インデックス付けられた集合の族〈indexed family of sets〉を単にファミリーと呼びます。ファミリーにはたくさんの同義語があります； コンテナ、多項式、（集合論的な）バンドル、ファイバー付き集合、アリーナ、メニューなど。同義語がたくさんあるのは、それだけ重要な概念である証左でしょう。
ファミリーは集合圏をベースに定義されますが、集合圏を他の圏に取り替えて、ファミリー概念を一般化してみます。$`\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}}
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\Imp}{\Rightarrow}
\newcommand{\Iff}{\Leftrightarrow}
\newcommand{\hyp}{ \text{－} }
`$
内容：
記法の約束
サイズのランク〈レベル〉をr、次元をnとして、サイズランクrのn-圏達の(n + 1)-圏を次のように書きます。dはデフォルトのランクです。
| $`r = d `$ | $`r = d + 1`$ | $`r = d + 2`$ | |
| $`n = 0`$ | $`{\bf Set}`$ | $`{\bf SET}`$ | $`\mathbb{SET}`$ |
| $`n = 1`$ | $`{\bf Cat}`$ | $`{\bf CAT}`$ | $`\mathbb{CAT}`$ |
| $`n = 2`$ | $`{\bf 2Cat}`$ | $`{\bf 2CAT}`$ | $`\mathbb{2CAT}`$ |
サイズ・ランクによる階層（表の横方向）はグロタンディーク宇宙の階層に起因します。それについては、次の記事を見てください。
集合圏のホムセットを次のようにも書きます。
$`\quad \mrm{Map}(A, B) := {\bf Set}(A, B) \;\in |{\bf Set}|\\
\quad \mrm{MAP}(A, B) := {\bf SET}(A, B) \;\in |{\bf SET}|`$
圏の射のプロファイル（域と余域の仕様）は次のいずれかの形で書きます。
- $`f:A \to B \In \cat{C}`$ （通常の書き方）
- $`f\in \cat{C}(A, B)`$ （集合論的）
- $`\mrm{dom}_\cat{C}(f) = A \,\land\, \mrm{dom}_\cat{C}(f) = B`$ （命題として）
n-圏 $`\cat{C}`$ に対して、次元がkより大きな射を切り捨てるか、次元ごとの恒等射を追加して、k-圏になるように次元調整したk-圏を $`\cat{C}|_{\le k}`$ とします。以下の過去記事に説明があります。
- 圏の離散化、切り捨て、次元調整（MathJax数式がうまくレンダリングされないときは、ページリロードで表示されると思います。）
インデックス集合を固定したファミリー
これから述べる内容は、次の過去記事にも書いてあります。過去記事のほうがやや詳しいので、必要があれば参照してください。
$`F`$ が、インデックス集合〈indexing set〉$`I`$ のファミリー〈family〉であることは次のように書けます。
$`\quad F:I \to |{\bf Set}| \In {\bf SET}`$
同じことですが、
$`\quad F \in \mrm{MAP}(I, |{\bf Set}|)`$
$`F, G\in \mrm{MAP}(I, |{\bf Set}|)`$ であるとき、指数型（関数集合）とパイ型（パイ構成）を使って、次の集合を定義できます。
$`\quad \prod_{i\in I} \mrm{Map}(F(i), G(i))`$
パイ型の要素 $`\alpha`$ は、$`I`$ でインデックス付けられた写像（$`{\bf Set}`$ の射）の族なので、次のように書けます。
$`\quad \alpha_i : F(i) \to G(i) \In {\bf Set} \:\text{ for all }i \in I`$
圏 $`{\bf Fam}[I]`$ は次のように定義します。
- $`|{\bf Fam}[I]| := \mrm{MAP}(I, |{\bf Set}|)`$
- $`{\bf Fam}[I]( F, G ) := \prod_{i\in I} \mrm{Map}(F(i), G(i)) \subseteq \mrm{MAP}(I, \mrm{Mor}({\bf Set} ))`$
$`\alpha: F \to G`$ と $`\beta: G \to H`$ の結合と、$`F`$ に対する $`\mrm{id}_F`$ の定義は明らかでしょう。
ターゲット圏の一般化とパラメータ化
$`\cat{D}`$ は（大きいかも知れない）任意の局所小圏〈locally small category〉とします。$`\cat{D}`$ は大きいかも知れないので、$`|\cat{D}| \in |{\bf Set}|`$ とは限りませんが、$`|\cat{D}| \in |{\bf SET}|`$ は言えます。局所小なので、$`\cat{D}(A, B) \in |{\bf Set}|`$ です（$`A,B \in |\cat{D}|`$ という前提）。
