ホモトピー・ナントカ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

ホモトピーをヘビーに使う型理論が登場したりして、コンピュータ屋さんでも「ホモトピーなんて無関係」とも言ってられないようです。とか言いながら、僕はろくに知りませんけど(苦笑)。まー、用語くらいは調べておこうかな。

トム・レンスター（Tom Leinster）が、Up-to-Homotopy Monoids という8ページの論文（http://arxiv.org/abs/math/9912084）を書いているのですが、その冒頭で、ホモトピーモノイド（homotopy monoid）という用語に関する注意を述べています。「ホモトピーモノイド」は、「ホモトピー群」の「群」を「モノイド」に置き換えたものと誤解されそうだ、と。そこでレンスター論文のタイトルには"Up-to-"が付いているのです。もっとも、本文では平気で homotopy monoid を使っていますけど。

この例に限らず、ホモトピー・ナントカという言葉はとても紛らわしいです。混乱しない程度に整理しておくことにします。

内容：

ホモトピーとホモトープ
基本群とホモトピー群
基本圏
ホモトピー同値
弱同値
ホモトピー圏
なぜホモトピーなのか？

ホモトピーとホモトープ

単に「ホモトピー」（名詞）と言った場合、それは2つの連続写像を繋ぐ連続変形のことです。

Topを位相空間と連続写像の圏として、[0, 1]は位相空間と考えた実数区間とします。f, g:X→Y in Top のとき、次のような H:[0, 1]×X→Y in Top を、fからgへのホモトピーと呼びます。

任意の x∈X に対して、H(0, x) = f(x)、H(1, x) = g(x)

fからgへのホモトピーHが存在するとき、fとgはホモトープ（homotope）、またはホモトピック（homotopic）であると言います。fからgへのホモトピーHが存在すれば、gからfへのホモトピーも存在しますから、f, gの順序を気にする必要はりません。それだけでなく、ホモトープ関係は同値関係になっています。

Hは連続写像なので、そのことを強調してホモトピー写像ということもあります。僕は、ホモトピー変形（deformation）が感覚的にはピッタリな気がします。

基本群とホモトピー群

一点を指定した位相空間を基点付き位相空間（pointed topological space）と呼びます。基点付き位相空間と基点を保存する連続写像の圏を Top_* とします。一点を指定した円周を (S¹, *) としましょう。ここで、星印 * は、基点の一般的な（そしてイイカゲンな）表現です。f:(S¹, *)→(X, *) in Top_* を (X, *) のループと呼びます。

f:(S¹, *)→(X, *) in Top_* は、f:[0, 1]→X in Top であって、f(0) = f(1) = * であるものとして表現できます。この表現のほうが分かりやすいので、以下これを使います。

z:[0, 1]→X を、定数写像 z(t) = * と定義すると、zはループとなります。f, g:[0, 1]→X が2つのループのとき、λt∈[0, 1/2].f(t/2) と λt∈[1/2, 1].g(1/2 + t/2) を繋ぎ合わせたループを f・g とします。また、λt∈[0, 1].f(1 - t) を f^~ と書くことにします。

Top_*((S¹, *), (X, *)) を短く Ω(X, *) と書くことにすると、z∈Ω(X, *)、 (-・-):Ω(X, *)×Ω(X, *)→Ω(X, *)、 (-)^~:Ω(X, *)→Ω(X, *) です。定数z、二項演算 (-・-)、単項演算 (-)^~は、このままでは群になりませんが、ホモトープ同値関係で割り算する（商集合を作る）と群になります。こうして作った群が基本群（fundamental group）です。

基点付き空間 (X, *) の基本群は普通 π(X, *) と表記します。π(X, *) の定義に使った Top_*((S¹, *), (X, *)) を Top_*((Sⁿ, *), (X, *)) に置き換えて、n次のホモトピー群が定義できます。n = 1 の場合が基本群なので、「基本群＝1次のホモトピー群」となります。n ≧ 2 のn次のホモトピー群を高次ホモトピー群と呼ぶこともあります。高次ホモトピー群はアーベル群になります。

基本圏

基本群は、基点付き空間に対して定義されていましたが、基点がない場合は基本群が定義できないので、代わりに基本圏（fundamental category）を定義します。通常の空間では、基本圏は亜群（groupoid）になりますが、有向位相構造（directed topology）が載った空間では、亜群になるとは限りません。なお、有向位相構造は位相構造の一種ではなくて、位相構造にプラスして道の空間にとある構造を追加したものです*1。

基本圏の定義は基本群と類似していて、基点を指定されてない空間Xに対して、道の集合と、自明な道、2つの道の連結を考えます。2点 x, y∈X を結ぶ道の全体を Ω(X, x, y) とします。圏 F = F(X) を次のように定義します。

|F| = X （ただし、Xを単なる集合と考える）
F(x, y) = (Ω(X, x, y)/ホモトープ)
射の結合は、道の連結を同値類に落として考える
xの恒等射は、値がxである自明な道の同値類

