ベクトル空間上の複素密度 2/? - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

「ベクトル空間上の複素密度 1/2」の続きです。

「ベクトル空間上の複素密度」を2回で書く予定だったので、最初の記事は 1/2 としました。が、2回で終わらないし、何回になるか分からないので今回は 2/? とします。2回に収まらない理由は、内容が幾分か膨らんだこともありますが、それより、まとまったところで投稿するスタイルを（しばらくは）やめようかと思ったからです。多少区切りが悪くても、書いた分だけ投稿しよう、と。

以前、ひと月弱ブログを書かなかったとき、
「ファンタジー： (-1)次元の圏と論理」：

しばらくブログを更新してなくて「死んでるんじゃないか？」と思われているので、なんか書きます。

つまり、生存確認／安否情報としても、長い期間の空きは作らないほうがいいだろう、ということです。それ以外は同じ方針、書く内容も特に変わりません。

書いた分だけ投稿するスタイルだと、重複が増えて、試行錯誤・紆余曲折がそのまま見えちゃったりしますが、まー、そもそもブログはそういうもんだからいいとします。

内容：

用語法・記法の修正
群指標に対する演算：乗法、反転、ハッシュ積
ラックス・モノイド関手としての指標群
密度に対する演算：乗法とハッシュ積
それから

生存確認／安否情報

用語法・記法の修正

命名法〈nomenclature | ノーメンクレイチャ〉や記号の規則〈notational {convension | rules}〉が安定してないトピックについて述べるときは、的確な用語法・記法の選択は難しいですね。前回記事の用語法・記法も、続きの話をする上ではマズイところがあるので修正します。

R上の有限次元ベクトル空間の圏を単にVectと書く約束をしたのですが、R上とは限らず有限次元とも限らないベクトル空間も出てくるので、次の記法に修正します。

体K上の、次元を問わないベクトル空間の圏： Vect_K
体K上の、有限次元ベクトル空間の圏： FdVect_K

ただし、体Kを省略したときは K = R とします。

群Gが作用する集合／空間において、左作用と右作用を区別する必要があるので：

群Gが、集合Xに左から作用している構造： (G $\curvearrowright$ X)
群Gが、集合Xに右から作用している構造： (X $\curvearrowleft$ G)

左作用の演算記号は、それが圏の結合であるかどうかに関わりなくセミコロン';'を使い、右作用の記号はドット'・'を使うことにします。

主等質集合の圏も、左主等質集合の圏と右主等質集合の圏に分けます。

左主等質集合〈左トルソル〉の圏： LeftPHS
右主等質集合〈右トルソル〉の圏： RightPHS

相互に関連した似た概念を同一視するかどうかは、そのときそのときで変わりますが、ベクトルのリストとフレームに関して次の記法を使います。Vはベクトル空間で、dim(V) = n です。

ベクトルのリストの集合	List_n(V)	Vⁿ	FdVect_K(Kⁿ, V)
フレームの集合	Frame(V)	Vⁿ_☓	IsoFdVect_K(Kⁿ, V)

List_n(V) は、Vの要素の長さnのリスト（タプルともいう*1）の集合です。List_n(V) $\cong$ Map({1, ..., n}, V) で、右辺をより圏論的に書けば、忘却関手Uを用いて Map({1, ..., n}, V) := Set({1, ..., n}, U(V)) です。また、Vの順序基底〈全順序付き基底〉の集合を OrdBasis(V) とすると、OrdBasis(V) $\cong$ Frame(V) です。いま出てきた諸々の集合のあいだをイコール'='で結ぶか、同型' $\cong$ 'で結ぶかは、ほんとにケースバイケースなので、「注意深く判断してください」としか言えません。

群Gの指標は、引き続き（前回から変えずに） ρ:G→C_☓ という群準同型写像の意味で使いますが、「値を絶対値が1の複素数に限る場合が多い」と言い添えておきます。

