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参照用 記事

構造付き圏の定義と記述

複数の台〈underlying thing〉を持つような圏論的構造物を定義したり記述したりするための方法を準備します。
\newcommand{\U}{\mathrm{U}}
\newcommand{\A}{\mathrm{A}}
\newcommand{\C}{\mathrm{C}}
\newcommand{\u}[1]{\underline{#1}}
\newcommand{\hyp}{\text{-}}

内容:

1-ドクトリンと0-ドクトリン

「ドクトリン = 2-セオリー」と言われています。つまり、ドクトリンはセオリーの1次元高いバージョンです。逆に言うと、セオリーはドクトリンの1次元低いバージョンです。「セオリー」という用語はどうも使いにくいんですよね。「ドクトリン = 1-ドクトリン」と考えるなら、「セオリー = 0-ドクトリン」としていいでしょう。「セオリー」の代わりに「0-ドクトリン」を使います。

圏論的ドクトリンの安直な導入」において、ドクトリンとは大雑把に言えば「圏の種別のことだ」と言いました。もう少し補足すると、プレーンな圏〈ordinary category〉に対して条件を付けたり(例:すべての射が可逆)、演算(例:モノイド積)と法則を付け加えたりした構造付き圏〈structured category〉の種別のことです。

それに対して0-ドクトリン〈0-doctrine〉は、構造付き集合〈structured set〉の種別のことです。「集合 = 0-圏」なので次のように言えます。

  • 0-ドクトリン: 構造付き0-圏の種別
  • 1-ドクトリン: 構造付き1-圏の種別

0-ドクトリンのインスタンスである構造付き0-圏と準同型〈homomorphism〉の全体は1-圏(普通の圏)を形成します。1-ドクトリンのインスタンスである構造付き1-圏と準同型(関手のこと)と“準同型の準同型”(自然変換のこと)の全体は2-圏を形成します。

圏論的ドクトリンの安直な導入」と同様、{0 | 1}-ドクトリンの名前はブラケットで囲むことにします。例えば、順序集合の0-ドクトリンは [Ord] 、ダガー圏の1-ドクトリンは [Dagg] です。しかし、[Mon] がモノイドかモノイド圏か判然としないので、次元を添えて [Mon]0 ならモノイド(構造付き集合の種別)、[Mon]1 ならモノイド圏(構造付き圏の種別)とします。

ドクトリン〈1-ドクトリン〉の場合と同様に、複合0-ドクトリンは [Ord Semiring]0 のように書きます。これは順序集合の0-ドクトリン [Ord]0 と半環の0-ドクトリン [Semiring]0 の複合0-ドクトリンですが、複合の仕方は別途定める必要があります(複合方法を定めるのが難しいときもある)。

0-ドクトリンのインスタンス達の圏、1-ドクトリンのインスタンス達の2-圏の名前は太字で書きますが、{0 | 1}-ドクトリンの名前を機械的に太字にするだけでは対応できないこともあるので、個別にネーミングすることにします。例えば:

  • 0-ドクトリン [Ord Semiring]0インスタンス達の圏: {\bf OrdSRng}
  • 0-ドクトリン [Mon]0インスタンス達の圏: {\bf Mon}
  • 1-ドクトリン [Mon]1インスタンス達の2-圏、射はラックス・モノイド関手、2-射はラックス・モノイド自然変換 : {\bf MonCat}^{\mathrm{lax}}

番号付けの憂鬱

前節で「1-セオリーを0-ドクトリンと呼ぼう」と言ったのですが、次の等式が成立していることを前提しています。

  • k-ドクトリン = (k + 1)-セオリー

「k-ドクトリンのインスタンスは構造付きk-圏の種別」なので、番号〈次元〉k が揃っていて気持ちいいですね。が、いつでも気持ちいいとは限りません。

構造付き集合を「1-構造」、構造付き圏を「2-構造」と呼ぶこともあります。モノイドは1-構造で、モノイド圏は2-構造です。この番号付けだとモノイドが1-モノイド、モノイド圏は2-モノイドとなり、モノイドの種別を [Mon]1、モノイド圏の種別を [Mon]2 と書いたほうが辻褄があいます。