ホモトピー群のときは、n次のホモトピー群があり、特に n = 1 の場合を基本群と呼ぶ、という用語法でした。しかし、基本圏の一般化をホモトピー圏と呼ぶわけにはいかない（既に別な意味で使われている）ので、n次の基本圏、高次基本圏などと呼びます。

n次の基本圏はn-圏（n次元の高次圏）だろうと期待されますが、高次圏の定義が確定してないので、高次基本圏の安定した定義もないようです*2。0次の基本圏は0-圏、つまり単なる集合で、位相空間Xの弧状連結成分の集合となります。0次基本圏を、0次のホモトピー集合と呼ぶことはあるようです。基本群／ホモトピー群の理論は、いずれは基本圏の理論の一部と位置付けられるのでしょう。

ホモトピー同値

「ホモトピー同値」には、次の2つの用法があります。

連続写像 f:X→Y がホモトピー同値写像である。
2つの空間XとYがホモトピー同値である。

f:X→Y がホモトピー同値写像であるとは、連続写像 g:Y→X が存在して、f;g が id_X とホモトープ、g;f が id_Y とホモトープとなることです。ホモトピーHによるホモトープ関係を〜 via H と書くことにすると、f:X→Y がホモトピー同値写像であるとは、次のような g, H, K が存在することです。

f;g 〜 id_X via H:[0, 1]×X→X
g;h 〜 id_Y via K:[0, 1]×Y→Y

fはホモトピー可逆（homotopy invertible）で、ホモトピーの意味での逆がgとも言えます。

2つの空間XとYがホモトピー同値であるとは、ホモトピー同値写像（ホモトピー可逆写像） f:X→Y が存在することです。例えば、可縮空間（contractible space）は、定義より1点とホモトピー同値です。

弱同値

圏Top_*やTopのなかのホモトピー同値写像の概念を、圏に対して一般化できます。圏Cと、弱同値射（weak equivalence morphism）と呼ばれる射の集まりWの組 (C, W) を考えます。Wは次を満たすとします。

Wは、Cの同型射をすべて含む。
f, g, f;g のなかの2つがWに属するなら、残り1つもWに属する。

二番目の性質は two-out-of-three と呼ばれます。三のニ法則としておきます。この三のニ法則から次は出ます。

f, g∈ W ならば、f;g ∈ W

恒等射はすべてWに入ることから、WはCの広い部分圏になっています。

以上のようなWを備えたCを、弱同値を持つ圏（category with weak equivalences）と呼びます。弱同値射は、ホモトピー同値写像の性質の一部を公理化したものなので、公理的弱同値（射）をホモトピー同値（射）と呼んでしまうこともあります。

ホモトピー圏

「ホモトピー圏」という言葉もいくつかの意味で使われているようですが、弱同値を持つ圏 C = (C, W) に対して定義される“ホモトピー圏”を取り上げます。

圏Dと関手 Q:C→D との組がCのホモトピー圏であるとは：

Qにより、Cの弱同値射はDの同型射に移される。
Q':C'→D' が同じ性質を持つなら、関手 F:D→D' と自然同値が存在して、Q' と Q;F は自然同値となる。
Qが反変に導く関手圏のあいだの関手 Funct(D, A)→Funct(D, A) は充満忠実である。

普遍性を使った定義ですが、“具体的なホモトピー圏”との関係は、僕にはよく分かりません。具体的なホモトピー圏とは、|H| = |Top|、H(X, Y) := (Top(X, Y)/ホモトープ) として作られる圏Hです。おそらく、具体的なホモトピー圏が、上記の普遍性を満たす実例なのでしょう。

弱同値を持つ圏 C = (C, W) にホモトピー圏 D = Ho(C) が存在するなら、それは圏同値を除いて一意的に定まるそうです。弱同値を持つ圏の2つの対象X, Yが弱同値（対象のあいだの関係）とは、f:X→Y という弱同値射が存在することですが、fはホモトピー圏では同型射となるので、ホモトピー圏に移して考えると、XとYは同型となります。

弱同値射をベースにしたホモトピー圏の定義では、ホモトープ関係に相当する射のあいだの関係は与えられません。したがって、ホモトープ関係の証拠（witness）となるホモトピーも直接は登場しません。ホモトピーなしのホモトピー論が（ある程度は）可能なわけです。Q:C→D が弱同値を持つ圏Cのホモトピー圏のとき、写像 Q_{X, Y}:C(X, Y)→D(Q(X), Q(Y)) をホモトープと考えることはできますが、それは後付けの定義となります。