圏論的線形代数とフレームの話 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

某所で圏論的線形代数の話をしたのですが、いきなり圏論バキバキでは面食らうだろうと思い、次のような方針にしました。

慣用の用語・記法は尊重する。
部分集合という概念を使う。
有限次元ベクトル空間に限定する。
忘却関手を強調しない。

これは、常識的かつ穏健な態度だと思います。

しかし、言い方を換えれば中途半端な態度です。中途半端にはやはり弊害があります。この記事では、以下の方針に基づいて圏論的線形代数の一部をまとめ直して、「丸く収まらなかった基底とフレーム」で述べた「フレーム」の解釈を再論します。

この記事の方針：

慣用の用語・記法は尊重しない。
部分集合という概念を使わない。
有限次元ベクトル空間に限定しない。
忘却関手を強調する。

内容：

準備と注意
FreeVectとUndの随伴性
写像の独立性、生成性、基底性
多義語「フレーム」の解釈

続き：圏論的線形代数をもう少し：自由ベクトル空間の圏

準備と注意

ベクトル空間の係数体〈スカラー体 | 基礎体〉は実数体Rに固定して、以下、係数体には言及しません。ベクトル空間と線形写像の圏をVectとします。Setは集合圏です。

集合圏とベクトル空間の圏のホムセットを、次のようにも書きます。

For A, B∈|Set|, Map(A, B) := Set(A, B)
For V, W∈|Vect|, LinMap(V, W) := Vect(V, W)

次のような記号の乱用〈abuse of notation〉は非常によく使われます。

ベクトル空間 V = (V, +, ・) ←これは記号の乱用

ベクトル空間Vとその台集合〈underlying set〉を同じ記号で表しています。'+'は足し算ですが、ベクトル空間ごとに足し算記号を区別すること（例えば、'+_V' と書く）はほぼありません。'・'はスカラー倍のつもりですが、この演算子記号はほとんど常に省略され、併置で代用されます。

記号 '+', '・' のオーバーロード（多義的使用）と '・' の省略は、まー許すとして、ベクトル空間とその台集合の同一視はやめます。次のように書きます。

ベクトル空間 V = (Und(V), +, ・)

'Und'は underlying set/map の最初の3文字です。Und(V) を V と書くこともあります。これは、underlying と underline をかけた駄洒落記法です。

線形写像 f:V → W in Vect を、単なる写像とみなしたものは、Und(f):Und(V) → Und(W) in Set と書き、台写像〈underlying map〉といいます（[追記]台写像については、「忘却関手は難しい」に書いています。[/追記]）。ベクトル空間と線形写像に対して定義された Und(-) は関手になります。

Und:Vect → Set

このUndが忘却関手〈forgetful functor〉です。

集合Aから自由ベクトル空間を生成する関手を FreeVect とします。

FreeVect:Set → Vect

与えられた集合Aから自由ベクトル空間を作る方法はいくつかありますが、Aの要素の形式的線形結合〈形式的一次結合 | formal linear combination〉の全体を台集合にする方法を採用しましょう。足し算とスカラー倍の定義は自明でしょう。

足し算とスカラー倍が自明なので、ついつい、「形式的線形結合の集合」と「それに足し算とスカラー倍を一緒にしたベクトル空間」を同一視してしまいがちです。圏論的に線形代数をやろうとすると、この同一視が落とし穴になります。同一視しちゃダメです。

Aからの形式的線形結合の集合（単なる集合！）のほうを LinComb(A) と書くことにして、自由ベクトル空間は次のように書きます。

FreeVect(A) := (LinComb(A), +, ・)

LinComb(A)∈|Set|, FreeVect(A)∈|Vect| なので、LinComb(A) と FreeVect(A) は所属する圏（生息地＝アビタ）が違います。忘却関手を使って書けば：

Und(FreeVect(A)) = LinComb(A) in Set

FreeVectとUndの随伴性

関手 FreeVect:Set → Vect, Und:Vect → Set は随伴関手ペアです。もっと正確な言い方をすると、FreeVectとUndを構成素とする規準的〈canonical〉な随伴系が存在します。

