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参照用 記事

雑記/備忘

米田の「よ」とニンジャ米田の補題

本日二投目。まだ、米田の「よ」だったりします。過去の2つの記事は: 米田の「よ」 ≒ ディラックの「δ」 米田の「よ」、米田の「米」、米田の「Yo」 上記2つの過去記事で、次のようなことを言いました。 米田の「よ」はディラックの「δ」やクロネッカーの「…

米田の「よ」、米田の「米」、米田の「Yo」

「米田の「よ」 ≒ ディラックの「δ」」の話をもう少し引っ張ります。今回は、上付き・下付きの約束を決めよう、という話です。内容: はじめに 明示的な記法 「よ」記法と米田密度 「米」記法 おわりに はじめにジョンソン・フレイド〈Theodore Johnson-Frey…

米田の「よ」 ≒ ディラックの「δ」

米田埋め込みをひらがなの「よ」で書く例はチラホラと見るようになりました。最初に使い出したのは(おそらく)リ・ブランド〈David Li-Bland〉(https​://davidlibland.github.io/)です。 Title: The stack of higher internal categories and stacks of i…

エキストラ自然変換のストリング図

"extranatural transformation" は「エキストラ自然変換」と言うことにします。カタカナと漢字を混ぜる用法は「モノイド圏」とか「プロ関手」とか(僕は)普通に使っているのでこれでいいとします。nLabのエキストラ自然変換の項目 https​://ncatlab.org/nla…

曖昧表現の非曖昧化と解決

とある微分幾何の教科書のなかで使われている関手の表現が曖昧でタメ息が出ました。が、曖昧表現の使用はこの教科書に限らないわけで、いたる所で使われています。一般的な(特定の予備知識を仮定しない)事例で、関数/関手の曖昧表現とその解釈方法を説明…

余相対多様体上のベクトルバンドルの圏と引き戻し関手

思い付いたことがあるのでメモしておきます。ちょっとした思い付きでも書いてみると長くなりますね。 内容: 動機 余相対多様体の圏 余相対多様体上のベクトルバンドルの圏 余底の取り替え関手 引き戻し関手 引き戻し公式の使用例(確認) おわりに 動機 は…

オプティックの絵図

オプティック〈optic | optics〉というプログラミングのデザインパターン(広義)があるらしい。僕は知らなかったのですが、「オプティックを勉強したい」という人達がいたので、ちょっとお付き合いしてみました。オプティックで使う(かも知れない)絵図〈d…

主バンドル:ツイスト構成とフレーム構成

ローレンス・ブリーン〈Lawrence Breen〉の次の論文の最初だけ眺めてみました。 Title: NOTES ON 1- AND 2-GERBES Author: LAWRENCE BREEN Pages: 31p URL: http​://www.math.uchicago.edu/~may/IMA/Incoming/Breen/breen.pdf ブリーンは、主バンドル*1から…

多様体とバンドルのボキャブラリ (1) 基本記法

以前「主バンドルの基本的なこと (1/2)」という記事を書いたのですが、後編の「(2/2)」を書いていません。その理由のひとつは、2回で書き切る気がしなくなったからです。そんなこともあったので、分母を書かない番号「(1)」をこの記事のタイトルに付けました…

コジュール接続の圏 再論

昨日の記事「概リー/ラインハート代数とコジュール接続」への補足追記です。コジュール接続の圏の定義を変更したほうが便利な気がするので、それについて書きます。 内容: 要点:定義の変更箇所 射の定義 共変微分の前送り 共変微分の差 共変微分の差の合…

概リー/ラインハート代数とコジュール接続

概リー/ラインハート代数は、多様体上の「(なめらかな)関数の環、接ベクトル場の括弧積マグマ(多様体ではリー代数ですが)、接ベクトル場による関数の微分」を抽象化・代数化した構造だと言えます。概リー/ラインハート代数上のコジュール接続は、「接…

概リー/ラインハート代数層

前回の記事「概リー/ラインハート代数」において、リー/ラインハート代数の条件〈公理〉を少しゆるくした代数系である概リー/ラインハート代数〈almost Lie-Rinehart algebra〉を定義しました。これはリー/ラインハート代数の一般化と言えます。「リー/…

概リー/ラインハート代数

先日の記事「リー/ラインハート代数とその周辺」で、リー/ラインハート代数〈Lie-Rinehart algebras〉を話題にしました。が、リー/ラインハート代数の定義には少し揺らぎがあります。その点を注意しておきます。条件〈公理〉をゆるくした概リー/ラインハ…

階付きベクトル空間 再論

先週の記事「リー/ラインハート代数とその周辺 // 階付きベクトル空間」で階付きベクトル空間〈graded vector space〉の紹介をしました。この記事で、階付きベクトル空間のもう少し詳しい話をします。特に、階付き対象のあいだの射を再階付けモノイドという…

リー/ラインハート代数とその周辺

日曜日(2021年5月16日)にたまたま見かけた論文でリー/ラインハート代数〈Lie-Rinehart algebras〉というものを知って、ちょっと盛り上がりました。以前に、幾分かは似た事を考えたことがあったのですがマトマリが付かなかった経験があります。なので、「…

