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参照用 記事

雑記/備忘

線形代数と色々な行列式関手

行列式を圏論的に定義したい、要望としては、行列式を外積代数と関連付けて扱いたい -- と、考えてみたのですが、「これがベスト」という定義には至りませんでした。いくつかの定義を提示します。それぞれに一長一短があります。この記事で定義する行列式関…

余次元1の埋め込みの向き

多様体の向きに関しては、「多様体の向き:色々な定義」に書いた、外積代数バンドルを使う向きの定義がスッキリしている気がします。が、しかし: ところで、「0次元多様体は向き付け不可能なのでは」で触れた法直線バンドル/法ベクトル場を使った向きの定…

多様体の向き:色々な定義

次の2つの記事で「0次元多様体の向き」について書きました。 0次元多様体の向きの定義が納得できない 0次元多様体は向き付け不可能なのでは 「向き」の定義が二種類あって、0次元のところでその齟齬が目立ってしまう、という事情でした。これらの記事を書く…

0次元多様体は向き付け不可能なのでは

今日書いた記事「0次元多様体の向きの定義が納得できない」への補足です。同じ記事への追記・修正でもいいのですが、追記としては若干長め、大きな修正は原則しない方針なので別記事にします。まず、先の記事では、 主に心理的な理由で、境界を許すコンパク…

0次元多様体の向きの定義が納得できない

話を簡単にするために、多様体はコンパクトなものだけを考えます。0次元多様体は、(コンパクト性の仮定のもとで)有限個の点です。0次元多様体にも向き〈orientation〉を考えることができて、向き付き0次元多様体〈oriented 0-dimensional manifold〉とは符…

オペラッドと型付きラムダ計算

一昨日の記事「モノイド圏上のテンプレート・オペラッド:具体例とソフトウェア的解釈」でオペラッドの話をしたので、小円板オペラッド〈little disks operad〉における計算を型付きラムダ計算のフレームワークに乗せてみましょう。これによって、オペラッド…

モノイド圏上のテンプレート・オペラッド:具体例とソフトウェア的解釈

とあるソフトウェア的な動機から、圏論的な代数系を構成してみます。この代数系は、通常の圏〈ordinary category〉とは違い、横結合、縦結合、モノイド積の3つの演算を持ちます。通常の圏は結合だけしか持たないし、モノイド圏は結合とモノイド積しか持ちま…

DOTN三号とCatPict〈キャットピクト〉:方針

DOTNとは、Diagrammatic-Order Text Notation のアクロニムで、モノイド圏や2-圏の射を表現するための表記法です。DOTNをブログで最初に紹介したのは2006年です。 図式順テキスト記法(DOTN)(別なページへのリンク) 2013年にリバイスして、DOTN二号〈Vers…

カン拡張の左右の憶え方をもうひとつ

「ガーッ! また左と右が。カン拡張」では、左随伴関手と右随伴関手の左右と対応させて、左カン拡張と右カン拡張の左右を覚える方法を紹介しました。この方法の欠点は、左右を決定する道のりが長いことです。別な方法を紹介します。まず、次の対応を丸暗記し…

必然性なき選択と過剰な表示

書籍『〈現実〉とは何か』(筑摩選書)への谷村省吾先生による言及に触発されて、「根拠なき選択」という記事を書きました。そのなかで、何かを選ぶとき、選べるものが一個しかない(一択)なら、それは「根拠がある選択」だと言いました(脚注)。それしか…

コジュール接続の一般射は一般的だった

昨日の記事「コジュール接続の圏 その2」で: ちょっと思いついたこと(一般射という概念)があるんで、それのメモみたいなもんです。一般射〈generic morphism〉 一般的(過ぎるかも) 実際、コジュール接続のあいだの一般射という概念は一般的でした。用途…

コジュール接続の圏 その2

「コジュール接続の圏」の続きを書きます。と言っても、ちょっと思いついたこと(一般射という概念)があるんで、それのメモみたいなもんです。内容: はじめに オーバーロードと省略のルール イントラベースとインターベース コジュール接続のあいだの慣性…

伝統的テンソル計算における添字の上げ下げ

伝統的(むしろ因習的)テンソル計算では、「添字を上げる/下げる」というな言い回しが出てきます。例えば、 の添字 i を下げ、j を上げ、k はそのままにすると になります。伝統的〈因習的〉記法・語法に慣れてないと何のことだかわかりません。この「添字…

スタック図の逆襲

だいぶ昔ですが、2次元の圏に関する描画に、スタック図という描画法を使っていました。例えば、2006年に書いた次の文書でスタック図も描いています。 ストリング図による複合モナドの計算 (1) *1 ストリング図に比べて特にメリットがないので、スタック図を…

ストリング図とストライプ図

昨日の記事の最後の節(付録)「図式思考の例として、ラックス・モノイド関手について考えてみる // ストリング図とストライプ図」の続きです。内容: 自然変換ストリング図と関手ストリング図 ストリング図書き換え ストライプ図 自然変換ストリング図と関…