FreeVectとUndが随伴関手ペアであることは、次のホムセット同型により記述できます。

For A∈|Set|, V∈|Vect|
Vect(FreeVect(A), V) $\stackrel{\sim}{=}$ Set(A, Und(V))

注意すべきは、このホムセット同型の族（AとVでインデックスされた族）が自然同型〈可逆自然変換〉になっていることです。が、今ここではあまり拘らないことにします。随伴に関する詳細は次の記事で解説しています。

圏論の随伴をちゃんと抑えよう

随伴関手ペア（正確には随伴系）のホムセット同型を与える写像に名前を付けておきます。

For A∈|Set|, V∈|Vect|
- linRestrict_A,V:Vect(FreeVect(A), V) → Set(A, Und(V))
- linExt_A,V:Set(A, Und(V)) → Vect(FreeVect(A), V)

linRestrict, linExt は次のように定義されます。

linRestrict_A,V := λf∈LinMap(FreeVect(A), V).(linEmbed_A;f)
- linEmbed_A := λa∈A.([a])
  [a] は、要素aに対応する形式的線形結合の“単項式”あるいは“形式的シンボル”
linExt_A,V := λψ∈Map(A, Und(V)).(λx∈LinComb(A).(Σ x_aψ(a)))

λx∈LinComb(A).(Σ x_aψ(a)) の部分をもっと詳しく丁寧に書けば：

$\lambda\, (x = \stackrel{\scriptsize formal}{\sum}_{a \in A}x_a\cdot [a]) \in LinComb(A).(\\ \:\:\:\: \stackrel{\scriptsize actual}{\sum}_{a \in A} x_a \cdot \psi(a) \\)$

ここで、 $\stackrel{\scriptsize formal}{\sum}$ は形式的和（ナカグロのスカラー倍も形式的スカラー倍）、一方の $\stackrel{\scriptsize actual}{\sum}$ はベクトル空間内の実際の和（ナカグロのスカラー倍も実際のスカラー倍）です。Aが無限集合でも、和は有限和です。

linExtは、集合のあいだの写像 ψ:A → Und(V) を線形写像に拡張する働きを持つ関数（プログラミング的に言えば総称高階関数）です。次の略記（右肩にニョロ）を導入します。

ψ^~ := linExt_A,V(ψ)

略記だと、linExt_A,V の下付き添字の情報は落ちます。「短く書ける ←→ 情報が落ちて曖昧になる」がトレードオフの関係にあります。

写像の独立性、生成性、基底性

通常の線形代数では、ベクトル空間Vの台集合の部分集合 A⊆Und(V) に対して、「Aが線形独立である／Aが生成系である／Aが基底である」という概念を定義します。台集合の部分集合という概念を圏論的に扱うときは、包含写像 incl^Und(V)_A:A → Und(V) in Set に置き換えて考えるのが定石です。

今ここでは、「線形独立である／生成系である／基底である」という概念を、部分集合ではなくて写像に対して定義して、その特別な場合として包含写像が「線形独立である／生成系である／基底である」状況を考えることにします。

線形代数の話をしている文脈では、線形独立を単に独立ということにして、形容詞と名詞化された形容詞（性質の名前）を次のように決めます。

形容詞	名詞化された形容詞
独立{な}?〈independent〉	独立性〈independence \| independency〉
生成{的}?〈generative \| generating〉	生成性〈generativeness \| generating property〉
基底{的}?〈basis〉	基底性〈basis property〉

basis は名詞ですが、無理にでも形容詞として使います -- 慣用の用語・記法は尊重しないし、なんなら、自然言語としての正書法も尊重しない方針なので。

形容詞である「独立／生成的／基底的」は、部分集合ではなくて写像にかかります。

ψ:A → Und(V) in Set が独立 :⇔ ψ^~:FreeVect(A) → V in Vect が単射
ψ:A → Und(V) in Set が生成的 :⇔ ψ^~:FreeVect(A) → V in Vect が全射
ψ:A → Und(V) in Set が基底的 :⇔ ψ^~:FreeVect(A) → V in Vect が全単射〈双射〉

