「確率変数」の一般論は可能か

確率変数について2つの記事を書きました。

• 「確率変数」の正体は米田埋め込み
• 「確率変数」の変種：測度に縛られない確率変数

「確率変数」という概念をもう少し一般化できそうな気がしてきました。

内容：

1. ニ項関手をカリー化したら確率変数
2. バナッハ空間に値を取る確率変数
3. プロ関手を楽観的に捉える
4. 確率変数の圏論的構造

ニ項関手をカリー化したら確率変数

「「確率変数」の変種：測度に縛られない確率変数」で述べたことを手っ取り早く復習すると：

• ニ項関手 Hom_Prob:Prob^op×Prob→Set のカリー化（ラムダ抽象）^Λ(Hom_Prob)は、「確率変数」概念の実体とみなせる。
• ニ項関手 H:Prob^op×Meas→Set のカリー化（ラムダ抽象）^ΛHは、「無制約確率変数」概念の実体とみなせる。ここで、H(A, M) := Meas((Aの台となる可測空間), M)/(測度0の集合を除いて一致する)。

この2つで共通しているのは、Prob^op×C→Set という二項関手があり、その二項関手のカリー化として確率変数概念が得られることです。1番目では C = Prob、2番目では C = Meas となっています。Cをもっと別な圏に取り替えると、確率変数（の概念）の変種がもっと作れるでしょう。

Cだけでなくて、ニ項関手の値の圏であるSetも他の圏に変更してもよさそうです。実際に、Setも取り換えて第3の例を作ってみます（次節）。

バナッハ空間に値を取る確率変数

以下に述べる例は「モノイド自然変換としての積分： 大雑把に」の例とよく似たものです。

Banをバナッハ空間と連続線形写像（＝有界線形写像）の圏とします。バナッハ空間はノルムから距離が入り位相空間となるので、ボレルσ集合代数を作れます。バナッハ空間Vのボレルσ集合代数をBorel(V)と書くことにします。

圏Probの対象Aは確率空間なので、A = (Ω_A, Σ_A, μ_A) と書きます。確率空間Aもバナッハ空間Vも可測空間とみなせるので、可測写像全体の集合Meas((Ω_A, Σ_A), (V, Borel(V))を作れます。確率空間Aは測度空間なので、A上でバナッハ空間値関数の積分（ボホナー積分）ができます。可測写像 u∈Meas((Ω_A, Σ_A), (V, Borel(V)) のノルムを取った実数値関数がA上で積分できて値が有限値のとき、u∈L₁(A, V) だと決めます -- これは、確率空間Aとバナッハ空間Vに対して新しいバナッハ空間L₁(A, V)を定義したことになります。

f:A→B in Prob と ψ:V→W in Ban に対して、L₁(f, φ):L₁(B, V)→L₁(A, W) も定義できて、L₁は Prob^op×Ban→Ban という二項関手になります。

二項関手 L₁:Prob^op×Ban→Ban をカリー化（ラムダ抽象）すると、^ΛL₁:Ban→[Prob^op, Ban]です。この[Prob^op, Ban]は、“Banに値を取る前層の圏”と言っていいでしょうから、PSh_Ban(Prob) と書くことにします。すると：

• ^ΛL₁:Ban→PSh_Ban(Prob)

^ΛL₁は確率変数概念と呼んでいいでしょう。確率変数概念^ΛL₁に、値の空間であるバナッハ空間Vを渡すと、(^ΛL₁)(V)というBan値前層ができます。さらにこの前層（関手）に確率空間Aを渡すと、A上のV値可測関数の全体 (^ΛL₁)(V)(A) = L₁(A, V) が生じます。(^ΛL₁)(V)(A)は単なる集合ではなくてバナッハ空間です。バナッハ空間(^ΛL₁)(V)(A)の要素が狭義のV値確率変数（＝測度論的確率変数）です。

次のステップを踏んで「確率変数」が具体化・特定化されていきます。

1. 二項関手 L₁
2. 確率変数概念 ^ΛL₁
3. 値の空間を特定した確率変数概念 (^ΛL₁)(V)
4. 測度論的確率変数の集合 (^ΛL₁)(V)(A) （単なる集合ではなくてバナッハ空間）
5. 特定の測度論的確率変数 X∈(^ΛL₁)(V)(A) （可測写像からなるバナッハ空間の要素）