こんな具合に番号〈次元〉付けが流儀によりズレてしまうことはたまにあります。例えば、アフィン空間の次元は、空集合を0次元、一点を1次元にしたほうが整合的ですが、習慣からは一点は0次元が自然です。その場合、空集合には(-1)次元を割り当てます。

場合に応じて、番号に ±1 してズラせばいいだけのことですが、現実にはだいぶ気持ち悪いことになります。コミュニケーションに支障も生じます。解決策はありません。憂鬱なだけです。

[補足][追記]圏論的ドクトリンの安直な導入」の最初の節に「n-ドクトリン = n-セオリー」と書いてますね。注釈で「n-ドクトリン = (n + 1)-セオリー」もあるとは書いてますが。「ドクトリン」と「セオリー」が番号付け〈次元付け〉も含めて同義語か、番号はズレるのかもあまりハッキリしないわけです。憂鬱だ。[/追記][/補足]

忘却関手と忘却階層グラフ

忘却関手は習慣として \U と書かれますが、underlying の u です。僕は、underlying ≒ underline のダジャレから忘却に下線を使っています。

\quad \U(A) = \u{A}

今、A をアーベル群〈可換群〉だとします。このとき \U(A) = \u{A} は何を意味するでしょう? アーベル群の台集合だと考える人が多いでしょう。それは、次の忘却関手を想定しているわけです。

\quad \U: {\bf Ab} \to {\bf Set}

しかし、次のような忘却関手の系列もあります。

\quad {\bf Ab} \to {\bf Grp} \to {\bf Mon} \to {\bf Set}

一段階だけ忘却したならば、\U(A) \in |{\bf Grp}| となります。

オーバーロード〈多義的使用〉された忘却関手の記号 \U の意味をハッキリさせたいなら、事前に忘却の階層構造を表すグラフ〈有向グラフ〉を決めておく必要があります。すぐ上の矢印の連鎖も階層構造を表すグラフなので、これに基づいて忘却関手の意味が決まります。

  •  A\in |{\bf Ab}|
  •  \U(A) \in |{\bf Grp}|
  •  \U(\U(A)) \in |{\bf Mon}|
  •  \U(\U(\U(A))) \in |{\bf Set}|

忘却関手の系列を、0-ドクトリンのあいだの階層グラフだと思えば、次のように書いても同じことです。

\quad [\mathrm{Ab}]_0 \to [\mathrm{Grp}]_0 \to [\mathrm{Mon}]_0
 \to [\mathrm{Set}]_0

1-ドクトリンの場合も同様なグラフを考えることができて、「圏論的ドクトリンの安直な導入」で次の事例を挙げました。(空白はプレーンな圏の1-ドクトリンです。)

このグラフのノードに対応する2-圏を定義すれば(単純には決まらない)、構造付き圏の構造の一部を忘れる忘却関手を定義できます。そうすれば、このグラフは2-圏のあいだの忘却関手のグラフとみなせることになります。

パート抽出関手

K を体として、K 上のベクトル空間(と線形写像)の圏を {\bf Vect}_K と書きます(K\hyp{\bf Vect},\, {\bf Vect}[K] などとも書く)。単に {\bf Vect} と書くとデフォルトの係数体(例えば {\bf R})が省略されている意味になるので、係数体を指定しない(すべての体を考える)ベクトル空間の圏を(一時的に) {\bf Vect}_* と書くことにします*1アスタリスクワイルドカードのつもりです。

ベクトル空間 V \in |{\bf Vect}_*| に対して、\U(V) = \u{V} を、係数体とスカラー乗法を忘れた単なるアーベル群だと定義するのは悪くないでしょう。つまり、忘却関手は次のようになります。

\quad \U:{\bf Vect}_* \to {\bf Ab}

しかし、(若干へそ曲がりですが)アーベル群を忘れて、体だけ取り出す忘却関手を考えたっていいでしょう。

\quad \U:{\bf Vect}_* \to {\bf Field}

これらは、忘却関手と呼んで差し支えないですが、ベクトル空間という構造物の一部分〈パート〉を取り出している感じがします。ここでは、アーベル群を「ベクトル空間のAパート〈A part〉」、係数体を「ベクトル空間のCパート〈C part〉」と呼びましょう。 A, C は Abelian group, coefficient field からです。すると、次の2つの関手を定義できます。

