おそらく2019年最後の記事。別に総括とかを意識はしてないですが、結果的にそれらしい記事になったかも知れません。自分で書いた過去記事を読んで「なんだこれ？」と思うことがあります。内容が分からないというよりは、動機を思い出せないのです。「何のた…

なにかについて伝える・語るとき、書き方・言い方を決めておかないと、行き違いや混乱が起きて苦労します。なので、記事タイトルにあるモノ達の「書き方」を決めておきます。扱うモノは、バンドルのセクション空間から派生するモノ達だけです。つまり、バン…

「複体、複体、複体 … なんとかしてくれ！」を書いているときにふと思ったことがあるんですが、横道にそれるので書きませんでした。そのことをこの記事で書きます。ふと思ったこととは、「圏C内のモノイド対象と、圏C内の単体的対象は酷似した概念だなー」。…

ホモロジー／コホモロジーの文脈で、「複体」という言葉が出てくるのですが、この言葉は多義的でいくつもの意味があります。大げさな言い方をすると、「出てくるモノはなんでも『複体』と呼んでいる」ようです。僕自身も混乱・困惑しましたし、コミュニケー…

曖昧な記法だと、ほんとに話がグチャグチャになって、考えがまとまりません。記法の整理・整備は大事です。内容： 飾り文字 注釈飾り文字 識別飾り文字 関手飾り文字 微分幾何からの例 まとめ 飾り文字上付き・下付きで小さく書く文字・文字列を飾り文字と呼…

「ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字」の続きです。ビッグサイトを作るもとになるサイトがあるので、それを巨大サイトと呼び、巨大サイトに注目しようという話です。内容： 巨大サイト 開射を持つ圏 被覆 被覆の圏 巨大層へ 巨大サイト（なめらか…

多様体M上のベクトルバンドルEに対して、そのセクション空間を対応させる関手 E ΓM(E) がメチャクチャに便利です。なんで、こんなにも便利なんだろう？ と考えてみました。マクロレベルで（多様体の圏、ベクトルバンドルの圏、可換環の圏、加群の圏、それら…

ここ最近書いている一連の記事はゆるく関連しています。 コジュール接続の圏 代数的平行移動 騙されるな、接続係数（クリストッフェル記号）の仕掛け 「共変微分と平行移動は同値な概念である」というよく知られた事実を、できるだけハッキリと記述したいな…

「コジュール接続の圏」で、共変微分の話をしました。そこで次のようなことを書きました。 選んだひとつの共変微分に対する、他の共変微分の“差分”（End1Form(E)Ab の要素）がいわゆる“接続係数”を定めます。ただし、共変微分の空間 CovDer(E) には、特別な…

最近、ベクトルバンドルと共変微分、つまりコジュール接続について考える機会があったのですが、共変微分と同値な概念として平行移動があります。共変微分の代わりに平行移動が使えるのなら、 コジュール接続 = ベクトルバンドル＋共変微分 ＝ ベクトルバン…

カリー化と線形代数と微分幾何に関する小ネタです。内容： 設定と約束 カリー化 共変微分 設定と約束RとFは可換環で、R⊆F （RはFの部分可換環）だとします。A, B などはF-加群だとします。R⊆F だったので、A, B などはR-加群でもあります。文字の使用法は次…

先週ボンヤリと考えていたことがあったんですが、ちょっと面倒になってきて気力萎え。だけど、いつかまた興味と気力が湧いたときに参照できるようにメモ書きを残しておきます。思い出すときのヒントは書きますが、詳しい話ではありません。あやふやなところ…

「バンドルと層の記法 まとめ」は、手書きで書くことを意識しています。が、それでも手書きだと書きにくい記法もあるので、もっと手早く書けるようにします。頻繁に使う3つの関手*1はギリシャ文字大文字で書くことにします。Φ, Ω, Ξ です。「ξ（グザイ）のい…

3日前に書いた記事「ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字」で「ビッグサイト」という言葉を使ったのですが、この言葉の典拠はnLab項目です。 https://ncatlab.org/nlab/show/big+site nLabには、他にラージサイト、スモールサイト、リトルサイトの項…

一覧にまとめておきます。随時、修正・追加があるでしょう。[追記 date="2021-06-26"]実情に合わせて修正しました。[/追記]内容： 圏 関手 バンドルとバンドル射 バンドルの演算 バンドルの移動 セクション セクション空間と層 層の演算 層の移動 圏 Man -- …

