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参照用 記事

もっとちゃんと微分、デザインパターンを使って

※この記事は、MathJax / XyJax 使いまくりで長いので、(クライアント側に負担がかかる)重いページです。この機会に書いておこうと色々詰め込んであり、ハナシが前後している箇所(良く言えばトップダウン的記述)もあります。記述の順番を整理する気力はな…

多様体のあいだの写像の微分

が、(なめらかな)多様体のあいだの(なめらかな)写像のとき、その“微分”を と書きます。この書き方についは、「多様体上のとある公式: 計算練習」で次のように言いました。 上下のアスタリスクを使う書き方は僕は嫌いですが(微分らしく見えないし、色々…

多様体上のとある公式: 計算練習

オンライン上の某所にて「次の等式がよくわからん」と:解釈を試みてみます。この等式は結局、次の図式の可換性として表現されます。内容: 記号の約束(状況設定) 書き方の約束 微分の定義 テンソル積加群とホム加群 図式のセットアップ 3つの補題 逆関数…

マルコフ・テンソルに関連する圏達

昨日の記事「マルコフ圏におけるテンソル計算の手順とコツ」で次のような表を挙げました。 対象が番号/番号リスト 対象が集合/集合リスト 簡約多圏 L FinSet Poly(FinSet) Mat FXMat Poly(FXMat) = FXTens Tens FXTens = T - これらの圏について、ちょっと…

マルコフ圏におけるテンソル計算の手順とコツ

圏論では、さまざまな絵図/テキスト式が出てきます。絵図〈diagram | picture〉とテキスト式〈text expression〉とのあいだの相互翻訳や、絵図/テキスト式を使った計算は、機械的作業(アルゴリズムの実行)です。したがって、手順をマスターすれば、誰で…

リー/モーレー/カルタン群層の実例: 正方行列構成

「マリオス微分幾何とカルタン接続」の続きです。リー型群層〈group sheaf of Lie-type〉は、リー群が持つ構造の一部を代数的に取り出して層の世界で定式化したものです。モーレー/カルタン微分は、群に値を取る関数の対数微分を、やはり層の世界で公理化し…

マリオス微分幾何とカルタン接続

2019年にマリオス〈Anastasios Mallios〉の抽象微分幾何(以下、マリオス微分幾何)について紹介したことがあります。 マリオスの抽象微分多様体 抽象微分多様体、もうチョット 抽象微分多様体、さらに:共変微分のアフィン構造 その後もたまにマリオス達の…

開集合族に載った前層係数のコチェーン

多様体上で何かを計算するときに、開被覆族に載った層係数のコチェーン〈チェック・コチェーン〉が出てきます。これは記法として便利です。便利なので、条件をゆるめてもっと広く使ってもいい気がします。 開集合の族が被覆になってなくてもいいとする。 係…

コジュール接続とQ-多元環

1年3ヶ月ほど前に書いた「コジュール接続の圏」に次のように書いています。 先週ボンヤリと考えていたことがあったんですが、ちょっと面倒になってきて気力萎え。だけど、いつかまた興味と気力が湧いたときに参照できるようにメモ書きを残しておきます。 こ…

ド・ラーム復体とホモトピー

「ド・ラーム・コホモロジーはホモトピー不変量だ」と言われます。これはいったいどういう意味なんでしょう? 「ホモトピー」が色々な意味で使われ過ぎていて何だかヨクワカリマセン。事情をハッキリさせましょう。※ 言葉と表記に関する注意: 英単語の語尾…

続・接バンドルのホロノーム座標

去年の春に書いた次の記事で、 接バンドルのホロノーム座標 ホロノーム座標 補遺:バンドル座標 数理物理学者サルダナシヴィリ〈Gennadi Sardanashvily〉が使っている座標記法を紹介しました。サルダナシヴィリのオリジナルの記法では3種類の座標があり、そ…

2-二重圏: 随伴系達の圏

基礎圏〈台圏〉を指定しないすべてのモナド達の圏をMnd、すべての随伴系〈adjunction | adjoint system〉達の圏をAdjと書くことは多いですが、MndやAdjが何を意味するかは人によりバラバラです。バラバラなのはしょうがないのですが、様々な定義を記述したり…

離散キューブ: 特に0次元と(-1)次元の話

次元の概念は思いのほか難しくて、あまり理解されてないのかも知れませんね。特に0次元が鬼門のようです。離散キューブという概念を導入する過程のなかで0次元の話をします。(-1)次元は、空集合に対する次元の候補です(空集合の次元は幾つかの考え方があり…

モナド達の上のモナド: ストリート・モナド

モナド達が作る圏(実際は2-圏)の上に、とあるモナドが載っています。ストリート・モナド〈Street monad〉っていうモナドです。ストリート・モナドは我々が普段扱っているモナド達より上のレベルに居るモナドの典型例ですね。ストリート随伴系〈Street adju…

モナドの分解の比較定理

随伴系〈adjunction | adjoint system〉があるとモナドを作れます。逆に、モナドを随伴系に分解〈resolution〉して調べたいことがあります。となると、ある特定のモナドに対して、随伴系への分解はどのくらいあるのだろう? と知りたくなるのが人情です。モ…

