有法則代数と無法則代数 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

$\newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\id}{\mathrm{id} } \newcommand{\In}{\text{ in } }$ 「圏論的レンズ最初の一歩：ストリング図を中心に」において、レンズには有法則レンズ〈lawful lens〉と無法則レンズ〈lawless lens〉があると書きました。「有法則／無法則」という形容詞を使うのは初めて見ました（レンズ以外で見たことがなかった）。

この「有法則／無法則」、他でも使えますね。曖昧多義語の解決に役立ちそう。けっこう困っていたのは、自己関手の「代数〈algebra〉」という言葉です。

用法その1：自己関手 $F:\cat{C}\to \cat{C}$ に対して、 $a: F(A) \to A \In \cat{C}$ をFの代数と呼ぶ。
用法その2：モナド $F = (F, \mu, \eta)/\cat{C}$ に対して、そのアイレンベルク／ムーア代数をFの代数と呼ぶ。

用法その1の“代数”は単なる射ですが、用法その2の“代数”は次の法則（図式の可換性）を満たします。

$\require{AMScd} \begin{CD} F(F(A)) @>{\mu_A}>> F(A) \\ @V{F(a)}VV @VV{a}V\\ F(A) @>{a}>> A \end{CD}\\ \:\\ \begin{CD} A @>{\eta_A}>> F(A) \\ @| @VV{a}V \\ A @= A \end{CD}\\ \text{commutative in }\cat{C}$

用法その1の“代数”を無法則代数〈lawless algebra〉、用法その2の“代数”を有法則代数〈lawful algebra〉とすれば区別できます。単なる「代数」をどう解釈するかは文脈ごとのデフォルトルールで決めます。

個人的には、用法その2のアイレンベルク／ムーア代数を単に“代数”と呼び、用法その1の“代数”はマグマ（ $F$ -マグマ）と呼ぶことにしてた時期がありますが、ほとんどの人々が「代数」を使っているので社会的不適合が生じます。「代数」に形容詞「有法則／無法則」付けるほうが社会的適合性がある気がします。