「キマイラ飼育記」は「モナド・ブログ」に変わりました -- って、前も同じようなこと言っていたわ。
強モナド（strong monad）は誰が言い出したものか知りませんが、計算的な強モナド（computational strong monad）を利用し始めたのはモッジ（Eugenio Moggi）でしょうか？
強モナドはテンソル強度（tensorial strength）を持ったモナドですが、単なる関手にもテンソル強度は定義できます； C = (C, ×, 1) がモノイド圏（必ずしもデカルト圏とは限らない）において、自己関手Fと自然変換 τA,B:A×F(B)→F(A×B) の組 (F, τ) は、適当な条件を満たすとき強関手（strong functor）を定義します。
テンソル強度の定義や計算には、Cの対象Aに対して (A×-) := λX∈|C|.(A×X) と、(-×A) := λX∈|C|.(X×A) という2つの関手を考えると便利です。それぞれ、Aによる左掛け算関手と右掛け算関手です。
「モナドとテンソル強度の楽しいお絵描き」では、モノイド積（テンソル積）を足し算の形に書いて、(-×A) に (+a) という記号を使っています。「モッジのテンソル強度とベックの分配法則」では、(A×-) を A. 、(-×A) を .A で表しています。この2つのエントリーには絵も描いてあります。(F, τ) が強関手である、あるいはτがFの強度（テンソル強度）になっているとは、τA,- が、左掛け算関手(A×-)と関手Fのとあいだのベックの分配法則を与えることです。
以上の定義では、強度は自己関手にしか定義されません。豊饒圏と余パワーの概念を使うと、自己関手とは限らない関手 F：C→D に強度を定義できます。「最強のモナドとモナド工場の秘密」で触れた Kruna Segrt Ratkovic, "Morita theory in enriched context" （http://arxiv.org/abs/1302.2774）に、一般的な強関手の定義が書いてあります。なお、"tensored over V" と "copowered over V" は同じ意味です。
パワー（実際には余パワー）を注入する圏（copowering category）Vごとに、Vでエンパワーされた圏と強関手からなるストロングワールドが存在します。
おそらくは、モノイド圏が圏に作用している状況（monoidal category module と言うことがあるようです）だけでも、テンソル強度の概念は定義できるでしょう。モノイド圏の圏への作用については、G. Janelidze and G.M. Kelly, "A Note on Actions of a Monoidal Category" http://www.emis.de/journals/TAC/volumes/9/n4/9-04abs.html）に詳しく書いてあります。
