前層の表現可能性 再論：指標による記述

以前、圏論の普遍性という概念は難しい、という話を書いたことがあります。

• 圏論の普遍性が難しい理由

普遍性は“前層の表現可能性”により語られるので、普遍性の難しさは“前層の表現可能性”の難しさです。

「表現可能である」ことは前層の性質ですが、「当該の前層を含む“構造／系”が存在する」という形の性質なので、背後にある“構造／系”が何であるかを把握する必要があります。背後にある“構造／系”を明示的に提示しないことが、普遍性／表現可能性をより難しくしている事情かも知れません。

「圏論の普遍性が難しい理由」のサマリーと補遺として、この記事で、背後にある“構造／系”を明示的に提示します。構造／系の記述形式としては指標（「構造記述のための指標と名前 1/n 基本」参照）を使います。それにより、その構造／系を理解するための前提もおのずと明らかになります。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
%\newcommand{\Imp}{\Rightarrow}
%\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}
%\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\op}{ \mathrm{op} } % used
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow}
\newcommand{\hyp}{\text{－} } % used
%\newcommand{\id}{ \mathrm{id} } % used
%%
\require{color} % Using
\newcommand{\NN}[1]{ \textcolor{orange}{\text{#1}} } % New Name
\newcommand{\NX}[1]{ \textcolor{orange}{#1} } % New EXpression
\newcommand{\T}[1]{\text{#1} }
`$

内容：

事例と背景知識

圏論の普遍性／前層の表現可能性を使った事例は以下の記事に書いてあります。

• 双線形写像集合関手の表現可能性とテンソル積の普遍性 ： ベクトル空間のテンソル積の例

• 表現可能関手と普遍元の例、ラムダ計算から ： カリー化と指数対象の例
• 圏論的な普遍構成の代表的な例 ： 以下のような例
  • 終対象と始対象
  • 直積と直和
  • 等化子と余等化子
  • 核と余核
  • 極限と余極限
  • 可換環の局所化
  • モノイドの台集合
• 多項式環と台集合忘却関手 ： 多項式環の台集合（忘却関手）の例

前層の表現可能性を理解するには、事前に次のことを知っておく必要があります。

1. 関手圏： 圏 $`\cat{C}, \cat{D}`$ に対して、関手圏は $`[\cat{C}, \cat{D}]`$ と書く。
2. 前層の圏： 前層の圏は $`[\cat{C}^\op, {\bf Set}]`$ 、$`\cat{C}^\wedge := [\cat{C}^\op, {\bf Set}]`$ とも書く。
3. 余前層の圏： 余前層の圏は $`[\cat{C}, {\bf Set}]`$ 、$`\cat{C}^\vee := [\cat{C}, {\bf Set}]`$ とも書く。
4. 米田埋め込み： $`よ^R : \cat{C}^\op \to {\bf Set}`$ は反変関手だが、$`R \mapsto よ^R`$ は共変関手。
5. 反変の米田埋め込み： $`よ^\vee_S : \cat{C} \to {\bf Set}`$ は共変関手だが、$`S \mapsto よ^\vee_S`$ は反変関手。
6. 米田写像： $`{\bf y}: \cat{C}^\wedge (よ^R, F) \to F(R) \In {\bf Set}`$ 、米田の補題より、同型写像。
7. 反変の米田写像： $`{\bf y}^\vee: \cat{C}^\vee (よ^\vee_S, G) \to G(S) \In {\bf Set}`$ 、反変の米田の補題より、同型写像。

ややこしいところは：

1. 米田埋め込み自体は共変関手だが、米田埋め込みの値 $`よ^R`$ は反変関手、反変米田埋め込み自体は反変関手だが、反変米田埋め込みの値 $`よ^\vee_S`$ は共変関手なので、反変・共変で混乱する。
2. 米田写像は同型写像なので、$`{\bf y}, {\bf y}^{-1}`$ があまり区別されない。逆向きの $`F(R) \to よ^R`$ を米田写像と呼ぶかも知れない。反変の米田写像についても同様。
3. 米田写像と反変の米田写像があまり区別されない。結果的に、米田写像、米田写像の逆写像、反変の米田写像、反変の米田写像の逆写像の4つがあまり区別されない。
4. 余前層 $`G`$ は、$`G^\op:\cat{C}^\op \to {\bf Set}^\op`$ と考えることができる。たまにこの解釈が使われる。同様に、前層 $`F`$ は、$`F^\op:\cat{C} \to {\bf Set}^\op`$ と解釈することができる。

前層の表現系の指標

「圏論の普遍性が難しい理由」で次の言葉を導入しました。

この構造／系を前層の表現系〈representation system for a presheaf〉と呼ぶことにします。

前層の表現系を指標〈signature〉（「構造記述のための指標と名前 1/n 基本」参照）で表します。内容的には「圏論の普遍性が難しい理由」で書いたことと同じです。ここでは、圏 $`\cat{C}`$ は小さい圏だとします。

