ファイブレーションの亀裂と分裂

昨日の記事「拡張包括構造のもうひとつの定式化」で次のように書きました。

$`\mathrm{Disp}`$ が関手になるとき、選択した $`(d, f) \mapsto f^\# d`$ 達を、ディスプレイクラス $`\mathscr{D}`$ の分裂子〈splitting〉と呼びます。

分裂子を持つディスプレイクラスを分裂可能〈splittable〉、分裂可能なディスプレイクラスと“特定された分裂子”の組を分裂ディスプレイクラス〈split display class〉と呼びます。分裂ディスプレイクラスは反変関手 $`\mathrm{Disp}`$ を定義します。「分裂子」「分裂可能」「分裂」は、ファイバー付き圏の用語を流用しています。

ディスプレイクラスに関する用語とファイバー付き圏〈ファイブレーション〉に関する用語は揃えたいという希望があります。

ところが、「グロタンディーク構成・逆構成と同値対応」において：

過去記事において、名詞 "cleavage" の翻訳語は「切開」と「亀裂」でどっちがいいか？ とか迷ってますが、名詞も形容詞も亀裂〈cleavage, cloven〉にします。

用語法の方針がずれちゃってますね。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}`$

$`F:\cat{E} \to \cat{C} \In {\bf CAT}`$ が関手だとします。$`F`$ がどんな関手であれ、$`\cat{E}`$ の射が「デカルト射〈Cartesian morphism〉だ」という概念は定義できます。$`\cat{E}`$ の射 $`\varphi`$ が、$`\cat{C}`$ の射 $`f`$ のデカルト持ち上げ〈Cartesian lift〉だということは：

1. $`\varphi`$ はデカルト射である。
2. $`F(\varphi) = f`$

$`f`$ を決めたとき、$`f`$ のデカルト持ち上げは存在しないかも知れません。たくさん在るかも知れません。たくさん在る場合に絞り込むために、持ち上げの余域〈コドメイン〉も指定することにします。

$`\cat{C}`$ の射 $`f`$ と、$`\cat{E}`$ の対象 $`Q`$ で $`F(Q) = \mrm{cod}(f)`$ となるものを指定したとき、$`\cat{E}`$ の射 $`\varphi`$ が、$`(f, Q)`$ のデカルト持ち上げ〈Cartesian lift〉だということは：

1. $`\varphi`$ はデカルト射である。
2. $`F(\varphi) = f`$
3. $`\mrm{cod}(\varphi) = Q`$

どんな $`(f, Q)`$ に対してもデカルト持ち上げ $`\varphi`$ が存在するなら、関手 $`F`$ はファイブレーション〈fibration | ファイバー付き圏 | fibered category〉です。

デカルト持ち上げが存在するなら、同型を除いて一意的ですが、ほんとに一意的とは限りません。そこで、与えられた $`(f, Q)`$ に対して特定のデカルト持ち上げを選択〈choice〉することにします。そのような“デカルト持ち上げの選択”を亀裂〈cleavage〉と呼びます。タチの良い亀裂を分裂子〈splitting〉と呼びます。

さて、用語法を揃えるなら、「亀裂と分裂」か「亀裂子と分裂子」でしょうが、ズレてます。「ズレても気にしな」という態度もあるし、「揃えたい」という希望もあるでしょう。

亀裂・分裂に関連して3つの意味・用法があります。

1. [名詞] “デカルト持ち上げの選択”を表す名詞
2. [形容詞 1] “デカルト持ち上げの選択”が存在するという性質を表す形容詞
3. [形容詞 2] 特定された“デカルト持ち上げの選択”を備えていることを表す形容詞

現状の用語を表にすると：

	分裂に関して	亀裂に関して
名詞	分裂子〈splitting〉	亀裂〈cleavage）
形容詞 1	分裂可能〈splittable〉	亀裂〈cloven〉
形容詞 2	分裂〈split〉	亀裂〈cloven〉

亀裂に関しては区別がなさ過ぎだなー。区別することを優先するなら：

	分裂に関して	亀裂に関して
名詞	分裂{子}?〈splitting〉	亀裂{子}?〈cleavage）
形容詞 1	分裂可能〈splittable〉	亀裂可能〈cloven〉
形容詞 2	分裂{子}?付き〈with splitting〉	亀裂{子}?付き〈with cleavage〉

ファイブレーションが亀裂可能なことは暗黙に仮定してしまうことが多いので、次の表現が現実的かも知れません。「名詞」と「形容詞 2」がオーバーロードされる可能性がありますが、そこは大目に見ます。

	分裂に関して	亀裂に関して
名詞	分裂{子}?〈splitting〉	亀裂{子}?〈cleavage）
形容詞 1	分裂可能〈splittable〉	(無し)
形容詞 2	分裂{付き}?〈split | with splitting〉	亀裂{付き}?〈cloven | with cleavage〉