線形代数と色々な行列式関手 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

行列式を圏論的に定義したい、要望としては、行列式を外積代数と関連付けて扱いたい -- と、考えてみたのですが、「これがベスト」という定義には至りませんでした。いくつかの定義を提示します。それぞれに一長一短があります。

この記事で定義する行列式関手は次の4種です。

EndDet₀:EndVect→R
EndDet₁:EndVect→EndVect
EndDet_Λ:EndVect→EndVect
SdDet:SdVect→SdVect

必要な線形代数の復習も適宜手短に入れます。肝心の外積代数の復習が入ってないのですが、Wikipediaの外積代数の項目がなかなかに力作です。

内容：

線形代数の基本的概念
実数を値とする行列式関手
ユークリッド自己射を値とする行列式関手
最高次外ベキの自己射を値とする行列式関手
符号付き密度付きベクトル空間と符号付き体積
符号付き密度付きベクトル空間のあいだの射の行列式
符号付き密度付きベクトル空間の圏上の行列式関手

線形代数の基本的概念

圏の定義は知っているものとします。Cが圏のとき、End_C(A) := C(A, A), Iso_C(A, B) := {f∈C(A, B) | fは同型射〈可逆射〉} と約束します。

ベクトル空間は、R上に有限次元なものだけを考えます。この記事の文脈内では、圏Vectを次のように定義します。

(考えるベクトル空間の圏) = Vect := FdVect_R = (R上の有限次元ベクトル空間の圏)

ベクトル空間Vの順序基底〈ordered basis〉とは、集合としての基底に全順序〈線形順序〉を入れたものです。次の3つの概念は密接に関係しています。

Vの順序基底
写像 {1, 2, ..., n}→V で像が基底となるもの
Rⁿ→V の線形同型写像

順序基底と写像 {1, 2, ..., n}→V は区別せずに同一視し、その全体を OrdBasis(V) とします。Rⁿ→V の線形同型写像はフレーム〈frame〉と呼び、その全体を Frame(V) と書きます。Frame(V) := Iso_Vect(Rⁿ, V) where n = dim(V) です。（'where'は後からの追加説明を書くときに使うキーワード。）

全順序が付いた基底集合 A⊆V は、前段落で注意したように、{1, ..., n}→V ともみなします。これはまた、ベクトルのリスト a = (a₁, ..., a_n) だとも言えます。このリスト（{1, ..., n} からの写像）a に対して、線形写像 ^↑a:Rⁿ→V が一意に決まります。^↑aを、aの引き上げ〈pull-up〉と呼ぶことにします。写像 a:{1, ...,n}→V のお尻（域側）をベクトル空間へと引っ張り上げる感じです。逆に、f:Rⁿ→V に対する写像 _↓f:{1, ..., n}→V を、fの押し下げ〈push-down〉と呼びましょう。引き上げと押し下げは、次のような、随伴を形成する同型ペアです。

Set({1, ...,n}, U(V)) $\cong$ Vect(Rⁿ, V) where Rⁿ = FreeVect({1, ..., n})
→ の向きが引き上げ、← の向きが押し下げ

ここで、U(V) は、ベクトル空間Vの線形構造を忘れた集合〈台集合〉で、Rⁿ は集合 {1, ..., n} から生成された自由ベクトル空間〈free vector space〉とみなします。

この記事では、行列計算の知識を仮定しますが、「数を長方形に並べたもの」としての行列は登場させないことにします。行列に相当し、行列と同一視可能なものとして、Vect(Rⁿ, R^m) の要素、つまり線形写像 Rⁿ→R^m を考えます。このタイプの線形写像を「行列」と呼んでしまうのは抵抗があるので、ユークリッド線形写像〈Euclidean linear map〉、またはユークリッド射〈Euclidean morphism〉と呼ぶことにします*1。具体的な射としてユークリッド射を考えますが、その表現としての「数の長方形」には言及しません。

行列式〈determinant〉 det は、det:End_Vect(Rⁿ)→R という写像だとします。次の性質を満たします。

α, β∈End_Vect(Rⁿ) に対して、det(α;β) = det(α)det(β)
det(id_Rⁿ) = 1
αが可逆 ⇔ det(α) が可逆 ⇔ det(α) が0ではない実数
α が可逆なら det(α^-1) = det(α)^-1

