基底変換、なにそれ？ - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

某所で「『基底変換』という言葉は曖昧語だから、意味を確認してから使ってね」と言ったのですが、どのくらい曖昧かを述べます。

そもそも、基底の話じゃなくてフレームの話なので「フレーム変換」です。フレームのことも基底と呼ぶ習慣は一般的なのでしょうがないですね。せめてこの記事内では「フレーム変換」を使うことにします。昨日の記事「ベクトル空間の基底とフレームは違う」の内容は仮定します。

[追記]穏健かつ迎合的な用語法の案は「基底とフレーム、丸く収まる妥協案」参照。[/追記]

内容：

圏論の用語と記法
フレームの取り替え
フレーム変換行列
フレーム変換線形写像
群作用と主等質空間
ゲージ変換

圏論の用語と記法

次は、圏論の用語〈テクニカルターム〉です。ここで説明はしませんが使います。

射＝準同型射〈morphism = homomorphism〉
同型射〈isomorphism〉
自己射〈endomorphism〉
自己同型射〈automorphism〉

次の記号を使います。

IsoC(A, B) := {f∈C(A, B) | f は同型射}
EndC(A) := C(A, A)
AutC(A) := {f∈C(A, A) | f は同型射}

同型射と可逆射は同義語です。同型射には逆〈inverse〉が存在します。同型射 f の逆を f^-1 と書きますが、射が写像とは限らないので、f^-1 が逆写像を意味するとは限りません。が、f $\mapsto$ f^-1 という対応は、IsoC(A, B) → IsoC(B, A) という写像になるので、これを inv_A,B:IsoC(A, B) → IsoC(B, A) と書きます。次が成立します。

(inv_A,B)^-1 = inv_B,A

この等式の'^-1'は逆写像を意味します。この等式が何を主張しているかというと：

逆を取る写像の逆写像は、逆を取る写像だ。

“射の逆”は逆写像とは限りませんが、“射の逆を取る写像”は写像なので、その逆は逆写像（写像に関する逆）です。「にわにはにわうらにわにはにわにわとりがいます」みたいですが、冷静に考えれば分かるはずです。

フレームの取り替え

フレーム変換（今は意味不明な言葉）は、なにか2つのフレームに関係する概念でしょうから、まずは2つのフレーム φ, ψ∈Frame(V) を考えることになります。φとψは対等ではなくて、Before/Afterの区別があります。φが最初にあり、それをψに取り替える／取り替えた、ということを、順序対〈ordered pair〉(φ, ψ) で表しましょう。ペアの一番目がBefore、ペアの二番目がAfterです。

以上の解釈のもとで、順序対 (φ, ψ)∈Frame(V)×Frame(V) をフレームの取り替え〈change of frame〉と呼んでいいでしょう。

解釈 1：フレーム変換＝フレームの取り替え

フレームの取り替え（フレームの順序対）の集合 Frame(V)×Frame(V) に余離散圏〈codiscrete category〉の構造を入れたものを ChangeFrame(V) としましょう

Obj(ChangeFrame(V)) = |ChangeFrame(V)| := Frame(V)
Mor(ChangeFrame(V)) := Frame(V)×Frame(V)
dom((φ, ψ)) := φ, cod((φ, ψ)) := ψ
(φ, ψ), (ψ, ω)∈Mor(ChangeFrame(V)) に対して、(φ, ψ);(ψ, ω) := (φ, ω)
id_φ := (φ, φ)

この圏における結合と恒等射は：

φからψに取り替えて、その次にψからωに取り替えたら、φからωに取り替えたことになる。
φからφに取り替えることは、何もしてないことになる。

圏ChangeFrame(V)のすべての射は同型射、つまり可逆です。逆射は次のように与えられます。

(φ, ψ)^-1 := (ψ, φ)

フレーム変換行列

φ, ψ∈Frame(V), dim(V) = m だとすると、次の状況が作れます。（使っている記号は「ベクトル空間の基底とフレームは違う」参照。）

$\require{AMScd} \begin{CD} {\bf R}^m @>{\phi^\wedge}>> V \\ @| @| \\ {\bf R}^m @>{\psi^\wedge}>> V \end{CD}$

$a := \psi^\wedge ; (\phi^\wedge)^{-1}$ と置けば、次の図式が可換になります。

$\begin{CD} {\bf R}^m @>{\phi^\wedge}>> V \\ @A{a}AA @| \\ {\bf R}^m @>{\psi^\wedge}>> V \end{CD} \\ \:\\ \mbox{commutative in }{\bf FdVect} \\ \mbox{where }a := \psi^\wedge ; (\phi^\wedge)^{-1}$

「ベクトル空間の基底とフレームは違う」で述べたように、フレームから誘導される線形写像は同型射なので逆が取れます。a:R^m → R^m も同型射となるので、a∈AutFdVect(R^m) です。次が成立するのは明らかでしょう。

