線形写像、平面の線形変換（R2→R2）に限ってもいいのだけど、それを初等幾何だけで定義するとどうなるのでしょう。
初等幾何ってのは、昔は中学校でやっていた図形のお勉強です。今はどうなんだろう、なくなったのかな。2300年ほど前のユークリッド（エウクレイデス）の流儀による幾何学ですね＞初等幾何。
んで線形変換の条件ですけど、まず、「原点を原点に移す（写す）」って条件がありそう。ただし、これをはずしてもアフィン変換になりゃいいので、あんまり本質的ではありません。「直線を直線に移す」-- これはないとダメだろう。A, B, Cが直線上の3点のとき、「AB : BC の比が保存する」ってのを入れると、いきなりスカラー乗法の保存が出てきますが、直接的過ぎてなんかつまらない。「中点が中点に移る」でもなんとかなりそう、でも連続性が必要になってしまうか。
「平行直線（2本）は平行直線に移る」とか「直線の交点は交点に移る」とかもないとダメそう。僕が最初に考えた条件は、初等幾何っぽくないのですけど、「直線の逆像が直線」 -- これで線形性出てこないかなと思ったけど頓挫した。
これ、問題の設定をちゃんとすると、線形代数とか係数体とかは抜きで、初等幾何（ユークリッド流アフィン幾何）を定義して、そのなかでスカラーとベクトルの足し算・掛け算を再現することになっちゃう気がしますが、もう少し安直であざやかな解決がないのかしら？
