パズルのネタ元と答：ぬあんと、コンヌ御大 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

この2つの記事のネタ元と答をバラします。次の論文です。

題名: Characteristic 1, entropy and the absolute point
URL: http://www.alainconnes.org/docs/Jamifine.pdf

著者（共著）はアラン・コンヌ（Alain Connes）です。すごくえらい人には敬称が付けにくいので、原則「コンヌ」と記しますが、敬称を付けるときは「御大」ということで。

Characteristic 1, entropy and the absolute point について書きたいことはまだあるんですが、とりあえずはパズルの答を。

掛け算から足し算を作る方法は、上記論文に驚くほどバカ丁寧に書いてあります。予備知識を少なくしようと、大変な気の使いようです。が、おそらくTeXのマクロに埋め込まれている日付を直してないのでしょう、今年（2010年）の論文なのに、日付は1997年。そのへんはコンヌ御大、まったく気を使ってないようです。

アラズモガナかも知れないけど、以下にコンヌ＆コンサニ論文の引き写しをします。原文と微妙に違っていますが、本質的な違いはありません。

まずはサクセッサの公理を再掲します。掛け算は「×」を省略して並べる（ときに空白をはさむ）だけ、xの逆数はx'と記しています。

[sの公理1] sは全単射である。
[sの公理2] s(0) = 1
[sの公理3] s(x s(yx')) = x s(s(y)x')

このなかで、全単射性は引き算を作るときに必要なだけなので、「引き算いらね」として[sの公理1]を使うのはやめます。

以下、定義する足し算を A(x, y) と書きます。

[Aの定義1] y = 0 のときは、A(x, y) := x
[Aの定義2] y ≠ 0 のときは、A(x, y) := y s(xy')

y ≠ 0 ならば、y'（yの逆数）は存在するので、Aはwell-definedです。

上記のごとく定義したAに対して、次を示します。

[結合律] A(A(x, y), z) = A(x, A(y, z))
[単位律] A(x, 0) = x
[可換律] A(x, y) = A(y, x)
[分配律] x A(y, z) = A(xy, xz)

単位律

[Aの定義1]から即座に、A(x, 0) = x は出ます。特に、A(0, 0) = 0 です。可換律があれば、A(0, x) = A(x, 0) = x ですが、可換律がなくても、[Aの定義2]から、A(0, y) = y s(0 y') = y s(0) = y 1 = y となり、他の法則に頼らなくても次は成立します。

A(x, 0) = A(0, x) = x

分配律

分配律は意外に簡単です。

z = 0 のケース：



   x A(y, z) 

 = x A(y, 0) 

 // [Aの定義1]

 = x y


   A(xy, xz) 

 = A(xy, x 0)

 // x 0 = 0

 = A(xy, 0)

 // [Aの定義1]

 = xy
よって、

 x A(y, z) = A(xy, xz)

z ≠ 0 のケース：



   x A(y, z) 

 // [Aの定義2]

 = xz s(yz') 

 // yz' = x(yz')x' を使う

 = xz s(xyz'x')

 // z'x' = (xz)'

 = (xz)s(xy(xz)')

 // [Aの定義2]を逆向きにたどる

 = A(xy, xz)

可換律

[sの公理3] s(x s(yx')) = x s(s(y)x') のyを0にすると：

s(x s(0)) = x s(s(0) x')

[sの公理2] s(0) = 1 と使えば：

s(x) = x s(x')

この公式を使って可換律を示します。y = 0 のときの A(y, x) = A(x, y) は単位律から自明です。単位律は可換律に依存してないので、ここで単位律を使ってもOK。



y ≠ 0 と仮定して：
   A(x, y)

 // [Aの定義2]

 = y s(xy')

 // 上の公式

 = y (xy')s((xy')')

 // 結合律と (xy')' = x'y

 = yxy' s(x'y)

 // yxy' = xyy' = x と可換律

 = x s(yx')

 // [Aの定義2]

 = A(y, x)

結合律

結合律が一番難しいです。まずは予備的な計算。



 x ≠ 0 を仮定して：
   A(A(x, y), z)

 // [可換律]

 = A(A(y, x), z)

 // [Aの定義2]

 = A(x s(yx'), z)

 // [Aの定義2]

 = z s(x s(yx') z')

 // z'の位置を変える

 = z s(xz' s(yx'))



 z ≠ 0 を仮定して：
   A(x, A(y, z))

 // [可換律]

 = A(A(y, z), x)

 // [Aの定義2]

 = A(z s(yz'), x)

 // [Aの定義2]

 = x s(z s(yz') x')

 // zの位置を変える

 = x s(s(yz') zx')

x, zがゼロになる特殊ケースは別に扱うことにして、x ≠ 0 and z ≠ 0 を仮定した上で次が示せればいいことになります。