ちょっとわけわからんタイトルです。もう少し正確に言うと、「関手の射パートは自然変換」です。
$`\mathcal{C}, \mathcal{D}`$ を圏とします。双関手〈二項関手〉としてのホムセットを次の形に書きます。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }
\newcommand{\In}{\text{ in }}
\newcommand{\op}{\mathrm{op} }
\newcommand{\hyp}{\text{－} }
\newcommand{\twoto}{\Rightarrow }
\newcommand{\o}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}}`$
$`\quad \mrm{Hom}_\cat{C} : \cat{C}^\op \times \cat{C} \to {\bf Set}\In {\bf CAT}\\
\quad \mrm{Hom}_\cat{D} : \cat{D}^\op \times \cat{D} \to {\bf Set}\In {\bf CAT}
`$
$`F : \cat{C} \to \cat{D} \In {\bf CAT}`$ を関手とします。関手 $`F`$ によるホムセットの引き戻し $`F^*\mrm{Hom}_\cat{D}`$ を次のように定義します。（関手に対する $`\hyp^\op`$ については、「状態遷移系としての前層・余前層・プロ関手 // 捻じれ対のテキスト表示と図示」の後半を見てください。）
$`F^*\mrm{Hom}_\cat{D} : \cat{C}^\op \times \cat{C} \to {\bf Set}\In {\bf CAT}\\
\quad F^*\mrm{Hom}_\cat{D}(\hyp, \hyp) := \mrm{Hom}_\cat{D}(F^\op(\hyp), F(\hyp))
`$
以下、「状態遷移系としての前層・余前層・プロ関手 // 捻じれ対のテキスト表示と図示」で述べたように、$`\cat{C}`$ の対象・射に対応する $`\cat{C}^\op`$ の対象・射に上線を引きます。上線は単なる注釈情報なので、目障りなら無視してかまいません。
自然変換（の候補） $`\varphi`$ を次のように定義します。
$`\varphi :: \mrm{Hom}_\cat{C}\twoto F^*\mrm{Hom}_\cat{D} : \cat{C}^\op \times \cat{C} \to {\bf Set}\In {\bf CAT}\\
\text{For }\o{X} \in |\cat{C}^\op|, Y \in |\cat{C}|\\
\quad \varphi_{\o{X}, Y} : \mrm{Hom}_\cat{C}(\o{X}, Y)\to \mrm{Hom}_\cat{D}(F^\op(\o{X}), F(Y)) \In {\bf Set}\\
\text{For }u \in \mrm{Hom}_\cat{C}(\o{X}, Y)\\
\quad \varphi_{\o{X}, Y}(u) := F(u) \; \in \mrm{Hom}_\cat{D}(F^\op(\o{X}), F(Y))
`$
$`\varphi`$ がほんとに自然変換であるためには、次の四角形の可換性が要求されます。
$`\require{AMScd}
\text{For } \o{f} : \o{X} \to \o{X'} \In \cat{C}^\op, g: Y \to Y' \In \cat{C}\\
\quad \begin{CD}
\mrm{Hom}_\cat{C}(\o{X}, Y) @>{\varphi_{\o{X}, Y} }>> \mrm{Hom}_\cat{D}(F^\op(\o{X}), F(Y))\\
@V{\mrm{Hom}_\cat{C}(\o{f}, g)}VV @VV{\mrm{Hom}_\cat{D}(F^\op(\o{f}), F(g)) }V\\
\mrm{Hom}_\cat{C}(\o{X'}, Y') @>{\varphi_{\o{X}, Y} }>>\mrm{Hom}_\cat{D}(F^\op(\o{X'}), F(Y'))
\end{CD}\\
\text{commutative in }{\bf Set}
`$
これは集合圏での可換図式なので、要素を取って計算すれば、すぐ確認できます。ホム双関手に関する計算法は「ホム関手とサンドイッチ結合」にあります。
$`\quad \xymatrix{
u \ar@{|->}[r] \ar@{|->}[d]
& F(u) \ar@{|->}[d]
\\
\o{f}; u ; g \ar@{|->}[r]
& {F(\o{f}; u ; g) = F^\op(\o{f}); F(u) ; F(g)}
}
`$
したがって、関手の射パート〈morphism part〉（を細かく分けたホム成分達）は自然変換になっています。
分離関手〈separable functor〉という概念を定義する際に、関手の射パートを自然変換として扱うようです。
分離関手の一般化として半分離関手というものもあります。半分離関手に関しては、例えば：
- [AB22-]
- Title: Semiseparable functors
- Authors: Alessandro Ardizzoni, Lucrezia Bottegoni
- Submitted: 24 Feb 2022
- Pages: 35p
- URL: https://arxiv.org/abs/2202.12113
また、関手の射パートが自然変換であることは、集合／関数／スパンから構成される二重圏のなかで内部圏論を行う場合にも、基本的事項として使われます。
[/追記]
