米田の「よ」 ≒ ディラックの「δ」 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

米田埋め込みをひらがなの「よ」で書く例はチラホラと見るようになりました。最初に使い出したのは（おそらく）リ・ブランド〈David Li-Bland〉（https://davidlibland.github.io/）です。$`
\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1}}
\newcommand{\In}{ \text{ in }}
`$

Title: The stack of higher internal categories and stacks of iterated spans
Author: David Li-Bland
Date: 29 Jun 2015
Pages: 38p
URL: https://arxiv.org/abs/1506.08870

上記論文の脚注によると、ジョンソン・フレイド〈Theodore Johnson-Freyd〉（http://categorified.net/）が「よ」を提案したようです。

「よ」の普及(？)に大きな影響力があったのは~~ロアギアン~~ロージエン〈Fosco Loregian〉*1の論文（むしろ教科書）です。~~ロアギアン~~ロージエン論文は過去の記事「米田の「よ」とか：ちょっと変わった記法・名前達」で紹介しています。そのとき（2018年）は、次のように書いていました。

Title: This is the (co)end, my only (co)friend
Author: Fosco Loregian
Pages: 84p
URL: https://arxiv.org/abs/1501.02503

URLは変わってませんが、今確認してみたら：

Title: Coend calculus
Pages: 328p

ドヒャー、ページ数がメチャクチャ増えている。タイトルも当たり障りない（つまらないとも言う）ものに変わってます。もうこれは書籍ですね*2。

編集履歴を見ると：

[v1] Sun, 11 Jan 2015 22:24:02 UTC (61 KB)
[v2] Mon, 9 Feb 2015 14:20:59 UTC (55 KB)
[v3] Tue, 3 Jan 2017 22:14:09 UTC (1,139 KB)
[v4] Mon, 4 Dec 2017 10:26:19 UTC (1,504 KB) ← 2018年記事
[v5] Sat, 21 Dec 2019 11:02:04 UTC (291 KB)
[v6] Fri, 11 Dec 2020 10:02:20 UTC (332 KB) ← 2021年現在

KB表示がなんか奇妙だけど、ここ数年書き足されてサイズは5倍くらいに膨らんだようです。

[追記 date="翌日"]ページ数で見ると、最初が39pだったので、8.4倍ですね。v4からv5の増加が84pから340pで、いきなり4倍になりました。インターネット上に98pバージョンも存在しました。

https://people.math.rochester.edu/faculty/doug/otherpapers/loregian2.pdf

[/追記]

その~~ロアギアン~~ロージエン教科書の Remark 2.2.6 に「米田埋め込みはディラックのデルタ / The Yoneda embedding is a Dirac delta」と書いてあります。どういうことでしょう？

コエンドを積分記号で書くことにすると、次の同型が成立します。

$`\quad
{\displaystyle
F(A) \cong \int^{X\In \cat{C}} F(X) \times よ_A(X)
}
`$

これは、関手 $`F`$ の米田埋め込み（前層圏への埋め込み）による表現です*3。ここで、

$`
\quad F:\cat{C} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}\\
\quad よ_{-}:\cat{C} \to [\cat{C}^{op}, {\bf Set}] \text{ (Yoneda embedding)}\\
\quad よ_A:\cat{C}^{op} \to {\bf Set} \In {\bf CAT} \:\text{ i.e. }よ_A\in |[\cat{C}^{op}, {\bf Set}]|\\
\quad よ_A(X) := \cat{C}(X, A)
`$

~~ロアギアン~~ロージエンのリマークは、米田埋め込み「よ」を含む上の同型が次の等式にソックリだろう、ってことです。

$`\quad
{\displaystyle
f(a) = \int^{x\in {\bf R}} f(x) \delta_a(x)\, dx
}
`$

行きがかり上、積分範囲を示す $`x\in {\bf R}`$ は上に書きました。$`\delta_a`$ は“一点 $`a`$ に集中したディラック密度”です。

そう思って「よ」と「δ」を眺めると ‥‥ 確かに似ている。