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参照用 記事

2024-05-01から1ヶ月間の記事一覧

球体集合達の圏の構文表示 2/2

「球体集合達の圏の構文表示 1/2」の続きです。この機会に、型理論的な形式的体系と構文的データについて詳しく説明します。一方、形式的体系の構文圏と圏同値の話は、概要を急ぎ足で述べるだけになってしまいました -- いずれ補足する機会もあるでしょう。$…

球体集合達の圏の構文表示 1/2

「指標の話: 形状の記述と形状付き集合」において、形状付き集合について述べました。よく使われる形状付き集合に球体集合〈球体的集合〉があります。球体集合達の圏の部分圏(有限な球体集合達)に対して、その構文表示を考えましょう。圏の構文表示とは、…

矢印記号の使用法と読み方 2024

矢印記号の使い方が、分野やコミュニティごとにバランバランで困ったー、という話題は、大昔から何度も繰り返しています。 さまざまな「ならば」達 (2006年) 論理記号のいろいろ (2006年) 論理:証明可能性と普遍妥当性 (2009年) 型推論に関わる論理の概念と…

再帰的構成のために: 順序数の圏

この記事も実はマルカキス論文(「指標の組織化と表現方法と呼び名は色々だ」参照)に触発された指標/コンピュータッドに関わるネタなのですが、独立な話として読めるので、タイトルに「指標の話:」とは入れてません。順序数に沿って再帰的構成や帰納的証…

指標の話: ペースティング図とバタニン・ツリー

高次圏の射達の組み合わせを表現する方法のひとつとして、ペースティング図があります。ペースティング図は、テキスト形式に書き写すことができます。ペースティング図とテキスト形式の中間の形式として、バタニン・ツリーがあります。バタニン・ツリーはと…

指標の話: 形状の記述と形状付き集合

昨日の記事「指標の組織化と表現方法と呼び名は色々だ」において、イワニス・マルカキス〈Ioannis Markakis〉の論文 "Computads for generalised signatures" を引き合いに出しました。このマルカキス論文には、色々なことが書いてあって面白い。面白いトピ…

指標の組織化と表現方法と呼び名は色々だ

以下の論文、タイトルを見て興味をそそられました。が、「んっ? 思ってたのと違う」となりました。コンピュータッドも指標も僕が知っているコンピュータッド/指標とは定義が異なるのです。が、冷静になって考えると「あっ、やっぱり同じか」となりました。…

フレーム充填問題と解空間関手

フレーム充填問題(「圏論におけるフレーム充填問題」参照)の解の全体、つまり解空間は、ファイバー付き圏のバンドルになります。フレーム充填問題のフレーム付き指標は、フレーム条件にファイバー付き圏のバンドルを対応させる関手を定義します。このこと…

モノイドの片側逆元

一般的に、モノイドの要素が右逆元を持っても左逆元を持つとは限りません。これは正しいのですが、ある特定のモノイドをとったときには、右逆元の存在が左逆元の存在を導くことはあります。n次正方行列の掛け算のモノイドは、「右逆元の存在から左逆元の存在…

射のクラスと制約付きスパン 補遺

「射のクラスと制約付きスパン」に出した具体例に対して、「あれ、この例はダメかも」と取り消して、すぐ「ん? 大丈夫だわ」ともとに戻しました。この補遺記事で、事情・経緯を書いておきます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]…

射のクラスと制約付きスパン

圏のスパンの全体は、プルバックを使って圏にすることができます。スパンの左脚と右脚に制約を付けても圏を構成できるときがあります。こうして作った制約付きスパンの圏が役に立つことがあります。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}…

続・変換手意味論とブラケット記法

この記事は、「変換手意味論とブラケット記法」の続きです。追記にするには長すぎるので別記事としました。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } %\newcommand{\op}{ \mathrm{op} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \…

変換手意味論とブラケット記法

変換手意味論が何であるかを説明し、変換手空間の便利な略記法であるブラケット記法を紹介します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } %\newcommand{\op}{ \mathrm{op} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcomma…

等式的2-グラフ(2-圏の記述のために)

等式的2-グラフ〈等式的2-コンピュータッド〉について解説します。等式的2-グラフは、2-圏内で実現される構造を記述するための具象指標として使います。例えば、2-圏内の随伴系やモナドは等式的2-グラフで記述できます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1}…

圏の具象性に関する資料

検索でたまたま引っかかった次の論文をチラ見しました。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\T}[1]{ \text{#1} } `$ [Pag11-] Title: Concrete Fibrations Author: Ruggero Pagnan Submitted: 24 May …

グロタンディーク構成・逆構成と同値対応

グロタンディーク構成には逆向きの構成があって、それらのペアが“インデックス付き圏の圏”と“ファイバー付き圏の圏”の圏同値を与えます。バンドル-ファミリー対応はその特殊ケースです。前層と“要素の圏”の対応も特殊ケースとなります。そのへんの事情をこの…

構造記述のための指標と名前 3/n 名前もっと

前回「構造記述のための指標と名前 2/n 圏の記述」の最後で、 次回は「圏論を使って二重圏を定義する」予定です。 と書いたのですが、二重圏の話の前に、最初の回「構造記述のための指標と名前 1/n 基本」では述べきれなかった“名前に関する説明”を追加しま…

構造記述のための指標と名前 2/n 圏の記述

「構造記述のための指標と名前 1/n 基本」で、指標を使って構造を記述する方法の基本を述べたので、実際にその方法を使って構造(代数系)を記述してみます。例題は小さい圏です。小さい圏を指標で記述するので、ターゲット〈標的環境〉は集合圏です。集合圏…

構造記述のための指標と名前 1/n 基本

最近の応用圏論〈ACT | Applied Category Theory〉では、モノイド圏、アクテゴリー、二重圏、三重圏などの複雑な構造を平気で使います。このような複雑な構造を扱うときは、名前に十分な注意をはらう必要があります。複雑な構造でなくても、名前に十分な注意…