デカルト圏、こんな定義もあります

Cがデカルト圏だとは次のことです。

1. Cには終対象がある。
2. Cには二項の直積がある。

この2つのことから、すべての有限離散図式の極限の存在は保証できます。

上記のデカルト圏の定義を言い換えてみましょう。この言い換えは、次の概念を確認するために良い練習問題です。

1. デカルト圏
2. 圏の直積（圏のなかの直積ではなくて、2つの圏の直積）
3. 随伴関手

まず、1を単一対象の自明な圏とします。

• Obj(1) = |1| = {*}
• Mor(1) = {id_*}

圏Cから圏1への関手は一意的に決まるので、それをSとします。S:C→1 。

次に、圏Cの自分自身との直積（自乗）C×C を作り、対角関手をDとします。D:C→C×C 。

まとめると：

• S = λx.* : C→1
• D = λx.(x, x) : C→C×C

関手SとDは、どんな圏に対しても定義できます。Cがデカルト圏であることは、次のように言えます。

1. S:C→1 に右随伴関手が存在する。
2. D:C→C×C に右随伴関手が存在する。

Sの右随伴をT、Dの右随伴をPとすると、次のように書けます（イコールは自然な同型）。

1. 1(S(X), *) = C(X, T(*))
2. (C×C)(D(X), (A, B)) = C(X, P(A, B))

T(*)がCの終対象、P(A, B)がAとBの直積を与えます。