ここで、α;β は射（線形写像）の図式順結合記法で、α;β = β $\circ$ α です。det(α)det(β) は単なる実数の積です。End_Vect(Rⁿ) を、射の結合〈合成〉に関するモノイド、Rを掛け算に関するモノイドとみなしたとき、detはモノイドのあいだのモノイド準同型写像になります。

det:End_Vect(Rⁿ)→R は自然数 n （n = 0, 1, 2, ...）に依存するので、detⁿ:End_Vect(Rⁿ)→R のように書くのが正確ですが、det = detⁿ と省略します。det⁰ は、ゼロ空間 O = {0} の恒等射 id_O に対して det(id_O) = 1 だとします。

実数を値とする行列式関手

圏Cに対して、圏 EndC を次のように定義します。

対象： Obj(EndC) = |EndC| := |C|
ホムセット： EndC(A, A) := End_C(A)
ホムセット： A ≠ B のときは、EndC(A, B) := ∅
射の結合と恒等射は C と同じ。

EndC は C の部分圏になります。

C = Vect と置いて、EndVect を考えます。V ≠ W ならば EndVect(V, W) = ∅ なので、ホムセットは EndVect(V, V) だけを考えれば十分です。

dim(V) = n として、a:Rⁿ→V はフレームだとします。Vのフレームは EndVect の射ではないかも知れませんが、これからの議論で必要です。f:V→V in EndVect として、フレームaによるfの行列式 det_a(f) を定義しましょう。

det_a(f) := det(a;f;a^-1)

右辺のdetは、ユークリッド射に対する通常の行列式です。状況は、次の可換図式のようです。

$\require{AMScd} \begin{CD} {\bf R}^n @>{a;f;a^{-1}}>> {\bf R}^n \\ @V{a}VV @AA{a^{-1}}A \\ V @>{f}>> V \\ \end{CD}$

a, b:Rⁿ→V が2つのフレームであるとき、b = ψ;a となるような ψ:Rⁿ→Rⁿ が存在します。もちろん、ψ = b;a^-1 です。

$\begin{CD} {\bf R}^n @>{\psi = b;a^{-1}}>> {\bf R}^n \\ @V{b}VV @VV{a}V \\ V @= V \\ \end{CD}$

このような ψ = b;a^-1 を b/a と書くことにします。次が成立します。

(c/b);(b/a) = (c/a)
(a/a) = id_Rⁿ
(a/b) = (b/a)^-1
(b/a);a = b

反図式順記法を使っているときは、b/a より a\b がいいでしょう。例えば、a $\circ$ (a\b) = b となります。スラッシュ／バックスラッシュを使う記法は、分数計算が使えて便利ですが、記法の順序と非可換性に注意してください。

さて、det_a(f) と det_b(f) に差があるかどうかを見てみましょう。

$\newcommand{\det}{\mbox{det}}\newcommand{\vol}{\mbox{vol}}\newcommand{\fmap}{\mbox{fmap}} \:\:\:\: \det_b(f) \\ = \det( b;f;b^{-1} ) \\ = \det( ( (b/a);a) ; f ;( (b/a);a)^{-1} ) \\ = \det( (b/a);(a; f ; a^{-1}); (b/a)^{-1} ) \\ = \det( (b/a) ) \det(a; f ; a^{-1}) \det( (b/a)^{-1} ) \\ = \det( (b/a) ) \det( (b/a)^{-1} ) \det(a; f ; a^{-1}) \\ = \det( (b/a) ) \det( (b/a) )^{-1} \det_a( f ) \\ = 1\cdot \det_a( f ) \\ = \det_a(f)$

det_a(f) はフレーム a の選び方によらずに決まるので det(f) と書きます。det:EndVect(V, V)→R は、Vが何であっても定義できるので、次の関手を定義できます。

EndDet₀:EndVect(V, V)→R

ここで、矢印の右のRは、掛け算モノイドとしてのRを単対象の圏とみなした圏です。Rの唯一の対象を（何でもいいけど）0 とすると：

V∈|EndVect| に対して、EndDet₀(V) := 0
f:V→V in EndVect に対して、EndDet₀(f) := det(f)

このように定義した EndDet₀:EndVect(V, V)→R が関手であることは容易に確認できます。これが第一の行列式関手〈determinant functor〉です。

ユークリッド自己射を値とする行列式関手

前節の EndDet₀ では、関手の余域である圏は掛け算モノイドであるRを圏とみなした圏でした。EndDet₁ では、EndDet₀をわずかに変更して、EndDet₁:EndVect→EndVect とします。次のように定義します。

V∈|EndVect| に対して、EndDet₁(V) := R
f:V→V in EndVect に対して、EndDet₁(f) := (det(f):R→R)

