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参照用 記事

メイヤー系のインデックス付き圏

次の記事あたりで、メイヤー代数/メイヤー加群という言葉を定義しました。

しかし最近、メイヤー代数/メイヤー加群の定義をどうしようか揺らいでいます。

最初に定義したメイヤー代数/メイヤー加群は強い条件を持つものです。もっと条件がゆるい構造も必要なんですよね。でも、一回決めた言葉使い(「メイヤー代数」「メイヤー加群」)を変更するのもヤダし、… という状況。

そこで、ゆるい構造のほうを新たにメイヤー系(Meyer system)と呼ぶことにします(ネーミングはもう苦し紛れ)。メイヤー系はメイヤー加群の条件をゆるめたものです。メイヤー代数の条件をゆるめた構造はメイヤー対(Meyer pair)と、身も蓋もない呼び方をします、(M, V) というペアだからです。

メイヤー加群の全体は、メイヤー代数の圏をインデキシング圏とするインデックス付き圏の構造を持ちました。同様に、メイヤー系の全体がメイヤー対の圏の上にインデックス付き圏となることを示します。

メイヤー対

モノイドMと集合Vの対 (M, V) をメイヤー対と呼びましょう(芸がないけど)。メイヤー対はメイヤー指標から作ることができます。Vには余モノイド(コモノイド)の構造が必要なんですが、どんな集合にも自明な余モノイド構造が自動的に付いてきます。Vの対角 ΔV:V→V×V とVを単元に潰す写像 !V:V→1 を使った (V, ΔV, !V) という余モノイドです。この自明な余モノイド構造を常に使うことにします。

2つのメイヤー対 (M, V) と (N, W) の準同型射は、モノイド射 f:M→N と集合射(単なる写像) g:W→V の対 (f, g) です。fとgの向きが逆なことに注意してください。fをf, gをf と書くと間違いが少ないと思うので、f = (f:M→N, f:W→V) または f:(M, V)→(N, W) とします。メイヤー代数では、VがM加群構造を持ちましたが、メイヤー対ではそれは考えません。

f:(M, V)→(N, W) と g:(N, W)→(L, U) がメイヤー対の準同型射のとき、f;g = (f;g:M→L, g;f:U→V) が準同型となるのは明らかでしょう。また (idM, idV) は (M, V) の恒等射となります。したがって、メイヤー対の全体は圏となります。この圏をMeyPとします。

メイヤー対の上のメイヤー系

メイヤー対 (M, V) 上のメイヤー系は、台集合(状態空間)Sと、メイヤーの意味のQuery q:S→V、モノイドMのSへの作用 a:S×M→S からなります。c(s) = (s, q(s)) として定義された c:S→S×V を余作用と呼びます。メイヤー系の条件は、作用aによりSはM加群、余作用cによりSはV余加群となることです。Sは、M加群構造とV余加群構造を持ちますが、この2つの構造のあいだの関係は規定しません。

(S, q, a) と (T, r, b) がメイヤー対 (M, V) 上の2つのメイヤー系として、写像 φ:S→T がメイヤー系の準同型射だとは、次が成立することです。

  1. s∈S に対して、r(φ(s)) = q(s) (観測値の不変性)
  2. s∈S、x∈M に対して、b(φ(s), x) = φ(a(s, x)) (作用に対する同変性)

メイヤー系とそのあいだの準同型射が圏となることもすぐ分かります。この圏は、メイヤー対 (M, V) に対して決まるので、MeyS[(M, V)]、あるいは MeyS[M, V] と書きます。

インデックス付き圏の構成

(M, V) と (N, W) を2つのメイヤー対、f = (f:M→N, f:W→V):(M, V)→(N, W) をメイヤー対の準同型射とします。この準同型射から、MeyS[N, W]→MeyS[M, V] という関手Fを作りましょう。

(S, q, a) をメイヤー対 (N, W) 上のメイヤー系((N, V) 上ではないので注意)とします。これに対して、(M, V) 上のメイヤー系 (S', q', a') を次のように定義します。

  1. S' := S (台集合は同じ)
  2. q'(s) := f(q(s))
  3. a'(s, x) := a(s, f(x))

このように構成した (S', q', a') を F((S', q', a')) とします。これにより、|MeyS[N, W]|→|MeyS[M, V]| という対象のあいだの対応は作れました。

次に、(S, q, a) と (T, r, b) をメイヤー対 (N, W) 上の2つのメイヤー系、φ:S→T がメイヤー系の準同型射とします。F(φ) を作るのですが、これは、何もしないでφをそのまま採用します。F(S) = S' = S、F(T) = T' = T だった*1ので、F(φ) = φ としても F(φ):F(S)→F(T) となります。F(φ) = φ が、(S', q', a')→(T', r', b') in MeyS[M, V] という射になるかどうかが問題ですが、定義を順番に適用すれば、この事実は確認できます。

F(φ;ψ) = F(φ);F(ψ) と F(idS) = idS も容易に確認できるので、Fは MeyS[N, W]→MeyS[M, V] という関手となります。

これだけだとまだインデックス付き圏になってなくて、
(M, V) と (N, W) と (L, U) を3つのメイヤー対として、2つの準同型射 f:(M, V)→(N, W)、g:(N, W)→(L, U) に対して、fから作られた関手 f*、gから作られた関手 g*、f;g から作られた関手 (f;g)* のあいだに次の関係が必要です。

  • (f;g)* = g*;f*

それとあと、恒等射からは恒等関手が作られることですね。

これらが揃うと、MeyS[f:(M, V)→(N, W)] = f*:MeyS[N, W]→MeyS[M, V] として、MeyS[-] がMeyP上のインデックス付き圏だと言えます。詳細は、面倒なだけで難しくはないので(興味があれば)確認してみてください。

以上の構成は、メイヤー指標の圏の上にインスティチューションを作るときにも利用できることを注意しておきます。

もう少し

Cを集合圏の部分デカルト圏(終対象を含み、直積で閉じている部分圏)だとします。メイヤー対 (M, V) は、C上の両モナドを定義します。A∈|C| に対して F(A) := M×A、G(A) := V×A とすると、Mのモノイド構造からFをモナド、Vの余モノイド構造からGを余モナドとみなせます。M×(V×A) と V×(M×A) の同型から、FとGの順序を交換する自然変換も定義できます。

以上の状況で、両モナド (F, G) の両クライスリ圏 DK = DK[(F, G), C] が構成できます。(F, G) はメイヤー対 (M, V) から決まっているので、DK = DK[(M, V), C] と書いてもいいでしょう。Cを固定して、もう少し定義を追加すると、DK[-] もMeyP上のインデックス付き圏となります。

これで、同じインデクシング圏MyeP上に2つのインデックス付き圏 MeyS[-] と DK[-] が定義できました。残念ながら、この2つのインデックス付き圏は、使いにくい点や不十分な点があります。もっと良いインデックス付き圏が必要なのです。MeyS[-] と DK[-] は、良いインデックス付き圏を探すための足場にはなってくれるでしょう。

*1:ここらへん、記号の乱用をしています。イイカゲンな記法ですが、適当に推測してください。