圏にグロタンディーク流位相を与える方法

昨日の記事「グロタンディーク流サイトについて調べてみた」の続きです。

内容：

色々な方法

集合Xがあるとき、Xに位相を載せる〈位相構造を与える〉標準的な方法は、開集合の集合 O⊆Pow(X) を特定することです。この方法が標準的ですが、他の方法もあります。閉包作用素や開核作用素で位相を定義することがあります。各点ごとに近傍系を与える方法もあります。一般性は損なわれますが、距離から位相を導くこともできます。色々な方法があるなかで、開集合の方法が利便性が高かったので、標準の地位を獲得したのでしょう。

集合ではなくて、圏に位相を載せる方法を考えてみましょう。何が標準的方法か、ハッキリとは分かりませんが、よく引用されるのは、グロタンディークによるグロタンディーク位相です。

• https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+topology

別なやり方として、まず、圏C上の前層の圏 [C^op, Set] からトポスを作ってしまい、そのトポス上のオペレーターとして位相を導入する方法もあります。ローヴェア／ティアニー位相です。

• https://ncatlab.org/nlab/show/Lawvere-Tierney+topology

ローヴェア／ティアニー位相とグロタンディーク位相の同値性が知られています。

前層トポスやグロタンディーク位相は、ふるい〈篩 | sieve〉の概念に基づいています。ふるいについては次の記事で扱っています。

• 前層トポスの部分対象分類子

ふるいを使わない、もっと単純な位相の定義はグロタンディーク・プレ位相です。グロタンディーク・プレ位相からグロタンディーク位相が決まります。

• https://ncatlab.org/nlab/show/Grothendieck+pretopology

グロタンディーク位相／グロタンディーク・プレ位相の定義のなかで、引き戻し〈ファイバー積〉が使われています。引き戻しに依存しない定義は、被覆系〈coverage〉で与えられます。

• https://ncatlab.org/nlab/show/coverage

現在のところ、集合に対する開集合のように、安定した標準的方法はないようです。いずれは、汎用性と使い勝手に優れた方法が標準として選ばれるのでしょう。今は、色々な可能性を試す時期なのかもしれません。

使いやすい方法

さてここで、汎用性はともかくとして、使い勝手がいい方法を紹介します。昨日の記事で触れた、圏Cとその部分圏Sのペアです。利便性を重視するので、Cにも条件を付けます。

• 任意の集合 I に対するCの対象の族 (X_i | i∈I) は、余極限（直和）を持つ。

Top、Man はこの条件を満たします*1。

Sは単元被覆系〈singleton coverage〉となる（すぐ下で説明）のですが、部分圏であることから次は成立しています。

• u, v in S で結合可能（cod(u) = dom(v)）ならば、u;v in S

これは被覆の推移性を意味します。

Sが被覆系である条件は次のように書けます。

• u:U→X in S, f:Y→X in C のとき、v:V→Y in S と g:V→U in C が存在して次の図式を可換にする。

被覆、つまりSの射が十分にあることを保証するために、次の条件を付けます。

• fがCの同型射ならば、f in S 。

特に、恒等射 id_X:X→X は被覆になります。したがって、どんな対象にも被覆が存在します。Sにより単元被覆系が定義されるので、Cov(X) という記法を使います。

• Cov(X) := {u:U→V in C| u in S}

S内でのファイバー積の存在は仮定します。

• u:U→X, v:V→X ならば uとvのファイバー積が存在し、Sに入る。

特に、自分とのファイバー積 u×_Xu を u^[2] のように書きます。u^[3], u^[4] なども同じです。u^[k] は、被覆のナーブ〈nerve | 脈体〉の構成に使われます（今日は述べませんが）。

以上の条件〈公理〉を満たす (C, S) は使いやすい“位相”になります。その実例は：

• C = Man = (多様体の圏)
• S = (全射しずめ込みの圏)

開射の圏

前節で述べた (C, S) により、Cに位相を載せることはできます。しかし、従来からよく知られている“開集合”の概念が欲しいときもあります。開集合に相当するCの射を開射〈open morphism〉と呼ぶことにします。開射は、従来の概念との橋渡しであって、実際はなくてもいいものです。

開射の全体OはCの部分圏になります。次の条件を付けておきます。

• [開射の公理 1] 開射はモノ射である。（O⊆Mono(C)）

開射は、被覆（Sの射）との関係性において定義されます。

• [開射の公理 2] 被覆 u:U→X と射 f:V→U があり、f;u : V→X がモノ射ならば f;u は開射である。
• [開射の公理 3] 開射の族 u_i:U_i→X のコタプル [u_i | i∈I] : U_i→X がエピ射ならば被覆になる。

被覆が、実は開被覆族であるとすれば、開射と被覆がお互いを規定しあう関係になります。

• [開射の公理 4] 任意の被覆 f:W→X に対して、開射の族 u_i:U_i→X と同型 g:W→U_i が存在して、f = g;[u_i | i∈I] となる。

以上の条件〈公理〉で、被覆は開射から構成されることになります。しかし、被覆がいつでも開射から構成されるわけではないし、重要なのは開射ではなくて被覆です。よって、開射の存在に拘ったり前提するのは良くないですが、従来型の（古典的）位相を扱う場合は、上記のように開射を仲立ちにすると分かりやすくなります。次の例では、開射が存在します。

• C = Man
• S = (なめらかな全射局所同相写像の圏)
• O = (なめらかな開埋め込みの圏)

まとめ

1. ManやTopのような大きな圏〈large category〉上に、直接的に“巨大位相”を載せて使う方法は良さそう。
2. “位相”は、圏の被覆系〈coverage〉として定義するのが良さそう。
3. 被覆系が単元被覆系になると、話が単純になって楽だ。
4. 古典的な開集合概念が欲しいときは、開射の圏で代用すれば良さそう。
5. Man上には、全射しずめ込みの単元被覆系と、全射局所同相写像の単元被覆系がある。

*1:添字集合 I が大きすぎると余極限が多様体にならないケースがあるので、そこの調整は必要です。