrm{Slice}^* ( (F, f)) : \cat{C}/c \to \cat{D}/d \In \mbf{CAT}`$
次が成立します。
$`\quad F \opsl(c, \mrm{id}_{F(c)}) = F/c : \cat{C}/c \to \cat{D}/F(c)\In \mbf{CAT}\\
\quad \mrm{Id}_{\cat{C}}\opsl (c, f) = \cat{C}\opsl f : \cat{C}/c \to \cat{C}/d \In \mbf{CAT}
`$
$`\mrm{Slice}^*`$ の（ファイバー方向だけ反変な）スード関手性を示すにはまだ確認作業が必要です。その作業が終えれば、$`\mrm{Slice}^*`$ が $`\int^\leftarrow \mrm{Taut}`$ 上のファイバー方向だけ反変なスード関手だと分かります。これは、$`\mrm{Slice}^*`$ が $`\int^\to \mrm{Taut}`$ 上のスード関手であることを意味します。
以上のように定義された、2-圏 $`\mbf{CAT}`$ に値をとる $`\int^\to \mrm{Taut}`$ 上のスード関手 $`\mrm{Slice}^*`$ をスードスライシング関手〈pseudo slicing functor〉と呼ぶことにします。$`\int^\leftarrow \mrm{Taut}`$ 上で見るとファイバー方向が反変なことを強調したいならファイバー反変スードスライシング関手〈fiber contravariant pseudo slicing functor〉と呼びます。
ファイバー反変スードスライシング関手により、アスタリスクやスラッシュの意味をハッキリ説明できます。
*1:厳密関手とは限らないインデックス付き圏については、「インデックス付き圏を拡張してファイバー付き圏へ」に書いてあります。過去記事では、スード関手をタイト関手と呼んでいます。
