圏の離散化、切り捨て、次元調整 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

$\newcommand{\Imp}{\Rightarrow } \newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow } \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\In}{\text{ in } } \require{color} \newcommand{\Keyword}[1]{ \textcolor{green}{\text{#1}} }% \newcommand{\For}{\Keyword{For } }% \newcommand{\Define}{\Keyword{Define } }% \newcommand{\When}{\Keyword{When } }% \newcommand{\Let}{\Keyword{Let } }%$ 最近、プライベートに $\cat{C}|_{\le k}$ という記法を使っていて具合がいいので、これについて説明します。

内容：

圏＝n-圏
n-離散圏と圏の離散化
圏の切り捨て
圏の次元調整
次元調整記法の使い方事例

圏＝n-圏

単に「圏」と言った場合でも、1-圏とは限らないn-圏を意味するとします。実際のところ、我々が5-圏や11-圏を扱う事態はないと思いますが、枠組みとしては任意の n を考えます。

小さいn-圏〈small n-categories〉の全体を $n{\bf Cat}$ とします。必ずしも小さくないn-圏の全体は $n{\bf CAT}$ です。今は、サイズのレベルは2レベルしか考えません*1。次は成立するとします。

$0{\bf Cat} = {\bf Set},\, 1{\bf Cat} = {\bf Cat}$
$0{\bf CAT} = {\bf SET},\, 1{\bf CAT} = {\bf CAT}$
$n{\bf Cat} \in |(n + 1){\bf CAT}|$
$\cat{C}\in |(n + 1){\bf CAT}| \Imp \forall A, B\in |\cat{C}|.\, \cat{C}(A, B) \in |n{\bf Cat}|$

すべての圏の集合は次のように定義されます。

$\quad |\text{*}{\bf Cat}| := {\displaystyle \coprod_{n \in {\bf N}} |n{\bf Cat}}|\\ \quad |\text{*}{\bf CAT}| := {\displaystyle \coprod_{n \in {\bf N}} |n{\bf CAT}}|$

次が成立します。

$\quad \cat{C} \text{ is-a-small-category}\\ \Iff \cat{C} \in |\text{*}{\bf Cat}|\\ \Iff \exists n\in {\bf N}.\, \cat{C} \in |n{\bf Cat}|\\ \:\\ \quad \cat{C} \text{ is-a-category}\\ \Iff \cat{C} \in |\text{*}{\bf CAT}|\\ \Iff \exists n\in {\bf N}.\, \cat{C} \in |n{\bf CAT}|$

我々は小さい圏（圏＝n-圏）を考察の対象物にします。必ずしも小さくない圏は環境として使います。

n-離散圏と圏の離散化

1以上の n に対して、n-離散圏〈n-discrete category〉とは、n-圏であって、n-射が恒等n-射だけである圏のことです。1-離散圏は通常の離散圏です。

任意の(n - 1)-圏に対して、恒等n-射だけを追加するとn-離散圏になります。この構成を離散化〈discretize(動詞) | discretization(名詞)〉と呼びます。圏 $\cat{C}$ を離散化して得られた圏を $\mrm{Disc}(\cat{C})$ と書きましょう。離散化をk回繰り返す操作は $\mrm{Disc}^k$ と書きます。 $\mrm{Disc}^k$ は次のような写像です。

$\For k \in {\bf N}\\ \quad \mrm{Disc}^k : |\text{*}{\bf Cat}| \to |\text{*}{\bf Cat}| \In {\bf SET}$

圏の次元に関しては次が成立します。

$\For n, k \in {\bf N}\\ \For \cat{C} \in |\text{*}{\bf Cat}|\\ \quad \cat{C} \in |n{\bf Cat}| \Imp \mrm{Disc}^k(\cat{C}) \in |(n + k){\bf Cat}|$

圏の切り捨て

1以上の n に対して、n-圏のn-射をすべて捨ててしまう操作を切り捨て〈truncation〉と呼びます。圏 $\cat{C}$ に切り捨て操作をして得られた圏を $\mrm{Trunc}(\cat{C})$ と書きましょう。切り捨てをk回繰り返す操作は $\mrm{Trunc}^k$ と書きます。 $\mrm{Trunc}^k$ は次のような写像です。0-圏（集合）には切り捨ては考えないことにします。

$\For k \in {\bf N}\\ \quad \mrm{Trunc}^k : |({\text{*}\ge 1}){\bf Cat}| \to |\text{*}{\bf Cat}| \In {\bf SET}$

圏の次元に関しては次が成立します。

$\For k, n \in {\bf N}\\ \When n \ge 1 \land n \ge k \\ \For \cat{C} \in |\text{*}{\bf Cat}|\\ \quad \cat{C} \in |n{\bf Cat}| \Imp \mrm{Trunc}^k(\cat{C}) \in |(n - k){\bf Cat}|$

