有限的確率圏と多面体 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

台集合が有限集合である可測空間／確率空間は、測度論なしで扱うことができます。その他にも、有限集合ゆえの利点があります。有限集合を対象とする確率圏のホムセットは、多面体とみなせることも利点のひとつでしょう。

内容：

有限的な圏
有限的な確率圏
多面体の圏
多面体豊饒圏としての有限的確率圏
おわりに

有限的な圏

有限集合と写像の圏をFinSetとします。有限可測空間と可測写像の圏はFinMeasとします。X∈|FinMeas| は、X = (X, ΣX) と書けます。ここで、

X∈|FinSet| はXの台集合。（しばしば、記号の乱用で X = X と書かれますが、Xは単なる集合です。）
ΣX は集合X上のシグマ代数。

シグマ代数の特徴は、可算無限個の和（合併演算）が可能なことですが、台集合が有限の場合は可算無限和に意味はなく、シグマ代数はブール代数だとしても同じです。このことを強調するために、記号を変えて X = (X, ΩX) とします。ΩX はブール代数としての Pow(X) の部分ブール代数です。

ΩX = Pow(X) である有限可測空間 X = (X, Pow(X)) を有限離散可測空間〈finite discrete measurable space〉と呼びます。有限離散可測空間を対象とするFinMeasの充満部分圏をFinDiscMeasとします。

FinSetとFinDiscMeasを簡略化した圏として、F を定義しておきます。Fは自然数を対象とする圏です。n∈N に対して、1..n := {1, ..., n} とします。特に、1..1 = {1}, 1..0 = {} です。

|F| = N
F(m, n) := FinSet(1..m, 1..n) = FinDiscMeas((1..m, Pow(1..m)), (1..n, Pow(1..n)))

圏の結合と恒等射の定義はあきらかだと思うので省略します。F ⊆ FinSet, F ⊆ FinDiscMeas とみなします（FinSetとFinDiscMeasも同一視可能です）。

有限的な確率圏

すべての可測空間と可測写像からなる圏Meas上のジリィモナドのクライスリ圏をStocとします。|Stoc| = |Meas| で、Stocの射はマルコフ核（「「マルコフ核：確率計算のモダンな体系」参照）です。

Stocの“有限的”な部分圏を次のように定義します。

FinStoc ：対象を、FinMeasの対象に制限したStocの充満部分圏
FinDiscStoc ：対象を、FinDiscMeasの対象に制限したStocの充満部分圏
FStoc ：対象を、FMeasの対象（自然数）に対応する離散可測空間に制限したStocの充満部分圏と圏同型な圏

台集合が有限の場合は、マルコフ核はパラメータ付き確率密度関数〈確率密度核〉で表現できます（「マルコフ核と確率密度関数」参照）。有限の場合のパラメータ付き確率密度関数とはマルコフ行列〈確率遷移行列〉のことです。

任意の有限集合をインデックス〈添字〉に許すマルコフ行列の圏をMarkovMatとします。次の圏同型が成立します。

FinDiscStoc $\cong$ MarkovMat （identity-on-objectsな同型）

通常の行列の圏と同様に、対象を自然数とみなしたマルコフ行列の圏をFMarkovMatとします。

FStoc $\cong$ FMarkovMat （identity-on-objectsな同型）

FinDiscStocとMarkovMat、FStocとFMarkovMatは、同一視してしまっても問題ありません。FStoc／FMarkovMatのほうが取り扱いが容易ですが、対象の直積の扱いはかえって面倒です。対象の直積を考えるときは、FinDiscStoc／MarkovMatを使ったほうがいいでしょう。

前節とこの節で出てきた圏達をまとめておきます。

射は決定性写像	射はマルコフ核／確率密度核
FinSet	-
FinMeas	FinStoc
FinDiscMeas	FinDiscStoc, MarkovMat
F	FStoc, FMarkovMat

FinSet $\cong$ FinDiscMeas （identity-on-objectsな同型）
FinDiscStoc $\cong$ MarkovMat （identity-on-objectsな同型）
FStoc $\cong$ FMarkovMat （identity-on-objectsな同型）

多面体の圏

前節の有限的な確率圏では、ホムセットを多面体だと考えることができます。まず、この節で多面体の圏を定義しましょう。

有限個のアフィン線形関数（斉次とは限らない1次関数） f_i:Rⁿ → R (i = 1, ..., ℓ)を使って、連立不等式系 f_i(x) ≧ 0 (i = 1, ..., ℓ) で定義されて、さらに次の条件を満たす図形Pを太ったユークリッド多面体〈fat Euclidean polyhedron〉と呼ぶことにします。

Pは空ではない。
PはRⁿのコンパクト集合。
$\overline{P^\circ} = P$

$(\mbox{-})^\circ, \overline{(\mbox{-})}$ は、Rⁿの位相に関する部分集合の内部と閉包です。

連立1次不等式系で定義されることから、太ったユークリッド多面体はユークリッド空間内のコンパクト凸集合です。頂点や辺の組み合わせ構造については特に考えません（今は必要ないので）。