EndDet₁(V) の定義では、Rを1次元のベクトル空間とみなすので、EndDet₁(V)∈|EndVect| です。EndDet₁(f) は、R→R という線形写像ですが、実数 det(f) は、掛け算することにより線形写像だとみなします。EndDet₁(f) は、1次元ユークリッドベクトル空間のユークリッド自己射（自己射であるユークリッド射）です。

以上により、第二の行列式関手〈determinant functor〉が定義できました。第二の行列式関手は、EndVect上の自己関手〈endofunctor〉です*2。

最高次外ベキの自己射を値とする行列式関手

ベクトル空間 V （dim(V) = n）に対して、Λⁿ(V) を、Vの最高次外ベキ〈the top exterior power of V〉と呼びます。これは、Vが何であっても1次元ベクトル空間になります。dim(V) = 0 のときも、Vの最高次外ベキ Λ⁰(V) はRになるので確かに1次元です。

関手 EndDet_Λ:EndVect→EndVect を次のように定義します。

V∈|EndVect| に対して、EndDet_Λ(V) := Λⁿ(V) where n = dim(V)
f:V→V in EndVect に対して、EndDet_Λ(f) := (det(f):Λⁿ(V)→Λⁿ(V))

EndDet_Λ(V) の定義では、Vの最高次外ベキは1次元ベクトル空間なので、EndDet_Λ(V)∈|EndVect| です。EndDet_Λ(f) = det(f) は、スカラー倍する作用により線形写像 Λⁿ(V)→Λⁿ(V) だとみなします。

以上により、第三の行列式関手〈determinant functor〉が定義できました。第三の行列式関手も、EndVect上の自己関手〈endofunctor〉です。

[追記]
多様体の向きの定義のときに出てきた Λ^m(TM) （m = dim(M)）というベクトルバンドルは、行列式直線バンドル〈determinant line bundle〉というそうです。

https://ncatlab.org/nlab/show/determinant+line+bundle

となると、ベクトル空間 V に対する Λⁿ(V) （n = dim(V)）はVの行列式直線〈determinant line〉と呼べばいいのでしょう。
[/追記]

符号付き密度付きベクトル空間と符号付き体積

Vをベクトル空間として、Λⁿ(V) は最高次外ベキとします。最高次外ベキ Λⁿ(V) は、Vが何であっても1次元ベクトル空間でした。ゼロではない線形写像 μ:Λⁿ(V)→R を、V上の符号付き密度〈signed density〉と呼びます。符号付き密度μは、Λⁿ(V) の標準双対空間〈canonical dual space〉の要素です； μ∈(Λⁿ(V))^*。ベクトル空間Vと符号付き密度μの組 (V, μ) を符号付き密度付きベクトル空間〈vector space with signed density〉と呼びます -- ぎごちない*3呼び名で恐縮ですが。

(V, μ) を、n次元の符号付き密度付きベクトル空間として、v = (v₁, ..., v_n)∈Vⁿ をV内の平行体〈parallelogon〉とみなして、その符号付き体積〈signed volume〉vol(v) は次のように定義できます。

vol(v) = vol(v₁, ..., v_n) := μ(v₁∧...∧v_n)

定義より、volはn重の交代複線形写像 V×...×V→R です。写像volの域であるn重のVである Vⁿ = V×...×V には、モノイド Vect(Rⁿ, Rⁿ) が作用しています。この作用は、「数の長方形」としての行列を使うと比較的簡単に記述できますが、ユークリッド射だけを用いて定義するなら以下のようになります。

（[追記]以下で、ベクトルのリストを Rⁿ→Vⁿ という写像とみなしていますが、Rⁿ→V とみなしても結果は同じだし、そのほうが簡明でした。「余計なことをしてしまった」と思いますが、間違いでもないのでそのままにしておきます。[/追記]）

ベクトルのリスト v = (v₁, ..., v_n)∈Vⁿ を、Rⁿ→Vⁿ という写像とみなします。同じ記号をそのまま使って v:Rⁿ→Vⁿ と書けば：

For ξ∈Rⁿ, v(ξ) := (v₁ξ¹, ..., v_nξⁿ) ∈Vⁿ

ベクトルのリスト v は、ときに応じて、R→V $\oplus$ ... $\oplus$ V や Rⁿ→V×...×V や Rⁿ→V という写像とみなされます。この「みなし」が暗黙的に行われるし、記号も変えないので紛らわしいので要注意。この節の最後に補足説明を入れているので、混乱したら読んでみてください。

