とりあえず書き出してみよう、第1回。
最近、『シンシティ』って映画をみました。ブルース・ウィリスが老いぼれ刑事役。なんか、『ダイハード』の頃と印象が変わってない。若いときからオッサン・キャラだったからなー。
さて、確か『ダイハード 2』だったと思うのですが（記憶がまったく定かでない；[追記]コメント参照[/追記]）、キャラハン刑事、じゃなくてマクレーン刑事が、犯人が出したクイズに答えなくてはならない場面があります。そのクイズは次のようなものだったかと（記憶がまったく定かでないが） -- 「4リットルと7リットルの升＜ます＞がある。これを使って9リットルだけの水を大きな桶に入れよ」
考えてみてください。
●水をうまく量れるだろうか
これはできます。やり方は1通りじゃありませんけど。
このクイズを方程式で書くと、「4n + 7m = 9」を満たす整数n, mを求める問題です。（n, mは負でもかまいません。負の整数は、升を使って水を桶からかき出すことを意味します。）別なモデルを持ち出して言うなら、平面上の格子点(n, m)で、「4n + 7m = 9」で定義される直線の上に乗る点を求めることです。あるいは、(n, m) |→ 4n + 7m で定義される線形写像の像に9が含まれるかどうか、って問題だともいえます。
「4n + 7m = 9」は解けますが、「4n + 8m = 9」はどうでしょう。直感的に分かると思いますが、4リットルと8リットルの升を使って量れるのは(4の倍数)リットルに限られるので、9リットルを量るのは無理です。つまり、「4n + 8m = 9」を満たすn, mは存在しません。
●解けるか、解けないか
水を量る問題は解けるケースと解けないケースがあります。もし、「4リットルと8リットルの升がある。…（以下同じ）」というクイズだったら、これは絶対に解けません。ダイハードの犯人は解ける問題を出しているから、それほど卑怯ではなかったんですね。
さて、ここでメタ問題を考えましょう。「どんなときに、水を量る問題は解けるか、あるいは解けないか」です。与えられる升の容量をa, b、量るべき量をcだとすると、「n, mを未知数とする方程式 an + bm = c は、a, b, cがどんな条件を満たすとき解けるか／解けないか」となります。
結果を先にいいましょう。
- cが、aとbの最大公約数の倍数のとき、問題は解ける。そうでないときは解けない。
今までの例だと、a = 4, b = 7, c = 9 のケースでは、4と7の最大公約数は1であり、9はもちろん1の倍数なので解けます。実は、a = 4, b = 7ならcは何でも大丈夫です。別な言い方をすれば、どんな水の量でも量れます。a = 4, b = 6のケースでは、4と6の最大公約数は2なので、偶数リットルしか量れません。そして、a = 4, b = 8なら4の倍数しか量れないわけです。
●イデアル登場、いやマダです
先ほどのメタ問題「n, mを未知数とする方程式 an + bm = c は、a, b, cがどんな条件を満たすとき解けるか／解けないか」に対して、ちょっともって回ったアプローチをします。an + bm （a, bは定数だと思う）という一次式の変数n, mを動かしてみて、その全体が作る整数集合の“形”を調べるのです。形と言うのは、整数全体における an + bm 達の分布の仕方、入り込み方の様子です。
a = 4, b = 7 のケースでは、{4n + 7m | nとmはあらゆる整数を動かす}は、実は整数全体に一致します。a = 4, b = 6のケースでは、{4n + 6m | nとmはあらゆる整数を動かす}は偶数全体、そして、a = 4, b = 8 のとき {4n + 8m | nとmはあらゆる整数を動かす}は4の倍数全体です。
事例から推測するに、{an + bm | nとmはあらゆる整数を動かす}は、なんかの倍数全体のようですが、今のところその理由はハッキリしません。理由、あるいは事情をハッキリさせるために「イデアル」概念を導入したいのですけど、まー、それは次にしましょう。
