「ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字」の続きです。ビッグサイトを作るもとになるサイトがあるので、それを巨大サイトと呼び、巨大サイトに注目しようという話です。
内容:
巨大サイト
(なめらかな)多様体の圏をManとすると、大ざっぱには、
- 微分幾何 = Manを調べること
と言っていいでしょう。この意味での微分幾何の道具(Manを調べる道具)として、サイト〈site〉と層〈sheaf〉を使いたいのです。サイトと層の定義は色々ありえますが、次のモットーは成立するようにします。
- サイトとは、層の定義域である。
台(下部構造)となる圏Cに被覆の概念が載ったものがサイトです。Cからの関手で、被覆に対して適切に振る舞うものが層です。微分幾何(上記の意味)の文脈では、C = Man です。
Manの対象、つまり多様体Mをひとつ選んだとき、開集合の圏 Open(M) が決まります。Open(M) は、Mの開集合達のあいだの包含順序を射とするやせた圏です。Open(M) を、Mのリトルサイト〈little site〉と呼びます。これは、リトルサイトの事例のひとつですが、その他のリトルサイトを扱うことは(たぶん)ありません。
Mのビッグサイト S(M) は、Open(M)⊆S(M) となるようなサイト(被覆系を持つ圏)です。しかし、Mに対してビッグサイト S(M) を直接に定義するわけではなく、ビッグサイトの背後に、Man全体で定義されたサイト構造〈被覆構造〉があります。
Man全体で定義されたサイト構造があれば、Man自体がサイトになります。このサイトは巨大サイト〈giant site〉と呼ぶことにします。「巨大」はサイズに関する形容詞ではないので、小さな巨大サイトもありえます(Manは大きいですが)。
巨大サイトは、圏の対象ごとに定義されるサイト(インデックス付きサイト)ではなくて、圏全体に被覆系を載せたもの、という意味です。「ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字」で、ビッグサイト微分幾何〈big-site differential geometry〉という言葉を出しましたが、それより以前に巨大サイト微分幾何〈giant-site differential geometry〉が有ることになります。
具体的には、C∞(-) = Φ(-) :Man→CRng (CRngは可換環の圏)、Ω(-):Man→Module (Moduleは加群の圏)などのよく知られた反変関手が、巨大サイトとしてのManからの層になるようにしたいのです。
開射を持つ圏
雰囲気的に言えば、サイトは“位相”を持つ圏です。その“位相”が、被覆系〈coverage〉により与えられます。被覆系に関してはnLabページを見てください。
しかし、通常の位相は開集合(の集合)により与えられます。ギャップがありますね。
このギャップを埋めるために、開集合に相当する“開射”を備えた圏を定義します。被覆系は、開射から定義することにしましょう。
一般的な圏Cで話をしますが、想定しているのは C = Man の場合です。そのため、圏の対象を M, N と書くことがあります。
圏Cは次の性質を持つ圏だとします。
- 始対象 0 を持つ。
- 対象の族 (Xi)i∈I に対して、直和 を持つ。
族の添字集合 I は任意の集合を許すとします。空な族の直和は始対象なので、2つの条件を1つにしてもかまいません。
Cの部分圏 OC が指定されていて、OC は次の条件を満たすとします。([追記]3番目の条件は4番目の条件から出ます。その意味で冗長です。[/追記])
- |OC| = |C| (OC は広い部分圏*1)
- 始対象0からの唯一の射は OC に入る。
- u:U→M, v:V→M in OC ならば、uとvのファイバー積が存在して、ファイバー積からMへの射影は OC に入る(下に図式)。
- f:M→N in C, v:V→N in OC ならば、vのfによる引き戻し f*(v) が存在して、f*(v) はOC に入る(下に図式)。
- すべての同型射は OC に入る。
ファイバー積と引き戻しの存在に関して、次の可換図式があります。四角形は引き戻し可換図式で、Xはファイバー積(コスパンの極限対象)です。
一番目の図式のXを、X = U∩V 、ニ番目の図式のXを、X = f*(V) と略記します。
二番目の図式の f を u に置き換えると一番目の図式が得られて、Xからの射影は u*(v);u と書けます。よって、ファイバー積からMへの射影が OC に入ることは、二番目の図式(の条件)だけから出ます。
[/追記 補足]
Cの部分圏OCの射を開射〈open morphism〉と呼ぶことにします。開射が、だいたい開集合をシミュレートします。
- X∈Open(X) ←→ idX in OC
- ∈Open(X) ←→ (0→X) in OC