この記事で単に密度といった場合、適当な群指標ρに関するρ-同変な複素密度のことです。左主等質集合 (G $\curvearrowright$ X) 上のρ-密度の全体は、Δ^ρ(G $\curvearrowright$ X) と書きます。右主等質集合上のρ-密度なら Δ^ρ(X $\curvearrowleft$ G) です。特定の状況での約束として、右肩のρを複素数αで置き換えることがあります。

群指標に対する演算：乗法、反転、ハッシュ積

ρ, τ などは（群の）指標を表すとします。指標に対する演算を定義しましょう。

2つの指標に対する乗法〈掛け算〉： ρ・τ
1つの指標に対する反転： ρ^∨
2つの指標に対するハッシュ積： ρ#τ

群G上の指標の集合を Ch(G) とすると：

乗法： Ch(G)×Ch(G)→Ch(G)
反転： Ch(G)→Ch(G)
ハッシュ積： Ch(G)×Ch(H)→Ch(G×H)

指標の乗法と反転は（後述の単位指標と共に）、Ch(G) に群構造を与えます。複素数の掛け算を併置で書くとして、指標の乗法〈multiplication〉は次のように定義されます。'・'が乗法の記号です。

For g∈G, (ρ・τ)(g) := ρ(g)τ(g)

指標の反転〈inversion〉は、右肩に'∨'（論理ORと解釈せず、チェックマークまたは逆ウェッジ記号）で表すとして：

For g∈G, ρ^∨(g) := (ρ(g))^-1

これに、単位指標 g $\mapsto$ e(g) = 1 を加えた (Ch(G), ・, e, (-)^∨) は群になります。

指標のハッシュ積〈hash product〉は、ρ∈Ch(G), τ∈Ch(H) に対して：

For g∈G, h∈H, (ρ#τ)(g, h) := ρ(g)τ(h)

「テンソル積」という言葉とテンソル積記号' $\otimes$ 'は使われ過ぎなので、ここでは「ハッシュ積」、'#'にします*2。指標のハッシュ積 ρ#τ は、直積群 G×H 上の指標になります。

ラックス・モノイド関手としての指標群

前節で述べたように、群Gに対して Ch(G) = (Ch(G), ・, e, (-)^∨) は群になります。f:G→H in Grp が群の準同型写像だとすると、Ch(f):Ch(H)→Ch(G) は指標の引き戻しにより定義できます。Ch:Grp→Grp は反変関手になります。

Gが非可換群でも、Ch(G) は可換群になるので、Ch:Grp→Ab （Abは可換群〈アーベル群〉の圏）とみなせます。ChをGrp上の自己関手とみるのがよいのか、Grp→Ab とみるのがよいのか？分からないので、とりあえずはGrp上の自己関手として扱います。

まず最初に気付くのは、関手Chが、モノイド圏のあいだのラックス・モノイド関手になることです（ラックス・モノイド関手については、「図式思考の例として、ラックス・モノイド関手について考えてみる」を参照）。

ラックス・モノイド関手はモノイド圏のあいだの関手（＋自然変換による構造）なので、Grpのモノイド構造が必要です。Grpのモノイド積は群の直積で与えられ、単位対象は自明な群〈単元群〉 1 = {1} です。さらに、モノイド圏のあいだの関手 Ch:Grp→Grp だけでなくて、ラックス・モノイド関手としての乗法〈multiplication〉μと単位〈unit〉εも必要です。

ラックス・モノイド関手の乗法は、スマッシュ積で与える： μ_G,H := (#)_G,H :Ch(G)×Ch(H)→Ch(G×H) in Grp
ラックス・モノイド関手の単位 ε:1→Ch(1) は、ε(1) := (1∋1 $\mapsto$ 1∈C_☓) で与える。

ハッシュやドットのような中置演算子記号を丸括弧で囲むと、対応する関数／関手／自然変換などを表すとします（Haskell風記法）。前置演算子記号、後置演算子記号でも同様な記法を用います。(#), (・), (^∨) などがその例です。

