酒井さんのコメントに対して、
{true, false}と{0, 1}の対応でも、ほとんどの場合trueを1にしますが、trueを0にしたほうが計算がスムーズな状況もあります。
なんて応えたわけですが、これでフト思い出したことがあります。
以前、「イデアルと論理」つうネタでいくつかのエントリーを書いたことがあるのですが(「はてなブックマーク - ideal+logicに関するm-hiyama-taxonのブックマーク」参照)、中途半端にうっちゃってあるなー、ダハハハ。
未完(永久にか? ^^;)の「イデアルと論理」シリーズの最初のほうでは、普通の(つまり、可換環の)イデアルを紹介してますが、最終的には論理の(つまり、ブール代数の)イデアルに結びつけようと思っていたわけです。で、「どうやって結びつけるのか」という筋書きは今日説明しようかな、っと。(とはいえ、基本的に自分の備忘用ですけど。)
ある程度の予備知識を仮定します、アシカラズ。しかし、計算は初等的運算(rudimentary calculation)だけで済みます。可換環と圏について多少(?)ご存知の方には、割といい練習になるかと思います -- それが、メモ編でなくてこの本編に書いた理由です。いちばん最後で、「trueを0にしたほうが計算がスムーズな状況」の説明もします。
記法の約束として、圏Cの対象(objects; Obj(C))を|C|のように書くことにします。その他、圏論の普通の記法は使います。
※ 僕の計算や推論が間違っていたら教えてください。
内容:
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乗法的ベキ等可換環とその圏
CRを単位付き可換環(Commutative Ring with unit)の圏とします。法則 xx = x (乗法のベキ等律;Multiplicative Idempotency)を満たす可換環を乗法的ベキ等可換環と呼び、その圏をMICRとします。|MICR|⊆|CR|、つまり「乗法的ベキ等可換環は可換環である」は自明です。R, S∈|MICR|に対して、MICRのホムセットHomMICR(R, S) = MICR(R, S)は、CR(R, S)と同じとしてかまいません; これは、f:R→Sという単なる可換環の射(乗法的ベキ等性は特に気にしない)をMICR内でも射にすることです。というわけで、MICRはCRの充満部分圏です。
ベキ等性から (1 + x) = (1 + x)(1 + x) なので、右辺を展開して(再度 xx = xも使って) x + x = 0 を得ます。これより、「1 + 1 = 2 = 0」「-1 = 1」とかも成立します(ちょっとエキゾチックよ!)。
MICRのなかで整域*1がどんなものか調べておきます。まず、x(1 - x) = 0 はMICR(の対象=乗法的ベキ等可換環)のなかでは常に成立することに注意しましょう。Rが整域だとして、x∈R、x≠0 と仮定します。恒等式 x(1 - x) = 0 と仮定 x≠0 と、それからRが整域であること(零因子がないこと)から、1 - x = 0、つまり x = 1。結局、Rが整域なら、x≠0 ⇒ x = 1 なので、Rの元xとは、x = 0 または x = 1。整域Rは{0, 1}になります。
MICRのなかの整域が{0, 1}に限ることが分かりました。{0, 1}が可換体であることは直接的に明らかであり、体は整域であることから、MICRのなかの体も{0, 1}だけです。乗法的ベキ等可換環としての{0, 1}をBと記すことにすると、任意のR∈|MICR|に対して f:B→R は、f(0B) = 0R, f(1B) = 1Rで一意的に決まってしまうので、BはMICRの始対象です。0 = 1 である“つぶれた環”を除外すれば、B→R は埋め込みになり、(つぶれた環を除いた)すべての乗法的ベキ等可換環RはBを部分環として含みます。ちなみに、”つぶれた環”はMICRの終対象です。
可換環の教科書的一般論から、可換環RのイデアルIがRの極大イデアルならR/Iは体になり、Iが素イデアルならR/Iは整域になります。ところが、MICR内では体も整域もBしかないので、MICRでは「極大イデアル=素イデアル」が成立します。したがって、極大スペクトルと素スペクトルは区別する必要がないので、単にスペクトル(Spec(R))と呼びましょう。
ブール代数とその圏
ブール代数を補(コンプリメント)を持つ束として定式化して、演算記号として∨、∧、¬を使い、最大元、最小元はT, ⊥で表します。順序と演算の関係は、x ≦ y ⇔ x∨y = y ⇔ x∧y = x 。⊥∨x = x、T∧x = x から、⊥≦x、x≦T ですね。ブール代数(ブール束)の完全な定義(公理の等式群)はけっこうな量ですが、以下に列挙します。