位相空間Aと連続写像 α:A → R^m の組 (A, α) が多面体〈polyhedron〉であるとは、次を満たすことだとします。

αは、A と α(A)⊆R^m のあいだの位相同型写像である。
α(A) は太ったユークリッド多面体である。

つまり、ここでの“多面体”とは、太ったユークリッド多面体とみなせる位相空間です。(A, α) と (A, α') は、次の条件を満たすなら多面体としては同じとみなします。

可逆アフィン線形写像 f:Rⁿ → R^m があって、α;f = α' :A → R^m

多面体 (A, α) の α:A → R^m は、多様体の場合と同じ言葉を使ってチャート〈chart〉と呼ぶことにします。上の条件で規定される“同値”なチャートは同じ多面体を定義します。チャートの余域であるをユークリッド空間の次元を多面体の次元〈dimension〉とします。

写像 p:R^m → Rⁿ が、どの成分も多項式で書けるなら多項式写像と呼びます。2つの多面体のあいだの射は多項式写像で定義します。

(A, α), (B, β) が多面体のとき、位相空間のあいだの連続写像 ψ:A → B が多面体のあいだの準同型写像〈homomorphism of polyhedra〉であるとは：

多項式写像 p:R^m → Rⁿ があって、α;p = ψ;β （下図）

$\require{AMScd} \begin{CD} A @>{\psi}>> B\\ @V{\alpha}VV @VV{\beta}V\\ {\bf R}^m @>{p}>> {\bf R}^n \end{CD}$

多面体を対象として、多面体のあいだの準同型写像を射とする圏をPolyhとします。

[補足]
次節で説明するように、有限的確率圏の結合は多項式写像で表現可能ですが、例えばベイズ反転 Convs_n,m:FMarkovMat(1, m)×FMarkovMat(m, n) → FMarkovMat(n, m) を考えると、多項式写像では表現できません。

ベイズ反転のようなオペレーターまで考えると、加減乗だけでなく除〈割り算〉も入れた有理写像が必要になります。が、有理写像は分母がゼロになる所で値が未定義となるので、扱いが難しくなります。
[/補足]

多面体豊饒圏としての有限的確率圏

(A, α), (B, β) が多面体のとき、直積 (A×B, α×β) もまた多面体になります。一点だけからなる位相空間とR⁰へのチャートのペア (1, ι) も多面体です。直積をモノイド積、(1, ι) を単位対象として、多面体の圏Polyhは対称モノイド圏になります。

FinStoc, FinDiscStoc, MarkovMat, FStoc, FMarkovMat などの有限確率圏は、いずれも対称モノイド圏Polyhで豊穣化〈enrich〉された圏になります。

話が簡単になるので（一般性には欠けますが）、FMarkovMatを例に説明します。

まず、FMarkovMat(1, m) が(m - 1)次元多面体であることはよく知られていて、確率単体と呼ばれます。その定義は：

Δ_m-1 := {x∈R^m | x_i ≧ 0 (i = 1, ..., m), x₁ + ... + x_n = 1}

R^mの部分集合としてのΔ_m-1は太ったユークリッド多面体になりまんせんが（太っていない）、射影 π_m,m-1:R^m → R^m-1 をチャートにした (Δ_m-1, π_m,m-1) は多面体になります。π_m,m-1(Δ_m-1) は次の不等式系で定義される太ったユークリッド多面体になります。

x_i ≧ 0 (i = 1, ..., m-1)
1 - (x₁ + ... + x_m-1) ≧ 0

一般に、FMarkovMat(m, n) ⊆ Mat(m, n) です。ここで、Mat は通常の実数係数の行列の圏です。Mat(m, n) $\cong$ R^m×n なので、同型写像を固定して Mat(m, n) と R^m×n を同一視すれば、FMarkovMat(m, n) ⊆ R^m×n とみなせます。

R^m×nの部分集合としてのFMarkovMat(m, n)は、有限個の1次方程式と1次不等式で定義されるコンパクト集合です。R^m×n内の太ったユークリッド多面体になるとは限りませんが、次元が低いユークリッド空間ユークリッド多面体に写像できます。したがって、FMarkovMat(m, n)は多面体です。

より具体的には、FMarkovMat(m, n) $\cong$ (Δ_n-1)^m となります。m = n = 2 なら、FMarkovMat(2, 2) $\cong$ (Δ₁)² $\cong$ [0, 1]² なので正方形の形になります。

FMarkovMatの結合は行列の掛け算で与えられます。行列の掛け算は多項式写像で表現できるので、FMarkovMat は対称モノイド圏Polyhで豊穣化されます。

多面体豊穣圏としてのFMarkovMatのホムセットは、確率単体を一般化した“確率多面体”になるわけです。