米田の「よ」、米田の「米」、米田の「Yo」 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

「米田の「よ」 ≒ ディラックの「δ」」の話をもう少し引っ張ります。今回は、上付き・下付きの約束を決めよう、という話です。 $\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1}} \newcommand{\In}{ \text{ in }}$

内容：

はじめに
明示的な記法
「よ」記法と米田密度
「米」記法
おわりに

はじめに

ジョンソン・フレイド〈Theodore Johnson-Freyd〉、リ・ブランド〈David Li-Bland〉、ロージエン〈Fosco Loregian〉などにより提唱・使用された「よ」記法はある程度は普及したようです。しかし、米田埋め込み〈Yoneda embedding〉と余米田埋め込み〈coYoneda embedding〉を区別する方法は確定してないようです。

まったく個人的に僕は、米田埋め込み／余米田埋め込みを表すために「米」記法を使っていました（「困った時の米田頼み、ご利益ツールズ // ラムダ記法と米田の星」参照）。 $A^{米},\, A_{米}$ などです。が、「米」を上下どちらに付けるかはテキトーでした。その場その場で区別できればいいという態度。

「その場その場で区別できればいい」でも別に困らないとも言えますが、この記事で「よ」「米」に関する書き方の目安を決めておきます。

明示的な記法

圏 $\cat{C},\, \cat{D}$ に対して、関手圏を $[\cat{C}, \cat{D}]$ で表します。ホムセットは $\cat{C}(A, B)$ のように書きますが、双関手〈二項関手〉としてのホムを $\cat{C}:\cat{C}^{op}\times \cat{C} \to {\bf Set}$ と書くとさすがに混乱するので、 $Hom_{\cat{C}} : \cat{C}^{op}\times \cat{C} \to {\bf Set}$ とします。

関数や関手 $f$ に対する左カリー化（第一変数に関するカリー化）を ${^\cap}f$ 、右カリー化（第ニ変数に関するカリー化）を $f^\cap$ と書きます。

米田埋め込みは、ホム双関手〈ホム二項関手〉の左カリー化です。

$\quad {\bf Yo}_{\cat{C}} := {^\cap}Hom_{\cat{C}} : \cat{C} \to [\cat{C}^{op}, {\bf Set}]$

そして余米田埋め込みは、ホム双関手の右カリー化です。

$\quad {\bf coYo}_{\cat{C}} := Hom_{\cat{C}}{^\cap} : \cat{C}^{op} \to [\cat{C}, {\bf Set}]$

関手圏 $[\cat{C}^{op}, {\bf Set}]$ は $\cat{C}$ の前層の圏〈category of presheaves〉で、 $[\cat{C}, {\bf Set}]$ は $\cat{C}$ の余前層の圏〈category of {copresheaves | precosheaves}〉です。 $\cat{C}$ の前層の圏を $\cat{C}^\wedge$ 、余前層の圏を $\cat{C}^{\vee}$ と書くことにします。

前層の圏／余前層の圏の記法を使うと、米田埋め込み／余米田埋め込みはもう少し短く書けます。

$\quad {\bf Yo}_{\cat{C}} : \cat{C} \to \cat{C}^{\wedge} \\ \quad {\bf coYo}_{\cat{C}} : \cat{C}^{op} \to \cat{C}^{\vee}$

${\bf Yo}_{\cat{C}}$ は前層の圏への共変埋め込み、 ${\bf coYo}_{\cat{C}}$ は余前層の圏への反変埋め込みです。

今定義した記法は明示的で紛れなく書けます。が、時と場合によりもっと簡潔な記法が欲しくなります。

「よ」記法と米田密度

圏 $\cat{C}$ は事前に了解されているとして、 ${\bf Yo}_{\cat{C}}$ を $よ$ に置き換えればいいのですが、 ${\bf coYo}_{\cat{C}}$ はどうしましょう？一案として、

$\quad よ : \cat{C} \to \cat{C}^{\wedge} \\ \quad よよ : \cat{C}^{op} \to \cat{C}^{\vee}$

ウーム、一文字の簡潔さが欲しかったので二文字はイヤですね。

「米田の「よ」 ≒ ディラックの「δ」」で述べたように、「よ」は、ディラックの「δ」やクロネッカーの「δ」の類似物と思えるので、引数〈argument〉を上付き・下付きで渡すことにします。次のように約束しましょう。