- U, V∈Open(X) ならば U∩V∈Open(X) ←→ (U→X), (V→X) in OC ならば (U∩V→X) in OC
- f:X→Y は連続、V∈Open(Y) ならば f-1(V)∈Open(X) ←→ f:X→Y in C, (V→Y) in OC ならば (f*(V)→X) in OC
開集合の集まりの合併が開集合になることは、被覆(次節)によりシミュレートします。
直和を持つ圏Cに、今述べた性質を持つ部分圏 OC を一緒にした構造 (C, OC) を開射を持つ圏〈category with opens〉と呼ぶことにします。多様体の圏Manに対して、次の性質を持つ射 u:U→M をを開射とみなすと、開射を持つ圏になります。
この条件は、「ビッグサイト微分幾何と自然変換の上付き添字」で述べた開埋め込みより弱くなっています(微分に対する非特異性は落としている)。
ひとつ注意: Manにおいて、直和 を作るとき、I がすごく大きな集合だと、直和が多様体とは認められなくなることがあります。対処として、添字集合の基数に制限を課すか、多様体の条件を緩めるかします。
被覆
C = (C, OC) (記号の乱用)を開射を持つ圏とします。Cの射の族 (ui:Ui→M | i∈I) が被覆〈cover | covering {family}?〉だとは次の条件を満たすことです。
- ui:Ui→M in OC
- ui 達のコタプル はエピ射
二番目の条件に直和 が出てくるので、Cで直和が作れることを要請していました。
(ui:Ui→M | i∈I) が被覆のとき、対象Mを被覆のターゲット〈target〉と呼びます。実際、成分である射達の共通のターゲット〈余域〉です。
対象 M∈|C| に対して、Mをターゲットとする被覆の全体を CovC(M) とします。混乱の恐れがなければ、下付きのCは省略してもいいとします。Cov(M) は小さい集合じゃないかも知れませんが、気にしないことにします。
Mを動かしたCov(M)の全体が、被覆系の公理を満たす必要があります。一般的な被覆系より、グロタンディーク・プレ位相のほうが使いやすいでの、グロタンディーク・プレ位相〈Grothendieck pretopology〉の定義をnLab(↓)から引用します。
被覆の圏
C = (C, OC) は引き続き開射を持つ圏とします。U = (Ui→M | i∈I) と V = (Vj→M | j∈J) を CovC(M) の要素である被覆とします。このとき、UからVへの細分〈refinement〉R を次のように定義します。
- R = (φ, r) で、φ:I→J は写像、r = (ri:Ui→Vφ(i) | i∈I) はCの射の族。
- Ui→Vφ(i) in OC
記号の乱用で、r = (φ, r) のようにも書きます。言葉は「細分」ですが、国語辞書的意味で「細分」になっているとは限らないので注意してください。
Mに対して、次のような圏 Cov[M] ができます。
細分の結合と恒等細分は、ありきたりの方法で定義できます。
f:M→N に対して、引き戻し安定性から、f*:Cov[N]→Cov[M] を定義できます。fによる被覆の引き戻し f* が、細分を細分に写し、細分の結合と恒等細分を保存するなら関手になります。実際に関手になるので、Cov[f] := f* と置くと、Cov[-]:C→CAT はインデックス付き圏になります。
インデックス付き圏にはグロタンディーク構成(「グロタンディーク構成と積分記号」参照)ができるので、圏Cに対する被覆の圏〈category of covers〉 Cover(C) を次のように定義します。
インデックス付き圏 Cov[-]:C→CAT と、そのグロタンディーク平坦化である Cover(C) により、圏C上に被覆構造が与えられます。つまり、Cはサイトになります*2。
巨大層へ
前節の手順で、開射を持つ圏Cをサイトに仕立てることができます。圏Manに適切な開射(からなる部分圏)を定義すれば、この手順を適用してサイトにできます。巨大サイトとしてのManですね。
Man上で定義される関手は、値をベクトル空間の圏/加群の圏/アーベル群の圏などに取ります。このようなタイプの関手(反変)が、巨大サイトMan上の層であることが分かれば、層に関する概念・手法を使えます。また、巨大サイト上の層を、特定の多様体M上のビッグサイト/リトルサイト上の層に“縮小”して使えます。
巨大層=巨大サイト上の層の定義と構成は次の機会に。
*1:親の圏と同じ対象類を持つ部分圏は、広い部分圏({broad, wide} category)といいます。広い部分圏の話は「包含付き圏:対象を集合っぽく扱うために」とか「骨格的な圏と圏の骨格」にあります。
*2:グロタンディーク・プレ位相を持つ段階で「サイトになっている」と言っていいでしょうが、CovC[-] や Cover(C) がサイトの基本ツールを提供します。