加藤五郎さんによると、米田の補題は「圏論の大黒柱」だそうです（「圏論番外：米田の補題に向けてのオシャベリ」参照）。どのくらい重要で強力かというと（「米田、米田、米田」より）：
the category theorist's joke that "all theorems are Yoneda."
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何でも（"all theorems", "everything"）米田から派生するみたいですよ。
米田はエンド／コエンドも発明し、グロタンディークより先にグロタンディーク構成のアイディアを出しています（「偉大なり、米田」参照）。
最近スピヴァック〈David I. Spivak〉は、表現可能関手に $`y^-`$ という記法を使ってますが（「米田テンソル計算 3： 米田の「よ」、米田の星、ディラックのブラケット 再論 // スピヴァックの指数記法」を参照）、$`y`$ は米田の「y」だそうです。
$`y^-`$ は余米田埋め込み〈coYoneda embedding〉になっていますが、同じ意味の記号が他にもあります。
- 米田の「y」： $`y^-`$
- 米田の「よ」： $`よ_{-}`$ 「米田の「よ」とか： ちょっと変わった記法・名前達」参照
- 米田の「Yo」： $`{\bf coYo}(-)`$ 「米田の「よ」、米田の「米」、米田の「Yo」」参照
双対的な米田埋め込みは：
- 米田の「y」： $`(-)^y`$
- 米田の「よ」： $`よ^{-}`$
- 米田の「Yo」： $`{\bf Yo}(-)`$
米田の補題の主張である同型は米田同型〈Yoneda isomorphism〉と呼びます。
$`\quad \mathrm{Nat}(y^A, F) \cong F(A)`$
この同型を与える写像は米田写像〈Yoneda map〉です。マックレーンの本〈The Book〉には次のように書いてあります。（スピヴァックの $`y^A`$ は使ってないけど。）
$`\quad y:\mathrm{Nat}(y^A, F) \to F(A)`$
小文字の「y」です。スピヴァックの「y」と被ってしまいますね。別な名前を準備したほうがいいでしょう。逆方向の写像は、区別して反米田写像〈unYoneda map〉と呼んだほうが混乱が少ないです。自然変換に対する米田写像の値を（その自然変換の）米田要素〈Yoneda element〉、要素に対する反米田写像の値を（その要素の）反米田自然変換〈unYoneda natural transformation〉と呼ぶと説明に便利です。
$`\quad \mathrm{Nat}(y^A, F)\ni \alpha \mapsto (\alpha\text{ の米田要素}) \in F(A)\\
\quad F(A)\ni a \mapsto (a\text{ の反米田自然変換}) \in \mathrm{Nat}(y^A, F)\\
\qquad \alpha \longleftrightarrow a \quad \text{米田同型}
%`$
さて、関数の世界では、
- $`x \mapsto x^a`$ はベキ関数〈power function〉
- $`x \mapsto a^x`$ は指数関数〈exponential function〉
同様に関手の世界では次のようならいいのですが、実際はそうもいきません。
- $`y \mapsto y^A`$ はベキ関手〈power functor〉
- $`y \mapsto A^y`$ は指数関手〈exponential functor〉
集合圏上のベキ関手というと、まず $`y \mapsto {\bf 2}^y`$ が思い浮かぶでしょう。これは上の言い方なら指数関手です。この事情で、ベキ関手／指数関手という言葉は通用しません。
$`y^A`$ は余米田埋め込みの値であり、$`A^y`$ は米田埋め込みの値です。冠に「米田」を付けたら整合性を回復できるかも知れません。
- $`y \mapsto y^A`$ は米田ベキ関手、あるいは単に米田ベキ〈Yoneda power〉
- $`y \mapsto A^y`$ は米田指数関手、あるいは単に米田指数〈Yoneda exponential〉
形はベキ関数／指数関数と同じで米田の「y」を使っているので、米田ベキ／米田指数は悪くないと思うけど。