$\quad よ^A := Hom_{\cat{C}}(-, A ) \,: \cat{C}^{op} \to {\bf Set} \\ \quad よ_A := Hom_{\cat{C}}(A, - ) \,: \cat{C} \to {\bf Set}$

あるいは（同じことですが）：

$\quad よ^A := {\bf Yo}(A) \in |\cat{C}^\wedge| \\ \quad よ_A := {\bf coYo}(A) \in |\cat{C}^\vee| \\$

つまり、上付き引数なら米田埋め込み、下付き引数なら余米田埋め込みです。

$\quad よ^- : \cat{C} \to \cat{C}^{\wedge} \\ \quad よ_- : \cat{C}^{op} \to \cat{C}^{\vee}$

「米田の「よ」 ≒ ディラックの「δ」」で紹介した公式は次の形になります。

$\quad {\displaystyle F(A) \cong \int^{X\In \cat{C}} F(X) \times よ^A(X) }$

上付き・下付きの位置が「米田の「よ」 ≒ ディラックの「δ」」と逆ですが、次の注釈はしておきました。

ディラックのデルタと揃えるために $よ_A$ と書きましたが、 $よ^A$ のほうが辻褄が合う気がします。

反変関手 $G:\cat{C}^{op} \to {\bf Set}$ に対しては次が成立します。

$\quad {\displaystyle G(A) \cong \int^{X\In \cat{C}} G(X) \times よ_A(X) }$

関手には共変・反変の区別がありますが、関数にはそんな区別がないので、ディラック密度に $\delta^a(x),\, \delta_a(x)$ の区別なんてないのです。

共変関手に対する $よ^A$ 、反変関手に対する $よ_A$ は、関数に対するディラック密度相当物なので、米田密度〈Yoneda density〉と呼べるものです*1。

「よ」記法は、米田密度を表す記法だと理解すると、あえて「よ」を使う理由と場面がハッキリすると思います。より具体的に言えば、「よ」はエンド／コエンドと一緒に使うと便利だということです。

「米」記法

米田埋め込みが密度というより、本来の“埋め込み”として使われるとき、埋め込み像を簡潔に表すために上付き・下付きの「米」を使いたいのです。

$\quad A_{米} := {\bf Yo}(A) \\ \quad A^{米} := {\bf coYo}(A)$

この上付き・下付きの約束は「困った時の米田頼み、ご利益ツールズ // ラムダ記法と米田の星」とは逆です。恣意的な約束なので、確たる根拠はないのです。

一般に、共変関手 $F$ の略記に下付き星 $F(u) = u_\ast$ 、反変関手 $G$ の略記に上付き星 $G(u) = u^\ast$ が使われます。が、米田埋め込みが共変か反変かは微妙です。

${\bf Yo}: \cat{C} \to \cat{C}^\wedge$ は共変関手であるが、この共変関手の特定の値 ${\bf Yo}(A) : \cat{C}^{op} \to {\bf Set}$ は反変関手である。

今回、先のような約束にしたのは、 $f:A \to B \In \cat{C}$ に対する埋め込み像

$\quad {\bf Yo}(f): {\bf Yo}(A) \to {\bf Yo}(B) \In [\cat{C}^{op}, {\bf Set}] \\ \text{i.e. } {\bf Yo}(f):: {\bf Yo}(A) \Rightarrow {\bf Yo}(B) : \cat{C}^{op} \to {\bf Set}\In {\bf CAT}$

が、自然な感じで書けるようにです。

$\quad f_{米}: A_{米} \to B_{米} \In [\cat{C}^{op}, {\bf Set}] \\ \text{i.e. } f_{米}:: A_{米} \Rightarrow B_{米} : \cat{C}^{op} \to {\bf Set}\In {\bf CAT}$

$(-) \mapsto (-)_{米}$ が埋め込みなので、もとの対象・射と埋め込み像を同一視することがあります。

$A_{米} = A$
$f_{米} = f$

すごく雰囲気的な例えをすると；実数と、複素数のなかの虚部ゼロの数を同一視する $x = x + 0\sqrt{-1}$ ようなものです。

おわりに

特に新しい記法を導入しなくても、ホムセット記法と無名ラムダ変数（ハイフン、マイナス、アンダースコアなど）を組み合わせた $\cat{C}(-, A),\, \cat{C}(A, -)$ でも間に合います。が、米田埋め込み／余米田埋め込みを使う目的・場面に応じて、よりふさわしく直観を刺激する記法を利用すると、それなりの効果を期待できます。