(Ch, μ, ε) はラックス・モノイド関手になります。群に指標群を対応させる関手 Ch は、その他の構造も持ちます。群の乗法 (・)_G:G×G→G, 単位 e_G:1→G から反変的に得られる余乗法 δ_G:Ch(G)→Ch(G)×Ch(G), 余単位 ι_G:Ch(G)→Ch(1) （Ch(1) $\cong$ C_×）があります。指標の反転 (^∨)_G:Ch(G)→Ch(G) もあります。

ラックス・モノイド関手Chは、関手（と自然変換の）圏 [Grp, Grp] のなかで定義されるモノイド類似代数構造ですが、Chはより複雑な代数構造（ホップ代数類似構造とか）になるのだろうと思います。

密度に対する演算：乗法とハッシュ積

Gの群指標ρに対するρ-密度が定義される場は、G-主等質集合です*3。左G-主等質集合 (G $\curvearrowright$ X) 上のρ-密度の集合は Δ^ρ(G $\curvearrowright$ X)、左G-主等質集合 (Y $\curvearrowleft$ G) 上のρ-密度の集合は Δ^ρ(Y $\curvearrowleft$ G) と書くのでした。Δ^ρ(G $\curvearrowright$ X), Δ^ρ(Y $\curvearrowleft$ G) は複素ベクトル空間になります。特に、恒等的に0の値をとるゼロ密度はρ-密度になります。複素ベクトル空間としての密度の集合は密度空間〈density space〉と呼ぶことにします。

2つの左主等質集合 (G $\curvearrowright$ X), (H $\curvearrowright$ Y) に対して、直積〈direct product〉 (G $\curvearrowright$ X)×(H $\curvearrowright$ Y) は、直積群 G×H が作用する集合 X×Y として定義します。G×H の X×Y への作用は (g, h);(x, y) := (g;x, h;y) です。

(G $\curvearrowright$ X)×(H $\curvearrowright$ Y) := ((G×H) $\curvearrowright$ (X×Y))

a, b などは密度を表すとして、密度に対しても演算を定義します。

2つの密度に対する乗法〈掛け算〉： a・b
2つの密度に対するハッシュ積： a#b

これらの演算のプロフィイルは：

乗法： Δ^ρ(G $\curvearrowright$ X) $\otimes$ Δ^τ(G $\curvearrowright$ X) → Δ^ρ・τ(G $\curvearrowright$ X) in Vect_C
ハッシュ積： Δ^ρ(G $\curvearrowright$ X) $\otimes$ Δ^τ(H $\curvearrowright$ Y) → Δ^ρ#τ((G $\curvearrowright$ X)×(H $\curvearrowright$ Y)) in Vect_C

テンソル積は、Vect_C におけるテンソル積、つまり複素ベクトル空間のテンソル積です。

乗法とハッシュ積の具体的な定義は次のとおりです。

For a∈Δ^ρ(G $\curvearrowright$ X), b∈Δ^τ(G $\curvearrowright$ X), (a・b)(x) := a(x)b(x) ∈Δ^ρ・τ(G $\curvearrowright$ X)
For a∈Δ^ρ(G $\curvearrowright$ X), b∈Δ^τ(H $\curvearrowright$ Y), (a#b)(x, y) := a(x)b(y) ∈Δ^ρ#τ((G $\curvearrowright$ X)×(H $\curvearrowright$ Y))

それから

区切りは良くないのだけど、冒頭に述べた理由で今日はここまでにします。密度に対する重要な単項演算として、密度pの双対 p $\mapsto$ p^* があります。p^*が定義される主等質集合は、もとの主等質集合とは反変的な関係にある主等質集合になります。ここの話はけっこうややこしいので、次回に述べます。（[追記]最初「密度ρ」と書いてましたが、'ρ'は群指標に使っているので、'p'に修正しました。[/追記]）

*1:リストとタプルを同義語とみなすかどうかも場合によりけりです。

*2:使用した演算子記号にちなんで命名するは、好ましくない命名法なんですが、この名前と記号の選択は一時的なもので、もっと良い名前・記号があれば変えます。

*3:Gが作用する集合なら、主等質じゃなくてもρ-密度は定義できます。が、今の我々の興味は、主等質集合（主にフレーム集合）です。