∨に関して可換ベキ等モノイド:
- (x ∨ y)∨ z = x ∨(y ∨ z)
- x∨⊥ = ⊥∨x = x
- x ∨ y = y ∨ x
- x ∨ x = x
∧に関して可換ベキ等モノイド:
- (x ∧ y)∧ z = x ∧(y ∧ z)
- x∧T = T∧x = x
- x ∧ y = y ∧ x
- x ∧ x = x
∧と∨の関係:
- (x ∨ y)∧ z = (x ∧ z)∨(y ∧ z) (分配律1)
- (x ∧ y)∨ z = (x ∨ z)∧(y ∨ z) (分配律2)
- (x ∨ y)∧ x = x (吸収律1)
- (x ∧ y)∨ x = x (吸収律2)
¬の特性:
- x ∧ ¬x = ⊥
- x ∨ ¬x = T
補を持つ束として定義したブール代数の圏をBLとします、'BL'の'L'はlatticeから。BLの射は、演算∨、∧、¬を保存する写像として定義します(少し冗長だけど、形が整っているからこの定義がいいと思う)。f:A→BがBLの射のとき、f(⊥A) = ⊥B、f(TA) = TBとかは¬があるので導出できます。
Aがブール代数のとき、F⊆Aがフィルターであるとは、
- T∈F
- a∈F, a≦x ならば x∈F、つまりFは上方閉(upper closed)である。
- a, b∈F ならば a∧b∈F、つまりミート∧に関して閉じている。
ちなみに、フィルターの双対概念として束のイデアルがあります。束では、双対原理が働くので、フィルターとイデアルは事実上同じようなもんです。
ブール代数AのフィルターFがF≠Aであって、ギリギリまで膨らんでいるとき、つまり、何かを足すとAになってしまうとき極大フィルターと呼びます。
乗法的ベキ等可換環からブール代数を作る
可換環の圏の充満部分圏として定義したMICRと、束論的に定義したBLですが、この2つの圏は同型(当然に圏同値)になります。同型を与える関手の定義はいくつかありますが、その1つを具体的に作ってみます。
ここでの注意点は、台集合(underlying set, carrier)が同じでも、演算が違えば異なる代数構造となることです。目的の関手は、同じ台集合に別な演算を定義することで構成されます。
先に、MICR→BL方向の関手から定義します。R∈|MICR|(つまり、Rは乗法的ベキ等可換環)に対して、同じ台集合上に、演算∨、∧、¬と定数⊥、Tを次のように定義します。
- x∨y := xy
- ⊥ := 1
- x∧y := x + y + xy
- T := 0
- ¬x := 1 + x
こうして定義した∨、∧、¬、⊥、Tが、先に列挙したブール代数の等式群を満たすことを示すには、愚直にrudimentary calculationを実行してください(実際の計算)。
Rと同じ台集合(仮に[R]と書く)上に定義したブール代数([R], ∨、∧、¬、⊥、T)をΩ(R)と書くことにすると、愚直な計算結果からΩ(R)∈|BL|がわかります。MICRの射、つまり環の準同型f:R→Sが、ブール代数の射Ω(f):Ω(R)→Ω(S)をうまい具合に導くのも容易に示せます(やってみてください)。よって、Ω:MICR→BLは関手です。
MICRとBLは同型
逆方向の関手Ψ:BL→MICRは次の定義をもとに組み立てます。(MICRでは、x + x = 0 から x = -x なので、単項演算としての-を定義する必要はありません。)
- xy = x・y := x∨y
- 1 := ⊥
- x + y := (x∧y)∨(¬x∧¬y) = (x∨¬y)∧(¬x∨y)
- 0 := T
A∈|BL|に対して、Ψ(A)は([A], +, ・, 0, 1)で定義される代数系とします。これまたひたすら単純計算をすれば、Ψ(A)が乗法的ベキ等可換環となること、f:A→BがMICRの射Ψ(f):Ψ(A)→Ψ(B)をうまく導くことを確認できます(実際の計算)。よって、Ψ:BL→MICRは関手となります。
ここで再び注意しておくと、関手ΩもΨも台集合に関しては恒等写像です。別な言い方をすると、圏Setへの忘却関手をU:MICR→Set、U':BL→Setとすると、Ω;U' = U、Ψ;U = U' となります。
そういう事情で、Ω;Ψ = IdMICR, Ψ;Ω = IdBLを示すとは、同じ台集合上で作業して、「可換環から束を定義して、その束から可換環を定義したら元に戻った」と「束から可換環を定義して、その可換環から束を定義したら元に戻った」の両者を示すことになります。これも、紙と鉛筆と手で単純計算あるのみ(実際の計算)。
というわけで、具体的に構成された関手の組Ω、ΨによりMICRとBLは同型な圏になります。