$a ; \phi^\wedge = \psi^\wedge$

あるいは反図式順で、

$\psi^\wedge = \phi^\wedge \circ a$

数ベクトル空間の線形自己同型射aは、フレームφに（ほんとは「φ^∧に」）前結合〈precompose〉*1することにより新しいフレームψを作り出します。

「ベクトル空間の基底とフレームは違う」で述べたホムセット間の同型写像

$mat:{\bf FdVect}({\bf R}^m, {\bf R}^m) \to \mathrm{Mat}(m, m) \: \mbox{ in }{\bf Set}$

を使って、A := mat(a) と置けば、Aは「フレームφをフレームψに変換する行列」と言っていいでしょう。この言い方で、フレームφと線形同型写像φ^∧を混同してますが、同型 Frame(V) $\cong$ IsoFdVect(R^m, V) があるのでいいとしましょう。行列Aと線形写像aも多くの場合同一視されるので、数ベクトル空間のあいだの線形写像aも「フレームφをフレームψに変換する行列」でいいと思います。（色々な同一視を許容しています。）

解釈 2：フレーム変換＝フレーム変換行列

このときの“変換”は、前結合で遂行されることに注意してください。

フレーム変換線形写像

前節と同じ状況から出発します。

$\require{AMScd} \begin{CD} {\bf R}^m @>{\phi^\wedge}>> V \\ @| @| \\ {\bf R}^m @>{\psi^\wedge}>> V \end{CD}$

$f := (\phi^\wedge)^{-1} ; \psi^\wedge$ と置けば、次の図式が可換になります。

$\begin{CD} {\bf R}^m @>{\phi^\wedge}>> V \\ @| @VV{f}V \\ {\bf R}^m @>{\psi^\wedge}>> V \end{CD} \\ \:\\ \mbox{commutative in }{\bf FdVect} \\ \mbox{where }f := (\phi^\wedge)^{-1} ; \psi^\wedge$

次が成立します。

$\phi^\wedge ; f = \psi^\wedge$

あるいは反図式順で、

$\psi^\wedge = f \circ \phi^\wedge$

ベクトル空間Vの線形自己同型射fは、フレームφに（ほんとは「φ^∧に」）後結合〈postcompose〉することにより新しいフレームψを作り出します。よって、fは「フレームφをフレームψに変換する線形写像」と言っていいでしょう。もっとも、前節のaだって線形写像ではあるので、適切に区別はできていませんが。

解釈 3：フレーム変換＝フレーム変換線形写像

このときの“変換”は、後結合で遂行されることに注意してください。

群作用と主等質空間

前節と前々節では、2つのフレーム φ, ψ∈Frame(V) （順序に意味あり）が先にあり、それらを繋ぐ変換行列a、または変換線形写像fを求める話でした。今度は、可逆行列または線形同型により、色々なフレームを色々と変換してみる話をします。一般的な枠組みとしては、群作用（群の、集合への作用）を使います。

G = (G, ・, e, ^-1) （記号の乱用）が群、Sが集合とします。写像 α:G×S → S が次を満たすとき左群作用〈left group action〉といいます。

For x, y∈G, s∈S, α(x, α(y, s)) = α(x・y, s)
For s∈S, α(e, s) = s

同様に、写像 β:S×G → S が次を満たすとき右群作用〈right group action〉です。

For x, y∈G, s∈S, β(β(s, x), y) = α(s, x・y)
For s∈S, β(s, e) = s

左作用／右作用は、なにか中置演算子記号で書かれるのが普通です。群乗法と同じ記号が使わることもあります（混乱します）。ここでは前置関数記法のままにするので、見づらかったら中置演算子記法に各自書き換えてください。

あーっ、ここで困ったことが ‥‥；結合の図式順／反図式順により作用の左右も変わってしまうのです。でもどっちかを選ぶしかないです。図式順にします。反図式順がメジャーなので、多数派とは左右が逆になりますが、しょうがない。

AutFdVect(Rⁿ) と AutFdVect(V) は、どちらも群になります。群の演算は射（実体は線形写像）の結合ですが、図式順記号';'で書きます。群が作用する集合はFrame(V)です。

群 AutFdVect(R^m) = (AutFdVect(R^m), ;, id = id_Rⁿ, ^-1) による集合Frame(V)への左作用αと、群 AutFdVect(V) = (AutFdVect(V), ;, id = id_V, ^-1) による集合Frame(V)への右作用βを次のように定義します。

For a∈AutFdVect(R^m), φ∈Frame(V), α(a, φ) := (a;φ^∧)_∨
For f∈AutFdVect(V), φ∈Frame(V), β(φ, f) := (φ^∧;f)_∨

