「スキーマとインスタンス -- 一般関手モデル」に書いた“スピヴァックの処方箋”に従うと、考えるスキーマの全体である“圏の圏”Schとアンビエント圏Cを決めると、グロタンディーク構成により圏のファイブレーション ∫(s∈Sch | [s, C]) → Sch ができるのでした。
以下、平坦化された圏 ∫(s∈Sch | [s, C]) を単にInstと書くことにします。Instの対象は、スキーマSとその上のインスタンス F:S→C の組 (S, F) です。Instの射 (S, F)→(T, G) は、スキーマ射（関手）σ:S→T と自然変換 α:F⇒σ*(G) の組です（「インデックス付き圏のグロタンディーク構成」を参照）。
ここでは、異なるスキーマ上のインスタンスを組み合わせる方法を紹介します。とても簡単な方法です。[追記]予備知識と慣れがないと簡単とは感じないですね。[/追記]
SとTが小さい圏だとします。SとTの直和 S + T は、集合の場合と同じように定義できます。SとTを重ならないように並べたものが S + T です。2つの入射 S→(S + T), T→(S + T) も自明でしょう。S, T上になんらかの構造、例えばモノイド圏の構造があって、S + T 上にもモノイド積を入れようと思うと無理なときがありますが、単なる圏としてなら S + T はwell-definedです。
2つの関手 F:S→C, G:T→C に対して、デカルト余ペアリング [F, G]:(S + T)→C の定義も集合のときと同じです。（[追記]ムーッ、[X, Y] という書き方は、指数 YX の意味でも使うなー。ここでは指数じゃありません。[/追記]）「S上ではF、T上ではG」である関手ですね。2個以上の関手に対しても余タプリングが定義できます。
圏の圏Schが直和で閉じているとします。つまり、S, T∈|Sch| ならば、(S + T)∈|Sch| です。F:S→C, G:T→C は、定義よりInstの対象です； F, G∈Inst。デカルト余ペアリング [F, G] もInstに入ります。次の事実が成立します。
- F1, ..., Fn がInstの対象なら、余タプリング [F1, ..., Fn] もInstの対象である。
この構成は、いくつかのインスタンス達 F1, ..., Fn を単純に寄せ集めることになります。
もう少しだけ一般化しておきます。ファイバー積の双対（つまりpushout構成）を融合和（amalgamed sum）と呼ぶことにします。圏の圏Schが融合和で閉じているとします。つまり、S, T, J∈|Sch| で、σ:J→S, ρ:J→T がスキーマ射のとき、スパン (S←J→T) を補完する押し出し図（pushout diagram）がSch内で常に作れると仮定します。
Sch内のスパン (σ:S←J→T:ρ) に対して、F:S→C、G:T→C、それと K:J→C があって、次の意味で整合性を持っているとします。
- σ;F = K :J→C
- ρ;G = K :J→C
このとき、インスタンスFとGを、インスタンスKを糊しろにして貼り合わせること（gluing）ができます。貼り合わせたインスタンスは、スパンに対する融合和であるスキーマ上に載っています。Jが空圏であるときの貼り合わせが余ペアリング（余タプリング）です。
より一般に、Sch内の図式があって、その図式の各点（点がスキーマ）で定義されたインスタンス達が全体として整合性を持てば（貼り合わせ可能なら）、図式に沿って貼りあわせたインスタンスを、図式の余極限（それが存在するとして）の上に構成することができます。
この構成を逆向きに見ると、大きなスキーマ上のインスタンスを、小さなピースに分解していることになります*1。ピースは重なっていることもあって、重なり部分がまたピースになっています。分解されたピース達の整合性条件とは、「もともとは1つのものだった」という事実を述べたものです。
このような貼り合わせ合成やピースへの分解は、インスタンスの工作術（craftwork）の基本となります。
*1:必ずしも小さくはならない分解もありますが、たいていは小さくする目的で分解するでしょう。