\quad \A:{\bf Vect}_* \to {\bf Ab}\\
\quad \C:{\bf Vect}_* \to {\bf Field}

忘却関手のなかで、複合的構造物の一部分を取り出す関手をパート抽出関手〈part extraction functor〉と呼ぶことにします。パート抽出関手は、複数の台を持つ構造に対する忘却関手と言えます。

ベクトル空間に対して定義した関手(の名前) \A, \C は、ベクトル空間に限らず、ベクトル空間類似物に対してオーバーロードして使うことにします。

加群 ≒ 表現

ベクトル空間類似物というと、加群があります。ベクトル空間の係数体を係数環に一般化したものが加群〈module〉です。係数環は可換環を考える場合が多いですが、非可換環〈可換とは限らない環〉を係数域とする加群もあります。

係数環が非可換のときは、スカラー(係数環の要素)がどちら側に掛け算されるかにより、左加群と右加群が区別されます。2つの係数環(同じでもいい)がそれぞれ左右から作用するときは両側加群です。係数環が可換のときは左/右/両側の区別する必要はありません(してもいいですけど)。

加群とほとんど同じ概念にモノイドや群の線形表現があります。M をモノイドとして、VK-ベクトル空間とします。次のような写像 \rhoM の線形表現です。

\quad \rho: M \to \mathrm{End}(V) \text{ in }{\bf Mon}

ここで、\mathrm{End}(V) はベクトル空間の自己線形写像の集合をモノイドとみなしたものです。ベクトル空間 V表現空間〈representation space〉と呼びます。

係数環を指定しない(すべての環を考える)加群の圏を(一時的に) {\bf Mod}_* と書くことにします。ベクトル空間の場合と同様に、次のようなパート抽出関手を定義できます。

\quad \A:{\bf Mod}_* \to {\bf Ab}\\
\quad \C:{\bf Mod}_* \to {\bf NCRng}

{\bf Rng}可換環の圏を意味することが多いので、非可換(可換とは限らない)も許すことを強調して NC = noncommutative を付けました。

K は固定して、様々な〈すべての〉モノイドに対する有限次元線形表現の圏(うまく圏ができたとして)を {\bf MonRep}_* とします。パート抽出関手は次のようになります。

\quad \A:{\bf MonRep}_* \to {\bf FdVect}\\
\quad \C:{\bf MonRep}_* \to {\bf Mon}

{\bf FdVect}{\bf FdVect}_K の係数体を省略したものです。パート抽出関手 \A は、モノイドの線形表現に対してその表現空間を対応させます。

圏論

加群やモノイドの線形表現は、集合を台とした構造なので0-ドクトリンで記述・分類されます。次元を上げると、1-ドクトリンで記述・分類される構造があるはずです。別な言い方をすると、加群やモノイドの線形表現の圏論版です。

「0-ドクトリンで記述・分類される構造 → 1-ドクトリンで記述・分類される構造」と次元を上げる行為を圏論〈categorification〉といいます。特定の0-構造(1-構造と呼ぶべきかも知れない)に対応する1-構造(2-構造と呼ぶべきかも知れない)が一意に決まるわけではありません。状況と目的に応じて様々な圏論化があります。

加群やモノイドの線形表現の標準的な圏論化は、加群〈module category〉またはアクテゴリー〈actegory〉と呼ばれます。

最近、アクテゴリー〈加群圏〉の需要(?)が増しているようですが、定義や記述が整理されてません。ゴチャゴチャしてしまう理由のひとつは、台〈underlying thing〉を2つ持つ複合構造だからでしょう。パート抽出関手で台を分離すれば情勢は見えやすくなると思います。

今日はパート抽出関手を導入しただけで、アクテゴリー〈加群圏〉の定義と記述はまたいずれ。

*1:ちゃんと記述するなら、体の圏上で定義されたインデックス付き圏とそのグロタンディーク構成を使います。