Frame(V) ←→ IsoFdVect(R^m, V) を行ったり来たりするために (-)^∧, (-)_∨ を使っています。行ったり来たりが面倒なら、IsoFdVect(R^m, V)だけを使うテがあります。あるいは、Frame(V)とIsoFdVect(R^m, V)を同一視して扱うこともあります。Frame(V) $\cong$ IsoFdVect(R^m, V) なので、同一視は許せるでしょう。ただし、同一視に同一視を重ねると、何が何だか分からなくなります。「簡潔＆曖昧 v.s. 煩雑＆明確」のトレードオフなんです。

群AutFdVect(R^m) とm次正則行列〈可逆行列〉の群を同一視すれば、行列群がFrame(V)に左から作用しているとみていいことになりますが、行列の掛け算が反図式順なので、そのままでは記法的には破綻します。A;B := BA と定義して';'を群乗法にすれば左作用と整合します。左右の問題は至るところに顔を出しては小さな悪さをします -- もうウンザリだよ。

さて、今定義した左作用αと右作用βは特筆すべき特徴を持ちます。それは：

任意の2つのフレーム φ, ψ∈Frame(V) に対して、α(a, φ) = ψ となる a∈AutFdVect(R^m) が一意的に存在する。
任意の2つのフレーム φ, ψ∈Frame(V) に対して、β(φ, f) = ψ となる f∈AutFdVect(V) が一意的に存在する。

このような性質を持つ群作用を主等質空間〈principal homogeneous space〉と呼びます。今は、Frame(V)に位相や幾何的構造を考えてないので、主等質集合が適切でしょうが、あんまりそう言わないので“主等質空間”にしておきます。「群作用が主等質空間である」は国語的には変な文なので、なんか修正（例えば、「‥‥である群作用を持つ空間が主等質空間である」）が必要でしょうが、僕はどうでもいいので好きに塩梅してください。

ともかく、フレームとフレーム変換の全体は、左主等質空間と右主等質空間（どっちが左でどっちが右かは場合によりけり）の構造を持ちます（持たせることができます）。

一般に、左または右主等質空間から圏を作れます*2。右主等質空間のほうが少し楽に作れますね（左右のひっくり返しが不要なので）。(G, S, β) が右主等質空間だとして、それから作られた圏をCとすると：

Obj(C) = |C| := S
Mor(C) := {(s, x, t)∈S×G×S | β(s, x) = t}
dom((s, x, t)) := s, cod((s, x, t)) := t,
(s, x, t), (t, y, u)∈Mor(C) に対して、(s, x, t);(t, y, u) := (s, x・y, u)
id_s := (s, e, s)

右主等質空間 (AutFdVect(V), Frame(V), β) から上記の手順で作られた圏は、最初の節で述べた圏 ChangeFrame(V) と圏同型になります。左主等質空間 (AutFdVect(R^m), Frame(V), α) から作られた圏も左右の順序を細工すれば ChangeFrame(V) と圏同型になります。ややこしくなるのは、左右の順番が何度か入れ替わるからです -- 記法の違いで入れ替わるときと、構造の違いで入れ替わるときがあります。

ゲージ変換

この節は、ついでのオマケです。手短に雑な説明で済ませます。

Frame(V) $\cong$ IsoFdVect(R^m, V) という同型があったので、Frame(V) と IsoFdVect(R^m, V) を同一視することがあります。つまり、IsoFdVect(R^m, V) の要素もフレームと呼ぶことがあります。それとは別に次の同型もあります。

IsoFdVect(R^m, V) $\cong$ IsoFdVect(V, R^m)

同型は、inv_R^m,V（左から右）と (inv_R^m,V)^-1 = inv_V,R^m（右から左）で与えられます。この同型による同一視（あるいは意図的混同）はけっこう行われている気がしますが、だいぶ辛い。同一視はやめたほうがいいです。

IsoFdVect(V, R^m) の要素はフレームと呼ばずにゲージ〈gauge〉と呼びましょう。この呼び名は、ゲージ理論の意味の「ゲージ」と整合します*3。フレーム変換の解釈がいくつか（この記事では三種類）あったので、ゲージ変換の解釈もいくつかあります。フレームとゲージの違いは写像の向きだけなので、話は同様です。同様なんですが、向きの違いが引き起こす微妙な違いはあります。僕は微妙な違いにウンザリなので、皆さん調べてみてください（興味があれば）。

*1:「左右」の代わりに「前後」を使えば、図式順でも反図式順でも違和感ない用語になります。

*2:群作用、より一般にはモノイド作用から圏を作れます。

*3:「線形代数の発展を一枚の絵にしてみた」の絵でいえば、ベクトル空間におけるゲージをベクトルバンドルにおいて考えたものがゲージ理論のゲージです。