今は、v = (v₁, ..., v_n) を v:Rⁿ→Vⁿ とみなすと、ユークリッド射 α:Rⁿ→Rⁿ を前結合〈pre-composition〉できます。(α, v) $\mapsto$ α;v を、Vect(Rⁿ, Rⁿ)×Vect(Rⁿ, V)→Vect(Rⁿ, V) というモノイド左作用とみなします。反図式順記法なら、右作用 Vect(Rⁿ, V)×Vect(Rⁿ, Rⁿ)→Vect(Rⁿ, V) のほうが（記法として）自然でしょう。

Vⁿ 上のR値交代複線形写像〈交代複線形形式〉である det は、ユークリッド自己射のモノイド Vect(Rⁿ, Rⁿ) = End_Vect(Rⁿ) の作用に対してどう反応するでしょうか？それは次の公式で与えられます。

vol(α;v) = det(α)vol(v)

αによる前結合（という作用）が、det(α)による掛け算として反応します。外積代数ありき、ならば、これが行列式の定義だとも言えます（符号付き密度μの分の任意性がありますが）。これは、直感的には明らかそうですが、外積代数でマジメに計算しないと出てきません。詳細は割愛します。

[補足]
ベクトル空間Vの要素からなる長さnのリスト（またはタプル）とは、直積 Vⁿ の要素のことです。リストを写像とみなす場面と方法がたくさんあります。それらを列挙します。

Vⁿ $\cong$ Map({1, ..., n}, V)

右辺を圏論的に書けば、忘却関手をUとして、Set({1, ..., n}, U(V)) です。この同型は、同一視（イコール扱い）が多いと思います。

Vⁿ $\cong$ Vect(R, Vⁿ)

これは、Vⁿの要素（集合を離散圏とみての対象）a をポインティング写像 a^~ とみなす同型です。僕は格上げと呼んでいます（「圏論の計算を劇的に簡単にするための考察 (1) // 格上げ操作」参照）。このときの直積 Vⁿ は、直和 V $\oplus$ ... $\oplus$ V とみなすほうが適切でしょう。

Vⁿ $\cong$ Vect(Rⁿ, V)

これは、随伴に伴う同型 Set({1, ..., n}, U(V)) $\cong$ Vect(FreeVect({1, ..., n}, V) です。この記事の最初の節で述べたように、a∈Set({1, ..., n}, U(V)), f∈Vect(FreeVect({1, ..., n}, V) に対して、引き上げ ^↑a と押し下げ _↓f で同型を表します（この記事での記法）。

Vⁿ→Vect(Rⁿ, Vⁿ)

この節で述べた対応です。同型とは限りませんが埋め込みです。この対応を仮に (-)^◇ で表すことにすると、a∈Vⁿ に対して a^◇:Rⁿ→Vⁿ です。^↑a と a^◇ の関係は次の可換図式で表されます。Σは、n個のベクトルの総和をとる写像です。

$\begin{CD} {\bf R}^n @>{{\bf a}^{\diamond} }>> V^n \\ @| @VV{\Sigma}V \\ {\bf R}^n @>{^\uparrow{\bf a} }>> V \\ \end{CD}$

ベクトルの集合 {a₁, ..., a_n}、リスト a = (a₁, ..., a_n)、各種の写像 a^~, ^↑a, a^◇、そして平行体のような幾何的イメージをいつも区別するのは煩雑過ぎますが、一度は区別して理解しておくことをおすすめします。
[/補足]

符号付き密度付きベクトル空間のあいだの射の行列式

(V, μ), (W, ν) を符号付き密度付きベクトル空間として、dim(V) = dim(W) = n だとします。f:V→W は任意の線形写像とします。リスト a = (a₁, ..., a_n)∈Vⁿ に対する集合 {a₁, ..., a_n} は基底になっているとします。別な言い方をすると、a は順序基底とみなせて、引き上げ ^↑a:Rⁿ→V は同型射〈フレーム〉です。

順序基底 a に対して、det_a(f) を次のように定義します。

det_a(f) := vol(f(a₁), ..., f(a_n))/vol(a₁, ..., a_n)

a = (a₁, ..., a_n) は順序基底なので、分母の vol(a₁, ..., a_n) = μ(a₁∧...∧a_n) は0にはなりません。分子の vol(f(a₁), ..., f(a_n)) = ν(f(a₁)∧...∧f(a_n)) が0になることはあり得ます。det_a(f) は、平行体とみなした順序基底 a の符号付き体積と、その平行体をfで移した〈写した〉平行体の符号付き体積との比です。

det_a(f) は、順序基底 a に依存して定義されています。が、det_a(f) は a の取り方によりません。それを確認しましょう。

f:V→W から誘導される写像 Vⁿ→Wⁿ を fmap(f) とします。'fmap'は一部のプログラミング言語で使われるキーワードです（もう、記号が尽きてきたので）。

fmap(f)(v) = fmap(f)(v₁, ..., v_n) := (f(v₁), ..., f(v_n))