前節と同様にして、圏 $`{\bf Fam}[I](\cat{D})`$ を定義します（結合と恒等射も容易に分かるでしょう）。
- $`|{\bf Fam}[I](\cat{D})| := \mrm{MAP}(I, |\cat{D}|)`$
- $`{\bf Fam}[I](\cat{D})( F, G ) := \prod_{i\in I} \cat{D}(F(i), G(i)) \subseteq \mrm{MAP}(I, \mrm{Mor}(\cat{D}) )`$
$`\cat{D}`$ が局所小なら、出来上がる圏 $`{\bf Fam}[I](\cat{D})`$ も局所小です。
- $`|{\bf Fam}[I](\cat{D})| \in |{\bf SET}|`$
- $`{\bf Fam}[I](\cat{D})( F, G ) \in |{\bf Set}|`$
$`\Phi : \cat{D} \to \cat{D'} \In {\bf CAT}`$ が関手（圏の圏の1-射）のとき、次のような関手が誘導されます。
$`\quad \Phi_* : {\bf Fam}[I](\cat{D}) \to {\bf Fam}[I](\cat{D'}) \In {\bf CAT}`$
$`\Phi_*`$ の定義の概略を示せば：
- $`\Phi_*(F) := F; \Phi_\mrm{obj} : I \to |\cat{D'}|`$
- $`\Phi_*(\alpha) := \alpha; \Phi_\mrm{mor} : I \to \mrm{Mor}(\cat{D'})`$
つまり、$`{\bf Fam}[I](\hyp)`$ は、$`{\bf Fam}[I](\Phi) := \Phi_*`$ として次のような自己共変関手になります。
$`\quad {\bf Fam}[I](\hyp) : {\bf CAT}|_{\le 1} \to {\bf CAT}|_{\le 1} \In \mathbb{CAT}`$
局所小な圏だけに制限した圏の圏を $`{\bf CAT}_\mrm{LS}|_{\le 1}`$ とすると、先に述べた事情から、$`{\bf Fam}[I](\hyp)`$ は、次のようにもみなせます。
$`\quad {\bf Fam}[I](\hyp) : {\bf CAT}_\mrm{LS}|_{\le 1} \to {\bf CAT}_\mrm{LS}|_{\le 1} \In \mathbb{CAT}`$
$`{\bf Fam}[I](\hyp)`$ の引数に集合圏 $`{\bf Set}`$ を入れた値が前節の $`{\bf Fam}[I]`$ だったのです。
$`\quad {\bf Fam}[I] := {\bf Fam}[I]({\bf Set}) \in |{\bf CAT}_\mrm{LS}|_{\le 1}| = |{\bf CAT}_\mrm{LS}|`$
$`|{\bf CAT}_\mrm{LS}|_{\le 1}|`$ は誤認しそうな記法ですね。変更したほうがよさそう。今後は、$`{\bf CAT}_\mrm{LS}|_{\le 1}`$ を $`{\bf CAT}_\mrm{LS}\!\updownarrow^1`$ とかに変更するでしょう。
[/補足]
グロタンディーク構成
前節の $`{\bf Fam}[I](\hyp)`$ では、集合 $`I`$ を固定してましたが、これも動かすと、反変・共変の二項関手〈双関手〉になります。
$`\quad {\bf Fam}[\hyp](\hyp) : {\bf Set}^\mrm{op} \times {\bf CAT}|_{\le 1} \to {\bf CAT}|_{\le 1} \In \mathbb{CAT}`$
しかし、一度に2つの変数を動かさないで、圏 $`\cat{D}`$ を固定して、インデックス集合を色々と動かすことにします。
$`\quad {\bf Fam}[\hyp](\cat{D}) : {\bf Set}^\mrm{op} \to {\bf CAT}|_{\le 1} \In \mathbb{CAT}`$
$`f:I \to J \In {\bf Set}`$ に対する値を $`f^* := {\bf Fam}[f](\cat{D})`$ と置くと、$`f^*`$ は概略次のように定義されます。
- $`f^* : {\bf Fam}[J](\cat{D}) \to {\bf Fam}[I](\cat{D}) \In {\bf CAT}`$
- $`f^*(G) := f;G \; : I \to |\cat{D}|`$
- $`f^*(\beta: G \to G') := f;\beta \; : I \to \mrm{Mor}(\cat{D})`$
こうして作られた $`{\bf Fam}[\hyp](\cat{D})`$ は、集合圏をベース圏とするインデックス付き圏〈indexed category〉になります。インデックス付き圏はグロタンディーク構成ができます。インデックス付き圏のグロタンディーク構成については過去にだいぶ書いています。