圏の次元調整

圏の次元を $\mrm{dim}(\cat{C})$ と書くことにします。

$\quad \mrm{dim}(\cat{C}) = n \Iff \cat{C} \in |n{\bf Cat}|$

任意の圏の次元を、指定された次元 m に調整〈adjust(動詞) | adjustment(名詞)〉する操作を $\mrm{Adjust}_m$ と書きます。その定義は：

$\For \cat{C} \in |\text{*}{\bf Cat}|\\ \Let n = \mrm{dim}(\cat{C})\\ \For m \in {\bf N}\\ \When m \le n \\ \quad \Define \mrm{Adjust}_m (\cat{C}) := \mrm{Trunc}^{n - m}(\cat{C})\\ \When m \gt n \\ \quad \Define \mrm{Adjust}_m (\cat{C}) := \mrm{Disc}^{m - n}(\cat{C})$

$\mrm{Adjust}_m (\cat{C})$ を次のように略記します。

$\For \cat{C} \in |\text{*}{\bf Cat}|\\ \For m \in {\bf N}\\ \Let \cat{C}|_{\le m} := \mrm{Adjust}_m (\cat{C})$

必ずしも小さくない（サイズが大きな）圏に対してもこの記法を使います。例えば ${\bf CAT}|_{\le 1},\, {\bf Set}|_{\le 2}$ 。

次元調整記法の使い方事例

次元を上げる例

${\bf Set}$ は1-圏ですが、 ${\bf Set}|_{\le 2}$ とすると2-圏になります。追加された2-射は、射のあいだの等式です。つまり、

$\quad \alpha::f \Rightarrow g \In {\bf Set}|_{\le 2}\\ \Iff \alpha:: f = g \text{ on } \mrm{Mor}({\bf Set})$

ここで、 $\text{ on } \mrm{Mor}({\bf Set})$ は集合（大きい集合） $\mrm{Mor}({\bf Set})$ 上の等式であることを示します。

2-圏 ${\bf Set}|_{\le 2}$ のすべての2-射は可逆〈invertible〉です。2-射の性質と等式〈等値関係〉の性質との関係は：

恒等2-射 ←→ 等値関係の反射律
2-射の結合 ←→ 等値関係の推移律
2-射の逆 ←→ 等値関係の対称律

$F:\cat{C} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}$ が関手のとき、関手の次元も上げることができます。

$\quad F|_{\le 2}:\cat{C}|_{\le 2} \to {\bf Set}|_{\le 2} \In 2{\bf CAT}$

関手は射の等値関係を保つので、2-射を2-射に移します。次のように定義できます。

$\For \alpha::f \Rightarrow g \In \cat{C}|_{\le 2}\\ \Define F|_{\le 2}(\alpha) := (F(f) = F(g) \text{ on } \mrm{Mor}({\bf Set}) )$

次元を下げる例

${\bf Cat}$ は2-圏ですが、 ${\bf Cat}|_{\le 1}$ とすると1-圏になります。2-射（自然変換）はもはや考えません。

圏に対象集合を対応させる関手を $\mrm{Obj}$ とすると、そのプロファイルは次のように書けます。

$\quad \mrm{Obj}:{\bf Cat}|_{\le 1} \to {\bf Set} \In {\bf CAT}$

関手 $F$ に対する $\mrm{Obj}(F)$ はその対象パートして定義できますが、自然変換 $\alpha$ に対する $\mrm{Obj}(\alpha)$ は意味不明なので、次元を落とした ${\bf Cat}|_{\le 1}$ 上で $\mrm{Obj}$ を定義するのは適切です。

高次元部分が不明な例

「圏論的レンズ 4：テレオロジー圏」でテレオロジー圏という圏の種別〈ドクトリン〉を紹介しました。特定の定義（例えばライリーの定義）を採用すればテレオロジー圏が何であるかはハッキリします。しかし、テレオロジー圏のあいだの関手や自然変換について不明だとします。

こんなときは ${\bf TeleCat}|_{\le 0}$ という記法で、テレオロジー圏の集合（大きい集合）を表します。この状況では、1-圏／2-圏としての ${\bf TeleCat}$ が定義されてなくても ${\bf TeleCat}|_{\le 0}$ を使っています。

対称モノイド圏からテレオロジー圏を作るオプティック構成を $\mathbb{SymmMonOptic}$ とすると、そのプロファイルは次のように書けます。

$\quad \mathbb{SymmMonOptic}: {\bf SymmMonCat}|_{\le 0} \to {\bf TeleCat}|_{\le 0} \In {\bf SET}$

次元調整記法は、高次元部分を切り捨てる場合だけでなくて、高次元部分が不明なときも使っていいのです。 $\cat{C}|_{\le m}$ と書いたとき、m次元を超える射は使わないので、それが最初からなくても問題になりません。

*1:2レベルでは足りなくなることがありますが、今回は単純化のために2レベルとします。