前節で説明したように、モノイド Vect(Rⁿ, Rⁿ) は、前結合により集合 Vect(Rⁿ, Vⁿ) に作用します。リスト v∈Vⁿ を、Vect(Rⁿ, Vⁿ) の要素とみなした場合に、次の公式が成立します。

For α∈Vect(Rⁿ, Rⁿ), fmap(f)(α;v) = α;(fmap(f)(v))

つまり、モノイド Vect(Rⁿ, Rⁿ) による左作用（書き方によっては右作用）が fmap(f) により保存されます。写像 fmap(f) が、モノイド作用に対して同変〈equivariant〉である、とも言います。

符号付き体積は、完全に同変ではありませんが、行列式 det を介しての同変と言えます。

For α∈Vect(Rⁿ, Rⁿ), vol(α;v) = det(α)vol(v)

これらの、同変性を使うと、次の等式が出ます。

vol(fmap(f)(ψ;a)) = det(ψ)vol(fmap(a))

$\:\:\:\: \vol(\fmap(f)(\psi ; {\bf a})) \\ = \vol (\psi ; \fmap(f)({\bf a})) \\ = \det(\psi) \vol(\fmap(f)({\bf a})) \\$

これから、目的の等式が得られます。a, b はリストですが、順序基底／フレームともみなします。a を b に変換するユークリッド射は b/a と書きます。

det_a(f) = det_b(f)

$\:\:\:\: \det_{\bf b}(f) \\ = \vol(\fmap(f)({\bf b})) / \vol({\bf b}) \\ = \vol(\fmap(f)( ({\bf b}/{\bf a});{\bf a} )) / \vol( ({\bf b}/{\bf a});{\bf a} ) \\ = \vol( ({\bf b}/{\bf a});\fmap(f)( {\bf a} )) / \vol( ({\bf b}/{\bf a});{\bf a} ) \\ = \det({\bf b}/{\bf a}) \vol( \fmap(f)( {\bf a} )) / \det({\bf b}/{\bf a}) \vol({\bf a}) \\ = \vol( \fmap(f)( {\bf a} )) / \vol({\bf a}) \\ = \det_{\bf a}(f)$

これで、f:V→W に対して、順序基底を指定せずに det(f)∈R が一意に定義できました。

符号付き密度付きベクトル空間の圏上の行列式関手

符号付き密度付きベクトル空間の圏をSdVectとします。SdVectの対象は符号付き密度付きベクトル空間ですが、射は何の制限も付けない任意の線形写像です。SdVectの対象は、平行体に対する体積測度（ただし符号付き）を備えたベクトル空間とみなせます。線形代数と測度論の中間に位置する存在物ですね。

圏SdVect上で定義された行列式関手 SdDet:SdVect→SdVect を定義しましょう。前節で定義した det(f) を使います。

(V, μ)∈|SdVect| に対して、SdDet(V, μ) := (Λⁿ(V), μ) where n = dim(V)
f:V→W in SdVect, div(V) = dim(W) = n のとき、SdVect(f) = (det(f):Λⁿ(V)→Λⁿ(W))
f:V→W in SdVect, div(V) ≠ dim(W) のとき、SdVect(f) = (0:Λⁿ(V)→Λⁿ(W))

説明を追加します：

Vが何であれ、Λⁿ(V) は1次元ベクトル空間です。1次元ベクトル空間の最高次外ベキは、その1次元ベクトル空間自身なので、Λ¹(Λⁿ(V)) = Λⁿ(V) 。したがって、μ:Λⁿ(V)→R は Λⁿ(V) 上の符号付き密度となり、(Λⁿ(V), μ) は符号付き密度付きベクトル空間です。
前節で定義した det(f) は実数ですが、スカラー倍作用により Λⁿ(V)→Λⁿ(W) とみなします。
次元が違うベクトル空間のあいだの写像 f:V→W where dim(V) = n, dim(W) = m に対しては、ゼロ写像 Λⁿ(V)→Λ^m(W) を対応させます。