2つだけ記事を挙げるならば：
インデックス付き圏 $`{\bf Fam}[\hyp](\cat{D})`$ の標準的なグロタンディーク構成は次のように書きます。
$`\quad {\bf Fam}(\cat{D}) := {\displaystyle \int_{\bf Set}{\bf Fam}[\hyp](\cat{D})} \In {\bf CAT}`$
グロタンディーク構成は、標準的なファイバー付き圏〈圏のファイブレーション〉を定義します。
$`\quad \pi : {\bf Fam}(\cat{D}) \to {\bf Set} \In {\bf CAT}`$
ベース圏の制限
インデックス付き圏のベース圏（インデックス対象〈indexing object〉達の圏）を集合圏に取ると大きすぎるときがあります。$`\cat{C}`$ は集合圏の部分圏として、インデックス集合は $`\cat{C}`$ の対象に限定することにします。
制限されたベース圏としては、例えば次のような圏があります。
- $`{\bf FinSet}`$ ： 対象が有限集合からなる、集合圏の充満部分圏。
- $`\mrm{Incl}(X)`$ ： 集合 $`X`$ の部分集合を対象として、包含写像だけを射とした圏。$`|\mrm{Incl}(X)| = \mrm{Pow}(X)`$ 、順序集合としての $`\mrm{Pow}(X)`$ と同じこと。
書いた後で気付いたのですが、以下に出てくる $`{\bf Fam}(\cat{C}, \cat{D})`$ という書き方は、圏 $`{\bf Fam}`$ のホムセットと区别が付きませんね。引数が圏を表すカリグラフィー体になっていればなんとか類推できますが、$`{\bf Fam}(\hyp, \hyp)`$ だとアウト。
考えられる対処は、括弧の形を変えて
$`\quad {\bf Fam}\langle\cat{C}, \cat{D}\rangle`$
と書くとか。あるいは下付きにして、
$`\quad {\bf Fam}_{\cat{C}, \cat{D}}`$
とか。
この記事は修正せずにそのままにしておきます。記法のコンフリクトは容易に生じてしまう、という事例になるでしょうから。
[/追記]
上記の追記で指摘した$` {\bf Fam}(\cat{C}, \cat{D})`$ という記法に関する修正については、次の記事で書いています。
[/追記 その2]
ベース圏を $`\cat{C}\subseteq {\bf Set}`$ に制限しても、グロタンディーク構成の作り方は同じなので、次のように定義します。
$`\quad {\bf Fam}(\cat{C}, \cat{D}) := {\displaystyle \int_\cat{C} {\bf Fam}[\hyp](\cat{D})} \In {\bf CAT}`$
ファイバー付き圏は次のようになります。
$`\quad \pi : {\bf Fam}(\cat{C}, \cat{D}) \to \cat{C} \In {\bf CAT}`$
まとめ
$`I\in |\cat{C}|`$ に対して、 $`{\bf Fam}[I](\cat{C}, \cat{D})`$ は $`{\bf Fam}[I](\cat{D})`$ と同じ意味で使います。$`\cat{C}`$ が集合圏の部分圏のときはあまり意味がない記法ですが、必ずしも集合圏の部分圏でない $`\cat{C}`$ も考えるときは意味があります。
$`{\bf Fam}[\hyp](\cat{C}, \cat{D})`$ と $`{\bf Fam}(\cat{C}, \cat{D})`$ の関係は次のとおりです。
$`\quad {\bf Fam}(\cat{C}, \cat{D}) := {\displaystyle \int_\cat{C} {\bf Fam}[\hyp](\cat{C}, \cat{D})} \In {\bf CAT}`$
略記の約束は以下のとおりです。集合圏は省略する、という原則です。
- $`{\bf Fam}[I](\cat{D}) := {\bf Fam}[I]({\bf Set}, \cat{D})`$
- $`{\bf Fam}(\cat{D}) := {\bf Fam}({\bf Set}, \cat{D})`$
- $`{\bf Fam}[I] := {\bf Fam}[I]({\bf Set}) = {\bf Fam}[I]({\bf Set}, {\bf Set})`$
- $`{\bf Fam} := {\bf Fam}({\bf Set}) = {\bf Fam}({\bf Set}, {\bf Set})`$
集合圏とは限らない $`\cat{C}, \cat{D}`$ に対して $`{\bf Fam}(\cat{C}, \cat{D})`$ が使えると、だいぶ便利になります。とはいえ、$`\cat{C}`$ は集合圏の部分圏に限っているので、この条件も外したいところです。それは、またいずれ。（[追記]「Diag構成： 圏論的構成法の包括的フレームワークとして」において、条件を外した一般的な定義を与えています。[/追記]）