この記事で使う概念・記法は「ベクトルバンドル射の逆写像： 記法の整理をかねて」にあります。ただし、ベクトルバンドルFのxによる引き戻しは x#F にします。気付いた、というか、あらためて「そうなんだな」と思ったこと； 次の4種類のモノが区別されない…

「ビッグサイト」と言えば東京ビッグサイト。*1ではなくて、次のnLab項目を参照してください。 https://ncatlab.org/nlab/show/big+site nLab項目は一般的な設定で説明していますが、特定状況下で具体的なビッグサイトを利用する話をします。利用目的は微分…

昨日、行きがかり上 という記号を導入しました。偏微分の記号 の分母と分子をひっくり返したものです。誰かこの記号を見たことありますか？ （見たことある方は教えてくださいませ。） は の“逆”なのですが、偏微分作用素としての逆ではありません。線形代数…

取り急ぎのメモ。この記事で使う概念・記法は「ベクトルバンドル射の逆写像： 記法の整理をかねて」、「微分幾何におけるヤコビ行列の書き方： 因習の擁護」あたりに書いてあります。すべては「なめらかな世界」で考えます。NとMは多様体で f:N→M は写像とし…

多様体の一点での接ベクトルを定義する方法が幾つかあります。微分作用素としての定義は以前述べました。その他の方法二種類も記しておきます。内容： 三種類の接ベクトルの定義 座標依存方式 曲線方式 相互関係 三種類の接ベクトルの定義この記事に出てくる…

昨日の記事「ラムダ計算の自然性とお絵描き」で、ラムダ計算を行える〈do lambda calculus〉環境としてのモノイド閉圏を紹介しました。モノイド閉圏はカリー化を持ちます。カリー化に関わる素材と法則があれば、そこから指数随伴系〈テンソル・ホム随伴系〉…

タイトルの「自然性」は、国語辞書的な意味ではなくて、圏論の意味での自然性です。何が自然なのかというと、ラムダ計算の中核であるカリー化が自然だということです。なので、正確に言えば： ラムダ計算の中核であるカリー化は、圏論的な意味で自然である。…

昔は平気だったことでも、今では非難の対象になることは多々あります。時代が変われば、価値観・判断基準も変わるのでしょうがないですね。昔僕は、「これといった戦略もなく、気の利いた道具もなく、ただ力まかせに頑張る」ことを「ドカタ仕事」「ドカタ作…

伝統的（因習的）微分幾何の記法は、不合理の塊です。不合理な記法をやめられないのは、確かに便利だからです。xとyが多様体M上の2つの局所座標だとして、xからyへの座標変換のヤコビ行列（の成分）は、 と書きます。一方、f:M→N を多様体のあいだの（なめら…

MとNはなめらかな多様体で、なめらかな写像 f:M→N があるとします。fから、fと同じ方向に誘導された写像や関手を f* 、fと逆方向に誘導された写像や関手を f* と書く習慣があります。しかし、“誘導された写像や関手”（あるいは“構成された写像や関手”）は色…

思い付いた事があるんですが、ほっておくと忘れそうなので、ここに書いておきます。指標の一部をパラメータにするという行為が、いったい何をしているのだろう？ この行為を合理的に説明する枠組みは何だろう？ ということがずっと分からなくてモヤモヤして…

「モナドFのクライスリ圏は、F-自由代数の圏とみなせる」と言われます。おおよその状況は次のようです Fのクライスリ圏 F-自由代数の圏 ⊆ F-代数の圏 = Fのアイレンベルク／ムーア圏 この事実に対する正確な説明や実例をあまり見ないので（僕が目にしてない…

専門用語においても、同義語・類義語、表記のゆれなどは相当にあります。「こんな言い方もある、あんな言い方もある」と列挙していると、ときに長大なリストになってしまうことがあります。列挙する代わりに正規表現を使うとコンパクトに記述できます。正規…

構造、例えばモノイドを書き表すとき、どう書くか？ 省略や記号の乱用も含めたルールをどうするか？ 毎回悩みます。ある程度の方針を決めたいと思います。内容： 素材だけの指標 説明的な名前 インスタンスの書き方 追記 (翌日)： もっとバリエーション さら…

過去の記事「リー微分は共変微分か？ -- 代数的に考えれば」において、「リー微分は共変微分である」という間違ったことを書いていました。「間違った！ リー微分は共変微分じゃない」に、間違いだと気付いた経緯が書いてありますが、その経緯はすごい回り道…