ストーンの表現定理とか
MICRとBLが同型(圏同値で十分だが)であることがわかると何がうれしいかというと、可換環論の結果と束論の結果を互いに翻訳できることです。なかでも、イデアルとフィルターの対応が面白い。
関手ΩとΨの作り方から、MICRのイデアル概念とBLのフィルター概念が対応します。もっとハッキリいうと、同じ台集合上で考えて、可換環のイデアル達と束のフィルター達は同じ部分集合族になります。よって、可換環の極大イデアル(MICRでは素イデアルでもある)を集めたSpec(R)は、BLで考えれば極大フィルターを集めたものです。
ブール代数(束)の極大フィルター達に適当な位相を入れた空間がストーンの表現空間です。この位相の入れ方をMICR上に移して追いかけてみると、なんのことはない、スペクトルへの標準位相(抽象的ザリスキー位相)ですね。これは驚くことではなくて(僕は驚いたのだけど)、スペクトルの作り方はストーン(Stone)やゲルファンド(Gelfand)の表現定理をお手本にしたのでしょう、たぶん。
ブール代数Aのストーン表現空間をStone(A)と書くことにすると、Stone:BL→Topという関手(Topは位相空間の圏)になります、つうか、そうできます。Specも同様にMICR→Topの関手を与えますが、先のΩとΨを使えば、Ω;Stone = Spec、Ψ;Spec = Stone です(可換図式書いてミソ)。関手Stoneの(したがって関手Specの)像となっている空間はうまく識別できてブール空間と呼ばれています。ブール代数は(したがって乗法的ベキ等可換環は)、ブール空間上で{T, ⊥}({0, 1})の値をとる連続関数が作る関数環として(up to isoで)再現できます。
ブール空間の圏(Topの部分圏)をBSとすると、結局、MICR, BL, BSの3つの圏は事実上同じものなのです(正確に言えば、圏同値)。面白いのは、MICR, BL, BSを含むより大きな圏が、CR(可換環の圏)、Latt(束の圏)、Top(位相空間の圏)という性格を異にする圏なのに、完全に重なる部分圏を持つことです。なんか深遠な背景があるんでしょうか?
論理に戻ると
古典論理の形式的体系(証明系)からそのリンデンバウム代数を作るとブール代数になります。そして、形式的体系におけるセオリー(定理集合)は、対応するブール代数のフィルターに対応します。矛盾するセオリー(すべての命題を定理にしてしまった定理集合)は最大のフィルターとなり、論理的真しか認めないセオリー(トートロジーだけを定理とする定理集合)が最小のフィルターへと対応しますね。
古典論理の形式的体系(証明系)からリンデンバウム代数を作る構成を関手と考えて、Lind:CL→BLとしましょう(CLはClassical Logicから)。CLとLindはうまく定義できると仮定します(実際できます)。Lind;Stone という関手(リンデンバウム代数構成とストーン空間構成の結合)は、形式的体系にブール空間を対応させます。セオリーとフィルターの対応を経由して、セオリーとブール空間内の図形(部分空間、clopen set)が対応します。矛盾セオリーは空集合、トートロジー・セオリーは全空間。そして、矛盾しない極大なセオリーが1点(からなる図形)に対応します。
とまー、こんな感じで論理(形式的体系)と位相(ストーン表現空間、あるいは可換環のスペクトル)の翻訳を進めることができます。すると、古典論理のコンパクト性定理は、実際に位相的コンパクト性を主張していることがわかるし、ヒルベルトの零点定理の論理における対応物は何か?とかの問題設定もできます。
Tを0に対応させたわけ
関手Ω:MICR→BL、Ψ:BL→MICRによる対応では、束の最大元(または論理のtrue)が可換環の零に対応するのですが、なぜそう定義したかというと; 方程式 f(x) = 0 で定義される図形を代数幾何(algebraic geometry)の記法でV(f)と書いたりするのですが、僕はこのV(f)を、「命題fを公理とする(つまり、fで生成される)セオリー」と解釈したかったのです。なんやかんやゴニョゴニョで結局、Tを0と解釈したほうが具合が良いことになります。
でも実は、Tを1に対応させることも出来て、そのほうが関手の構成は直観的で楽だったりします。
- x∨y := x + y + xy
- ⊥ := 0
- x∧y = xy
- T := 1
- ¬x := 1 + x
ブッチャケ、別にどっちでもよかったんですよね。だけど f(x) = 0 と f(x) = 1 を比べたとき、右辺が0のほうが気分がいい、と、主にこの理由でこだわってしまったんです。やっぱり、向きや符号のハナシは趣味的だな。
蛇足
この話題/素材は僕のお気に入りなのだけど、なぜかと言えば: