「添加仮想二重圏」において、「フレーム」という言葉を出しました。フレームは、2-射（2次元の射）の境界のことです。境界は幾つかの1-射達／0-射達の組み合わせです。境界全体ではなくて、境界の一部分のことも「フレーム」と呼ぶことにすると、与えられた…

二重圏の拡張である仮想二重圏〈virtual double category〉、添加仮想二重圏〈augmented virtual double category〉に興味がわいて、次の2つの論文をポチポチと拾い読みしています。 [Kou19-22] Title: Augmented virtual double categories Author: Seerp R…

「カン拡張／カン持ち上げと上ホム対象／下ホム対象、充填三角形」への補遺です。内容： ペースティング図の充填問題 ストリング図で描くと ペースティング図の充填問題以下は「カン拡張／カン持ち上げと上ホム対象／下ホム対象、充填三角形」で出した右カン…

レナート・ベッチ／ロバート・ウォルターズ〈Renato Betti, Robert F.C. Walters〉のとある論文を眺めていて、カン拡張／カン持ち上げの記述で戸惑ってしまいました。右カン持ち上げだと記されていたペースティング図が間違っていて左カン持ち上げになってい…

以下の2つの記事で、二重圏の縦横、上下左右の問題を述べました。 二重圏、縦横をもう一度 二重圏の縦横 補遺 二重圏のタイト射 $`f`$ に対して、その分身であるようなプロ射が対応することがあります。それを、$`f`$ の同伴〈コンパニオン | companion〉と…

プロ関手の説明として、「関手 ： プロ関手 ＝ 関数 ： 関係」という“比例式”がしばしば引き合いに出されます。一方で、「圏 ： 関手 ＝ 順序集合 ： 単調関数」という“比例式”もあります。これらの比例式達を合わせると： 圏 ： 関手 ： プロ関手 ＝ 順序集…

「二重圏、縦横をもう一度」において言い忘れたことがあります。ペースティング図／ストリング図の射の並びや結合をテキストに書き出すときの順番のことです。これも人により場合によりバラバラです。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\In…

ここ2,3年「二重圏がきてる」印象があります。応用圏論を牽引している一人であるイバン・パターソン〈Evan Patterson〉は今年の1月、トポス・インスティチュートのブログ記事に次のように書いています。 Lately I’ve been fixated on double categories, pur…

「集合・関数係数行列の2-圏、モナドも添えて」において、「アスタリスクで総和をとり、ハイフンでラムダ抽象〈関数抽象〉をする」記法を導入しました。これ、なかなかに使いやすいですね。この記法を他の場面でも使いたくなりました。「複余有向コンテナ〈…

過去ニ回の記事で、集合係数のベクトル・行列について述べました。 スパンとファイバー積と行列計算 集合係数のスカラー・ベクトル・行列・テンソル 二番目の記事では、集合係数の行列の一般化として集合係数のテンソルを定義しました。この記事では、別な方…

「スパンとファイバー積と行列計算」で、スパンは集合係数の行列であり、スパンの結合〈composition〉が行列の掛け算として計算できることを紹介しました。線形代数でよく知られた計算は、集合係数でもだいたい実行できます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathr…

集合圏内のスパンに対して、標準的なファイバー積を使ってスパンの結合〈composition | 合成〉を定義できます。その結合は、行列の掛け算で表示・計算できます。$`\newcommand{\NFProd}[3]{ \mathop{_{#1} \!\underset{#2}{\times}\,\!_{#3} } } \newcommand…

多項式関手圏とは、多項式関手を対象として、そのあいだの自然変換を射とする圏です。関手圏 $`[{\bf Set}, {\bf Set}]`$ の部分圏になります。多項式関手圏のホムセットを具体的に表示する公式がΠΣ公式とΣΠ公式です。この記事ではΠΣ公式について述べます。…