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参照用 記事

三段論法とは何か?

昨日に引き続き、セミナーで受けた質問で一般的なものを; 「三段論法とは何ですか?」に答えておきます。

内容:

アリストテレスがやっていたヤツ

「三段論法」という言葉は、割とよく耳にしますが、数理論理学のテクニカルタームとしては定義されてないと思います。ローカルに定義する人がいるかも知れませんが、広く合意された定義はないでしょう。国語辞典に載っている言葉(日常語、非専門語)として解釈したほうが無難です。

言語運用状況の統計的証拠はありませんが、「三段論法」の用法で多そうなのは、アリストテレスがやっていた論理の手法を指す場合だと思います。僕は歴史に疎いので、古代ギリシアの論理はよく知りませんが、「大前提/小前提/結論」という形式があるので「三段」と呼ぶんじゃないかと想像します。でも、英語(もとはギリシャ語)だと"syllogism"〈シロジズム〉で、特に「三」の意味はないようです。

モーダスポネンス

次のような推論の形式をモーダスポネンス〈modus ponens | MP〉といいます。モーダスポネンスはラテン語みたい。

   A   A⇒B
  ----------MP
      B

モーダスポネンスをシーケントで書くなら:

  • A, A⇒B → B

このモーダスポネンスを三段論法と呼ぶこともあるようです。アリストテレスのシロジズムにもモーダスポネンスのような論法はあるので、モーダスポネンスがアリストテレスとまったく無関係とは言いにくく、モーダスポネンスを三段論法と呼んでも別にいいんじゃないかな、と思います。

あるいはまた、次のような推論を三段論法と思っている人もいるかも知れません。

   A⇒B   B⇒C
  -------------
      A⇒C

これは、モーダスポネンスから導くことができます。自然演繹風の証明図(セミナーでは、証明図ではなくて推論図と呼んでます*1)で描くなら:

  #1
  ---
   A  A⇒B
  ---------MP
      B       B⇒C
     --------------MP
          C
        -------#1
         A⇒C

ここで、二箇所に'#1'と書いてあるのは、仮定のAを消して含意の前件に持ってきたことを示します -- カリー化とかラムダ抽象に相当する*2操作です。

上記の証明(推論)の仮定と結論だけをシーケントで書けば:

  • A⇒B, B⇒C → A⇒C

これも、A, B, C という三つの命題が出てくるから三段論法なのかもね。

カット

論理式のリストを、Γ, Δ などのギリシャ文字大文字で表すことにして、シーケント計算における次の規則(セミナーではシーケントの推論規則を基本リーズニングと呼んでます*3)をカット〈cut〉といいます*4

  Γ → A   A, Δ → B
 ======================Cut
    Γ, Δ → B

先に出てきた自然演繹風証明図と区別するため、横棒は二本棒にしています。

カットが部分的な結合〈partial composition〉であることは見て取れると思いますが、通常の結合があれば、カット=部分結合は導くことができます。

                ☆
             ========
  Γ → A    Δ → Δ
 =====================Prod
    Γ, Δ → A, Δ          A, Δ → B
   ===================================Comp
       Γ, Δ → B

ここでは、ゲンツェンのLKシーケントとは違って、右辺のカンマも連言の意味です。Prodは、左辺どうし/右辺どうしをそのまま連接する操作で、Compは順次結合する操作です。ProdやCompについてより詳しいこと、あるいはもっとグラフィカルな表現については:

えーとそれで、カット〈部分結合〉のことも三段論法と呼ぶことがあります。



結局、「三段論法」という言葉は大変に曖昧です。もともとが曖昧なんだから、どんな意味で使おうが目くじらは立てませんが、曖昧性を避けたいなら使わないのが吉です。

*1:証明図と呼ばず推論図と呼ぶには事情があります。

*2:「相当する」は、カリー/ハワード対応により関係付けられることを意味します。

*3:推論/証明とは呼ばずリーズニングと呼ぶには事情があります。

*4:もう少し一般的な形にすることが多いかも。