まず、前層の表現系の構成素データ〈constituent data〉を書き下します。初出の名前は色付きにします。

$`\T{signature }\NN{PresheafReprData} \:\{\\
\quad \NX{\cat{C}} \in |{\bf Cat}|\\
\quad \NX{F} : \cat{C}^\op \to {\bf Set} \In {\bf CAT}\\
\quad \NX{R} \in |\cat{C}|\\
\quad \NX{\varphi} :: よ^R \twoto F :\cat{C}^\op \to {\bf Set} \In {\bf CAT}\\
\quad \NX{a} \in F(R)\\
\}`$

すべての宣言を集合への所属（$`\in`$）により書きたいなら次のようです。

$`\T{signature }\NN{PresheafReprData} \:\{\\
\quad \NX{\cat{C}} \in |{\bf Cat}|\\
\quad \NX{F} \in |{\bf CAT}(\cat{C}^\op, {\bf Set})| \\
\quad \NX{R} \in |\cat{C}|\\
\quad \NX{\varphi} \in {\bf CAT}(\cat{C}^\op, {\bf Set})(よ^R, F) \\
\quad \NX{a} \in F(R)\\
\}`$

$`{\bf CAT}`$ の外部ホム圏の代わりに、内部ホム圏〈関手圏〉の記法を使うなら次のようです。

$`\T{signature }\NN{PresheafReprData} \:\{\\
\quad \NX{\cat{C}} \in |{\bf Cat}|\\
\quad \NX{F} \in | [\cat{C}^\op, {\bf Set}] | \\
\quad \NX{R} \in |\cat{C}|\\
\quad \NX{\varphi} \in [\cat{C}^\op, {\bf Set}](よ^R, F) \\
\quad \NX{a} \in F(R)\\
\}`$

所属記号（$`\in`$）をコロン（$`:`$）に置き換えると、型理論の記法になります。

上記の指標は、前層の表現系（という構造／系）の“構成素の名前”の型〈プロファイル〉を宣言しているだけです。しかし、宣言の右側部分に次のような記号が出現しています。

1. $`{\bf Cat}`$ ： 小さい圏の2-圏を表す固有名
2. $`{\bf Set}`$ ： 集合圏を表す固有名
3. $`\hyp^\op`$ ： 反対圏を作る単項演算子記号
4. $`[\hyp, \hyp]`$ ： 関手圏を作る二項演算子記号
5. $`|\hyp|`$ ： 圏の対象集合を取り出す単項演算子記号
6. $`\hyp(\hyp, \hyp)`$ ： 圏のホムセットを取り出す三項演算子記号
7. $`よ^\hyp`$ ： 米田埋め込みを表す単項演算子記号
8. $`\hyp(\hyp)`$ ： 関手の値を求める〈エバる〉二項演算子記号
9. $`{\bf CAT}`$ ： 大きい（小さいとは限らない）圏の2-圏を表す固有名、関手圏の記号 $`[\hyp, \hyp]`$ を使うと表立っては出現しなくなる。

指標に登場する5つの新しい名前（構成素名）を理解するには、これらの“より基本的な名前・記号”を事前に理解しておく必要があります。指標に書き下すと、このように、必要な予備知識が明確になります。

さて、構成素データは揃ったので、前層の表現系の法則〈条件 | 公理〉を書き出しましょう。法則〈条件 | 公理〉は次の2つです。

1. $`\varphi`$ は可逆な自然変換である。
2. $`a`$ は、$`\varphi`$ の米田写像による値である。

指標の法則部として次のように書けます。繰り返し記述（コピー）を避けるために、指標の拡張〈拡大 | 継承〉の形で書きます。

$`\T{signature }\NN{PresheafRepr} \T{ extends PresheafReprData} \:\{\\
\quad \NN{invertible} :\\
\qquad \exists \varphi' \in [\cat{C}^\op, {\bf Set}](F, よ^R).\,
\varphi ; \varphi' = \mrm{ID}_{よ^R} \;\land\;
\varphi' ; \varphi = \mrm{ID}_{F}
\\
\quad \NN{yoneda-map} :\\
\qquad a = {\bf y}(\varphi)\\
\}
`$

法則の記述で新たに出てきた記号は次です。

1. $`\hyp ; \hyp`$ ： 自然変換の縦結合の図式順二項演算子記号
2. $`\mrm{ID}_\hyp`$ ： 関手から恒等自然変換を作る単項演算子記号
3. $`{\bf y}(\hyp)`$ ： 米田写像の関数記号*1

指標は、新しい名前（色付きにした、構造／系の名前とその構成素の名前達）を導入します。新しい名前を理解するには、既知とされる名前・記号は事前に知っている必要があります。既知の名前・記号とは、具体的なモノを名指す固有名や演算子記号〈関数記号〉です。構造／系を、指標として書き下すと、既知とされる名前・記号と新しい名前・記号の関係がハッキリします。それにより、定義される構造／系もハッキリと理解することができるでしょう。

*1:実際には、米田写像はパラメーターを持ちます。圏 $`\cat{C}`$、前層 $`F`$、対象 $`R`$ をパラメーターに持つので、正確に書けば $`{^\cat{C}{\bf y}_{F, R}}`$ です。