もっとちゃんと微分、デザインパターンを使って

※この記事は、MathJax / XyJax 使いまくりで長いので、(クライアント側に負担がかかる)重いページです。この機会に書いておこうと色々詰め込んであり、ハナシが前後している箇所(良く言えばトップダウン的記述)もあります。記述の順番を整理する気力はな…

多様体のあいだの写像の微分

が、(なめらかな)多様体のあいだの(なめらかな)写像のとき、その“微分”を と書きます。この書き方についは、「多様体上のとある公式: 計算練習」で次のように言いました。 上下のアスタリスクを使う書き方は僕は嫌いですが(微分らしく見えないし、色々…

マルコフ・テンソルに関連する圏達

昨日の記事「マルコフ圏におけるテンソル計算の手順とコツ」で次のような表を挙げました。 対象が番号/番号リスト 対象が集合/集合リスト 簡約多圏 L FinSet Poly(FinSet) Mat FXMat Poly(FXMat) = FXTens Tens FXTens = T - これらの圏について、ちょっと…

マルコフ圏におけるテンソル計算の手順とコツ

圏論では、さまざまな絵図/テキスト式が出てきます。絵図〈diagram | picture〉とテキスト式〈text expression〉とのあいだの相互翻訳や、絵図/テキスト式を使った計算は、機械的作業(アルゴリズムの実行)です。したがって、手順をマスターすれば、誰で…

リー/モーレー/カルタン群層の実例: 正方行列構成

「マリオス微分幾何とカルタン接続」の続きです。リー型群層〈group sheaf of Lie-type〉は、リー群が持つ構造の一部を代数的に取り出して層の世界で定式化したものです。モーレー/カルタン微分は、群に値を取る関数の対数微分を、やはり層の世界で公理化し…

マリオス微分幾何とカルタン接続

2019年にマリオス〈Anastasios Mallios〉の抽象微分幾何(以下、マリオス微分幾何)について紹介したことがあります。 マリオスの抽象微分多様体 抽象微分多様体、もうチョット 抽象微分多様体、さらに:共変微分のアフィン構造 その後もたまにマリオス達の…

開集合族に載った前層係数のコチェーン

多様体上で何かを計算するときに、開被覆族に載った層係数のコチェーン〈チェック・コチェーン〉が出てきます。これは記法として便利です。便利なので、条件をゆるめてもっと広く使ってもいい気がします。 開集合の族が被覆になってなくてもいいとする。 係…

コジュール接続とQ-多元環

1年3ヶ月ほど前に書いた「コジュール接続の圏」に次のように書いています。 先週ボンヤリと考えていたことがあったんですが、ちょっと面倒になってきて気力萎え。だけど、いつかまた興味と気力が湧いたときに参照できるようにメモ書きを残しておきます。 こ…

ド・ラーム復体とホモトピー

「ド・ラーム・コホモロジーはホモトピー不変量だ」と言われます。これはいったいどういう意味なんでしょう? 「ホモトピー」が色々な意味で使われ過ぎていて何だかヨクワカリマセン。事情をハッキリさせましょう。※ 言葉と表記に関する注意: 英単語の語尾…

続・接バンドルのホロノーム座標

去年の春に書いた次の記事で、 接バンドルのホロノーム座標 ホロノーム座標 補遺:バンドル座標 数理物理学者サルダナシヴィリ〈Gennadi Sardanashvily〉が使っている座標記法を紹介しました。サルダナシヴィリのオリジナルの記法では3種類の座標があり、そ…

2-二重圏: 随伴系達の圏

基礎圏〈台圏〉を指定しないすべてのモナド達の圏をMnd、すべての随伴系〈adjunction | adjoint system〉達の圏をAdjと書くことは多いですが、MndやAdjが何を意味するかは人によりバラバラです。バラバラなのはしょうがないのですが、様々な定義を記述したり…

離散キューブ: 特に0次元と(-1)次元の話

次元の概念は思いのほか難しくて、あまり理解されてないのかも知れませんね。特に0次元が鬼門のようです。離散キューブという概念を導入する過程のなかで0次元の話をします。(-1)次元は、空集合に対する次元の候補です(空集合の次元は幾つかの考え方があり…

モナド達の上のモナド: ストリート・モナド

モナド達が作る圏(実際は2-圏)の上に、とあるモナドが載っています。ストリート・モナド〈Street monad〉っていうモナドです。ストリート・モナドは我々が普段扱っているモナド達より上のレベルに居るモナドの典型例ですね。ストリート随伴系〈Street adju…

モナドの分解の比較定理

随伴系〈adjunction | adjoint system〉があるとモナドを作れます。逆に、モナドを随伴系に分解〈resolution〉して調べたいことがあります。となると、ある特定のモナドに対して、随伴系への分解はどのくらいあるのだろう? と知りたくなるのが人情です。モ…

ニューラルネット形状を実現する関手としりとりの圏

「最急降下法機械学習の圏 // 使えるのか?」で言及した、単一ニューラルネットの形状の圏 SNNS (the category of Single Neural Network Shapes)からパラメータ付き関数の圏 Para(AES) への実現関手〈実装関手〉について説明します。何はともあれ、しりと…