プロ関手を楽観的に捉える

一般に、C, Dを圏として、D^op×C→Set という形の二項関手をプロ関手（profunctor）と呼びます。プロ関手 F:D^op×C→Set を、F:C+→D と書くことがあります。そのココロは、Fを“CからDへの何らかの射”とみなしているのです。プロ関手が射であるとは、2つのプロ関手 F:C+→D, G:D+→E に対して、結合（図式順結合を'*'で表す） F*G:C+→E や、恒等プロ関手Id_Cが定義できるということです。

小さい圏を対象として、そのあいだのプロ関手を射とする圏Profがチャンと定義できることは知られています。大きな圏を認めるとどうなんでしょう？ 大きな圏を無条件に許すのはたぶんダメでしょう。"accessible category"とか"locally presentable category"とかの議論が必要なんでしょう、よく知らんけど。

楽観的に考えて、ProbやMeasを対象としてもいいようなプロ関手の圏PROFがあるとしましょう。すると、確率変数概念のモト（源泉）である二項関手は、Hom_Prob:Prob+→Prob, H:Meas+→Prob in PROF と書けます。さらに楽観的な大風呂敷を広げると、超巨大な圏PROFは、前層構成PSh(-)をモナド乗法、米田埋め込みy_-をモナド単位とする超巨大なモナド（米田モナドと呼ぶべきかな）のクライスリ圏のはずです。したがって、プロ関手 F:C+→D を二項関手とみなしてカリー化した^ΛFは、プロ関手としてのFをクライスリ射として表現した形 C→PSh(D) です。

前段落の楽観的法螺を完全に実現するのは難しいでしょうが、ProbやMeasを扱う最小限のメカニズムは整備できると思います。一般論は夢想の彼方でも、具体的な圏に対する具体的な構成ができれば、とりあえずはOKです。

F:C+→D in PROF とは、F:D^op×C→Set in CAT のことでした。Setを別な圏Eに変えた F:D^op×C→E in CAT も（広義の）“プロ関手”と言ってもいいでしょう。ただし、Eとして任意の圏を取れるわけではありません。おそらく、Eとしてベナボー・コスモス（Bénabou cosmos）あたりを選べばいいんでしょう。

このEは、豊饒圏（enriched category）を作るときの豊饒化ベース圏（enriching category）と同じ役割を担います。なので、SetをEに変えたプロ関手はE-豊饒プロ関手と呼んでよいかと。そのことは次の記事に書きました。

• 豊饒プロ関手は豊饒な世界を提供するのか

前節の二項関手 L₁:Prob^op×Ban→Ban は、プロ関手 L₁:Ban+→Prob とみなせるでしょうが、単なるプロ関手ではなくて、Ban-豊饒プロ関手です。別な書き方をすると、L₁∈Ban-PROF(Ban, Prob)。

確率変数の圏論的構造

C, Dが大きいかも知れない（が、タチの良い）圏、Eはコスモス的条件を満たす圏だとして、次の3つは同じものを表現しています。

1. 二項関手 F:D^op×C→E in CAT
2. 前層の圏への単項関手 ^ΛF:C→PSh_E(D) in CAT
3. 豊饒プロ関手 F':C+→D in E-PROF

今まで出した確率変数概念の3つの例では：

C	D	E	F
Prob	Prob	Set	HomProb
Meas	Prob	Set	H
Ban	Prob	Ban	L1

確率の話なので、D = Prob は固定されてますが、Probにもバリエーションはあります。例えば、確率空間の台を集合ではなくてポーランド空間にすれば、D = PolishProb（ポーランド空間上の確率空間の圏） となるでしょう。リーマン多様体上の確率論なんてのもあるみたいですから、D = RieManProb（リーマン多様体上の確率空間の圏）という設定もアリでしょう。あるいは、順列組み合わせだけで解ける確率的問題を定式化するなら、有限集合を台とする確率空間の圏FinProbが相応しい場となるでしょう。

さまざまな確率変数概念の一般的枠組には次の3つの圏が出てきます。

1. C ： 対象が、確率変数の値の領域である圏
2. D ： 対象が、確率空間である圏
3. E ： 対象が、（速度論的）確率変数の集合である圏

この三組のあいだに二項関手 F:D^op×C→E in CAT があれば、それをカリー化して確率変数概念（notion of random variable）を定義できます。必要があれば、Fを豊饒プロ関手とみなすこともできます。

以上の枠組を用いれば、「確率変数」の謎で多様な用法に解釈を与え整理することが（ある程度は）できるでしょう -- そう、「確率変数」の一般論は可能なように思います。