図式思考の例として、ラックス・モノイド関手について考えてみる

圏論に自然変換の概念が入ってくると、2-射を持つ2次元の圏(「圏の圏」です)を扱うことになります。圏の直積も普通に使います。例えば、二項関手〈双関手〉の定義には圏の直積が必要です。直積は、関手にも自然変換にも定義できます。その結果、「圏の圏」…

ガーッ! また左と右が。カン拡張

以前、「カン拡張における上下左右: 入門の前に整理すべきこと」というけっこう長い記事を書いたにもかかわらず、 -- にもかかわらずですね、カン拡張の左と右の定義を忘れた。どっちが左でどっちが右か分からなくなった。ハァ(ため息)。カン拡張の左と右っ…

可換図式とペースティング図

昨日の記事「はてなブログで貧相なペースティング図」に書いたやり方で、不格好ながらもなんとかペースティング図を描けるようになりました。そこで、通常の図式(1次元の図式)とペースティング図(2次元の図式)の可換性について考えてみます。(可換図式…

はてなブログで貧相なペースティング図

内容: 幾つかの事例 描き方のルール TeXソースとマクロ 幾つかの事例「MathJaxで可換図式」で述べたように、はてなブログでは、四角いレイアウトの可換図式しか描けません(素晴らしい描画能力を持つXyJaxは使えないので)。マックレーンの五角形も、五角形…

根拠なき選択

谷村省吾先生(TANIMURA Shogo (@tani6s) | Twitter)が少し前のツイートのなかで、『〈現実〉とは何か―数学・哲学から始まる世界像の転換』という本を紹介なさっていました。〈現実〉とは何か (筑摩選書)作者:甲矢人, 西郷,茂, 田口発売日: 2019/12/13メデ…

互換な演繹システムとシーケント、そして矢印記号

論理で使う“「ならば」っぽい記号”、“矢印的な記号”については過去に述べたことがあります。 含意<がんい>から伴意<ばんい>へ*1 さまざまな「ならば」達 論理におけるさまざまな「矢印」達 論理/メタ論理の記法をどうするか 2: 悟りへの道 何が主たる問…

行列の圏のなかでモナドを探す

10日前に書いた記事「行列の圏のなかでモノイドを探す」のなかで: 「行列の係数を、ブール半環 B から取らないとウマくいかない」は間違いでした。僕が、別な事例と混同してました。係数は半環(一例:自然数半環)なら何でもいいです。 僕が混同していた「…

「モナド、双圏、変換手」への補遺

昨日の記事「モナド、双圏、変換手」を読み返して、幾つか補足したほうがいい点を見つけたので書きます。内容: 変換手は必要なのか? 弱〈weak〉の意味と使用法 双圏〈bicategory〉の意味と使用法 (n, k)-圏とn-圏 注意すべきこと 変換手は必要なのか?「モ…

モナド、双圏、変換手

モナドを、双圏の3-圏BICATの0-変換手〈0-transfor〉として解釈します。内容: モナドはモノイド? 双圏の3-圏 モナドとは 双圏とラックス関手 3-圏のホム2-圏 関手と変換手 図式の描き方 まとめ モナドはモノイド?以前、「モナドはモノイドだが、モノイド…

デカルト・タワーを求めて

マイクロコスモ原理、デカルト構造の無限タワーについて述べたことがあります(2018年)。 マイクロコスモ原理と構造の無限タワー デカルト構造の無限タワー: 怖がらずに登れ 構造の無限タワーが存在するのは確実で、我々は無限先送り論法(逆帰納法)を使…

2020年なのに、Webフォームの憂鬱

今って、2020年ですよね。6,7年前の2013年, 2014年に、「Webフォームが使いにくい」と文句をたれてたのですが、2020年の現在ならば、さすがにそんな酷いことはないだろう -- そう期待しますよね。だって、僕が指摘した問題点は、ごく簡単に修正できることで…

行列の圏のなかでモノイドを探す

今回もまた、セミナーへの補足を意図してますが、行列計算と圏の定義くらい知っていれば分かる話を書きます。(なので、このブログ。)最後の節は分からない話かも知れませんが、気にしないでください。前回の記事で、集合圏のなかでは、すべての対象(集合…

図式思考の例として、コモノイドについて考えてみる

セミナーでの話への補足なんですが、特別な話題ではなくて一般論なことなのでここに書きます。理解したり覚えたりする目的には、テキストで書かれた等式などは不向きであること、一方で具体的な表示・計算にはやはりテキストが有効であることを説明します。…

インデックスをできるだけ使わない共変微分計算

共変微分の接続係数が絡んだ計算を、インデックス〈添字〉無しで出来ないか? -- 行列成分/テンソル成分を表すインデックスの使用は抑えることが出来ます。成分にバラさないで、まるのまま計算すればいいからです。インデックスを使わないことと、基底を取…

圏にグロタンディーク流位相を与える方法

昨日の記事の続きです。内容: 色々な方法 使いやすい方法 開射の圏 まとめ 色々な方法集合Xがあるとき、Xに位相を載せる〈位相構造を与える〉標準的な方法は、開集合の集合 O⊆Pow(X) を特定することです。この方法が標準的ですが、他の方法もあります。閉包…