「あわてて両モナドやメイヤー代数を復習する」において：
両モノイドは、モノイド A = (A, η, μ) と余モノイド B = (B, ε, δ) があって、さらに射 β:AB→BA が備わった体系 (A, B, β) で、βがη, μ, ε, δのそれぞれに対して「ベックの分配法則」になっているものです。
C = End(D) のとき、C内の両モノイドとしてD上の両モナドが定義できて、少し頑張って紐の計算をすると両クラスリ圏が構成できます。
両モナドは、登山のベースキャンプのような役割として重要ですが、それ自体は構造が弱すぎて応用に直結はしないようです。
構造が弱すぎるにしても、より強い構造を定義する足場になるのは両モノイド／両モナドなので、これは重要です。ベースキャンプとしての両モナドの基礎を固める必要があります。
両モナドはモナド類似物なので、まずはモナドの性質をまとめておきましょう。
- C上のモナドFは、非対称モノイド圏End(C)内のモノイドである。
- クライスリ構成により、Fのクライスリ圏 Kl(C, F) を作れる。
- もとの圏Cは、Fのクライスリ圏 Kl(C, F) に埋め込める。
- “拡張”と呼ばれる、Fのクライスリ圏 Kl(C, F) からCへの関手がある。拡張の対象部分（object part）はFの対象部分と一致する。
- 埋め込みと拡張は随伴対となる。
- アイレンベルク／ムーア構成により、Fの代数の圏 Alg(C, F) を作れる。
- Fの代数の圏 Alg(C, F) からもとの圏Cへの忘却関手がある。
- 忘却関手の左随伴関手が存在し、この左随伴が自由代数を生成する関手となる。
- Fのクライスリ圏は、Fの自由代数の圏と圏同値となる。
両モナドにも、以上の性質に対応する命題が存在して、それらが成立していることが期待できます。
- C上の両モナド (F, G, β) は、非対称モノイド圏End(C)内の両モノイドである。
- クライスリ構成により、(F, G, β) の両クライスリ圏 DiKl(C, (F, G, β)) を作れる。
- もとの圏Cは、(F, G, β) の両クライスリ圏 DiKl(C, (F, G, β)) に埋め込める。
- “拡張”と呼ばれる、(F, G, β) の両クライスリ圏 Kl(C, (F, G, β)) からCへの関手がある。拡張の対象部分（object part）はFGの対象部分と一致する。
- 埋め込みと拡張は随伴対となる。
- アイレンベルク／ムーア構成により、(F, G, β) の両代数の圏 DiAlg(C, (F, G, β)) を作れる。
- (F, G, β) の両代数の圏 DiAlg(C, (F, G, β)) からもとの圏Cへの忘却関手がある。
- 忘却関手の左随伴関手が存在し、この左随伴が自由両代数を生成する関手となる。
- (F, G, β) の両クライスリ圏は、Fの自由両代数の圏と圏同値となる。
もしホントにこれらの性質が成立するなら、両モナドはモナドの正当な拡張概念だとみなしてもよいでしょう。
両モナドの入れ替え操作βの可逆性を仮定すれば、いちおうの確認はとれたと思ってます。細部は端折ったところもあるので確実とは言い難いですが、モナドの重要な性質は両モナドでもほぼ成立してるようです。