より圏論的言葉づかいをしたいなら、「単射／全射／全単射」は「モノ射／エピ射／同型射」といいます。

「独立／生成的／基底的」な写像からなる集合を次のように定義します。

IndepMap(A, V) := {ψ∈Map(A, Und(V)) | ψは独立}
GenMap(A, V) := {ψ∈Map(A, Und(V)) | ψは生成的}
BasisMap(A, V) := {ψ∈Map(A, Und(V)) | ψは基底的}

「独立／生成的／基底的」をベクトル空間の台集合の部分集合に対して使いたいときは：

A⊆Und(V) が独立 :⇔ incl^Und(V)_A:A → Und(V) in Set が独立
A⊆Und(V) が生成的 :⇔ incl^Und(V)_A:A → Und(V) in Set が生成的
A⊆Und(V) が基底的 :⇔ incl^Und(V)_A:A → Und(V) in Set が基底的

多義語「フレーム」の解釈

フレーム〈frame | 標構〉に関しては、次の記事で議論しています。

過去記事のタイトルを見てだいたい分かるように、「基底」「フレーム」という言葉の色々な解釈の妥協案を探したがうまくいかなかった、という経緯があります。

うまくいかないのも致し方ないかも知れません。現時点での僕の認識だと、「フレーム」と呼ばれる可能性がある写像が8種類、「フレーム」と呼ばれる可能性がある集合が4種類、合計で10種類あります。10種類の意味に全部別な語を割り当てるのも無理だし、文脈からどの意味かを判断するのも難しいでしょう。

有限次元ベクトル空間に関して「フレーム」と呼ばれる可能性がある8種類の写像を一覧表で列挙しましょう。表内で使われている言葉と記号は次のとおりです。

V は有限次元ベクトル空間で、dim(V) = m 。
I と A は有限集合で、その基数〈cardinality〉は k, m 、 k ≦ m 。
InjLinMap は、ベクトル空間のあいだの単射線形写像の全体を表す。
IsoLinMap は、ベクトル空間のあいだの全単射〈同型な〉線形写像の全体を表す。
インデックス付けとは、任意の単射写像 I → Und(V) 。
番号付けとは、集合 I が番号の集合であるインデックス付け。
以下の表の欄には集合（写像の集合）が書き込んであり、その集合の要素（写像）が「フレーム」と呼ばれる可能性がある。

一覧表：

	一般的な単射	基底的な単射
一般的インデックス付け	IndepMap(I, V)	BasisMap(A, V)
番号付け（特別なインデックス付け）	IndepMap({1, ..., k}, V)	BasisMap({1, ..., m}, V)
インデックス付けの線形拡張	InjLinMap(FreeVect(I), V)	IsoLinMap(FreeVect(A), V)
番号付けの線形拡張	InjLinMap(FreeVect({1, ..., k}), V)	IsoLinMap(FreeVect({1, ..., m), V)

次に「フレーム」と呼ばれる可能性がある4種類の集合の一覧表です。いずれも、上の表の写像の像〈image〉となる集合です。欄には“集合の集合”が書き込んであり、その“集合の集合”の要素（集合）が「フレーム」と呼ばれる可能性があります。Pow はベキ集合を表します。

一覧表：

	一般的な単射の像	基底的な単射の像
インデックス付け	{ψ(I)∈Pow(Und(V)) \| ψ∈IndepMap(I, V)}	{ψ(A)∈Pow(Und(V)) \| ψ∈BasisMap(A, V)}
番号付け	{ψ({1, ..., k})∈Pow(Und(V)) \| ψ∈IndepMap({1, ..., k}, V)}	{ψ({1, ..., m})∈Pow(Und(V)) \| ψ∈BasisMap({1, ..., m}, V)

続き：圏論的線形代数をもう少し：自由ベクトル空間の圏