ニューラルネット形状を実現する関手としりとりの圏

「最急降下法機械学習の圏 // 使えるのか?」で言及した、単一ニューラルネットの形状の圏 SNNS (the category of Single Neural Network Shapes)からパラメータ付き関数の圏 Para(AES) への実現関手〈実装関手〉について説明します。何はともあれ、しりと…

最急降下法機械学習の圏

フォング/スピヴァック/トゥイーラス*1の次の論文が面白そうなので話題にします。 Title: Backprop as Functor: A compositional perspective on supervised learning Authors: Brendan Fong, David I. Spivak, Rémy Tuyéras Submitted: 28 Nov 2017 (v1),…

(-1)乗記号の憂鬱と混乱

は、可逆で微分可能な写像〈関数〉だとしましょう。この関数の逆関数の微分は、次の公式で与えられます。 は“fの微分”を与える2×2の行列値関数(ヤコビ行列)です。この公式を見たある人が、次のように“式変形”してから公式を使おうとしました。そして、「ん…

確率的圏における同一視・オーバーロード

細かい差異をいちいち区別していると煩雑でやってられないし、かといって、味噌もクソも一緒にしてしまうとグッチャングッチャンで意味不明になるし。良いバランスの妥協点を探すのは難しいですね。内容: 同一視されがちな概念 マルコフ核と、ジリィ空間へ…

統計的反転の圏論的セットアップ 2/?

「統計的反転の圏論的セットアップ 1/2」の続きっちゃ続きの話です。が、この話が「2/2」(全2回の2回目)になるかというと、そうはならない(まだ続く)ので、タイトルは「2/?」にしました。全部で何回になるかは不明になりました。統計的反転を一般的に議…

チャンネル理論の演算子記号が使いにくい理由

バート・ジェイコブス〈Bart Jacobs〉達のチャンネル理論(「ベイズ確率論、ジェイコブス達の新しい風」参照)では、チャンネルに対する演算に独自の記号を割り当てています。それがどうにも使いにくくて、結局僕は使うのをやめてしまったのですが、「使いに…

ローヴェア流セオリー論と統計モデル

次はイバン・パターソンの学位論文です。 Title: The algebra and machine representation of statistical models Author: Evan Patterson Submitted: 16 Jun 2020 Pages: 224p URL: https://arxiv.org/abs/2006.08945 Youtube動画で、上記学位論文の主に3章…

統計的反転の圏論的セットアップ 1/2

ベイズ反転〈Bayesian {inversion | conversion}〉と尤度関数の構成はなんとなく似てますが、その関係がハッキリとは分かりません(僕には)。また、ベイズ反転や尤度関数の利用場面では、実際に観測されたデータを使いますが、観測データは測度なのか述語な…

なぜ向き付けの基準が決まらないのか?

ひとつ前の記事「n次元空間の境界の向き」で、n次元ベクトル空間 の向きが決まっていても、(n - 1)次元部分ベクトル空間 の向きは必然的には決まらないし、決める方法〈アルゴリズム〉の優劣も判断できない、という話をしました。親のベクトル空間の向きから…

n次元空間の境界の向き

向き付きn次元多様体の境界である(n - 1)次元多様体に向きを誘導する、って話がありまして、思っていた以上にややこしいです。何が恣意的選択で何が必然的法則なのか? 僕は混乱してしまいました。多様体をベクトル空間にしても向きの議論は同じ(少なくとも…

歯抜けリストのジップ: ラックス・モノイド関手の例

未定義値、あるいは項目の欠損を許すようなリストを歯抜けリスト〈list admitting missing values〉と呼ぶことにしましょう。2つの歯抜けリストのジップ操作を考えると、それはラックス・モノイド関手になります。ラックス・モノイド関手は、プログラミング…

確率的独立性 再論

確率的独立性〈統計的独立性〉が難しい理由のひとつは、「‥‥は独立である」「独立な‥‥」というときの「‥‥」の部分がハッキリしないことでしょう。述語としての「独立」の主語、形容詞(修飾語)としての「独立」の被修飾語がハッキリしないのです。確率変数…

確率的論理のバリエーション

1月末から始める僕のセミナー(「確率論のカリー/ハワード/ランベック対応」参照)のトピックのひとつに「確率的論理」という言葉を入れておいたのですが、「確率的論理」ではひどく漠然としていて、何のことか分からないですね。より具体的に言えば、ファ…

限量子と代入、ベック/シュバレー条件

ベック/シュバレー条件〈Beck-Chevalley condition〉の一般的な記述(例えば、nLab項目)は抽象的で何を言ってるのか分かりにくいです。ベック/シュバレー条件の具体例として、述語論理における限量子と代入〈substitution | 置換〉の交換可能性があります…

Σ-Δ-Π随伴、もう一言

昨日、依存型に関連してΣ-Δ-Π随伴〈随伴トリオ〉の話をしたのですが、たまたま(ほんとに偶然に)別な文脈でもΣ-Δ-Π随伴が話題にのぼりました。そんなことがあったので、思いつくΣ-Δ-Π随伴の事例をザッと述べます。記事タイトルどおり、短い注釈です。内容:…