1つまたは少数の圏を扱う場合でも、圏論的宇宙全体の構造を知っていたほうがいい場合があります。とはいえ、圏論的宇宙全体は難しいですね。とりあえずは、次の基本的な観測を合理化することを考えます。
- j次元の圏の全体は、(j + 1)次元の圏とみなせる。
「高次圏： 複雑さの3つ目の方向と相対階数」で次のように書きました。
圏論的宇宙は、次のような所属関係の系列であるのが望ましいと思われます。
- 0-Cat ∈0 1-Cat ∈0 2-Cat ∈0 ...
しかし、普通の定義ではこのような系列を作ることは出来ません。解決のための正攻法があるのか、トリックを使うのか？ それとも、そもそもこういう問題設定が間違いなのか？ どうすべきかは分かりませんが、相対階数が増える方向が事態を困難にする方向であるのは確かです。
上記の「所属関係の系列」を作るために、グロタンディーク宇宙の無限系列 U0, U1, U2, ... を考えます。この系列では次が成立しているとします。
- Ur∈Ur+1 （r = 0, 1, 2, ...）
こんな無限系列が実際に作れるとか、存在証明が出来るとか主張しているのではなくて、単に要求仕様とか願望を述べているだけです、残念ながら。
A⊆Ur のとき、Aはr階のクラス〈class〉と呼び、a∈Ur のとき、aはr階の小集合〈small set〉と呼びましょう。r階の小集合ではないr階のクラスは、r階の真クラス〈proper class〉とか大集合〈large set〉と呼びます。ここで出てきた階数は、「高次圏： 複雑さの3つ目の方向と相対階数」の相対階数ではなくて、絶対的な階数です。
「a⊆Ur ならば a∈Ur」は言えませんが、次は言えます。
- a∈Ur ならば a⊆Ur
- A⊆Ur ならば A∈Ur+1
大きな階数の宇宙に移行すれば、大集合〈真クラス〉を小集合とみなせます。また、階数が上がっても小集合はそのまま小集合として使い続けることができます。なんか、激しくご都合主義的な気がするのですが、こうだったら確かに嬉しい。
Urの意味での“小さいj-圏”からなる(j + 1)-圏をj-Cat#rとします。右下付きの#rが考えている宇宙の番号です。rを固定して、jのほうを動かすことができます。この場合は、Urの意味の“小さいj-圏”しか考えないので、サイズの問題は起きません。しかし、j-Cat#r∈|(j+1)-Cat#r| とはなりません。
階数rを動かすことにより、次が言えます。
- j-Cat#r∈|(j+1)-Cat#r+1| … j次元の圏の全体は、(j + 1)次元の圏とみなせる
これより、次の所属関係の系列が得られます。
- 0-Cat#0 ∈0 1-Cat#1 ∈0 2-Cat#2 ...
この系列だけではなくて：
- 1-Cat#0 ∈0 2-Cat#1 ∈0 3-Cat#2 ...
- 2-Cat#0 ∈0 3-Cat#1 ∈0 4-Cat#2 ...
などなど。次元jと階数rは好きなタイミングで上げればいいのです。
Urはグロタンディーク宇宙としましたが、もっと弱い宇宙でもよいならば、U0 ∈ U1 ∈ ... は実際に作れるでしょう。しかし、あまりにも弱い宇宙だと、j-Catや関連する構造を作れない懸念があります。2つの宇宙 U∈V とレイフィケーションで無限系列をシミュレートする手があるかも知れません。
いずれにしても僕には、適切な強さを持つ宇宙の系列を実際に作ってみせる技量はないので、楽観的に「たぶん大丈夫」と考えて、ご都合主義的マルチバースを想定することにします。けっこう多くの人がこういうパラダイスを期待している、あるいは（潜在的には）使っているんじゃないかと思います。
“宇宙”関係：
