昨日話題にした4値の論理ですけど、短絡評価をしないことにして論理AND（∧）の真偽表を書いてみると：
| ∧ | true | false | indef | ⊥ |
|---|---|---|---|---|
| true | true | false | indef | ⊥ |
| false | false | false | false | ⊥ |
| indef | indef | false | indef | ⊥ |
| ⊥ | ⊥ | ⊥ | ⊥ | ⊥ |
この演算に、別な解釈を与えてみます。
一般に、集合A上に二項演算 ○:A×A→A があるとき、この二項演算を、Aのベキ集合 Pow(A) 上に持ち上げることができます。Pow(A)×Pow(A)→Pow（A）の演算 ◎ を次のように定義します。
- X⊆A、Y⊆A に対して、X◎Y = {x○y | x∈X, y∈Y}
新しく定義した演算◎も、もとの演算と同じ記号○を使ってしまうことが多いですね（記号の乱用）。つまり、X○Y = {x○y | x∈X, y∈Y} 。典型的な例は、文字列の連接演算を、文字列集合の演算に持ち上げることです。文字列集合は形式言語理論の意味で「言語」と呼ぶので、言語の連接演算が定義できます。
さて、二元集合 {true, false} の上の二項演算∧（論理AND）を、ベキ集合に持ち上げてみます。{true, false} のベキ集合は4元集合で、{{}, {true}, {false}, {true, false}} です。いくつかの計算例を見てみると：
- {} ∧ {true} = {}
- {true} ∧ {false} = {true∧false} = {false}
- {true} ∧ {true, false} = {true∧true, true∧false} = {true, false}
- {true, false} ∧ {false} = {true∧false, false∧false} = {false, false} = {false}
次のように対応させると、演算∧は、先の4値論理とベキ集合で同じ定義になっています。
| 4値の論理 | ベキ集合 |
|---|---|
| ⊥ | {} |
| true | {true} |
| false | {false} |
| indef | {true, false} |
論理AND演算による「値」ではなくて、「値の可能性」を考えてみると次のように言えます。
- 結果が ⊥ のときは何の値も出力されないので空集合 {}
- 結果が true のときは出力された値の集合はシングルトンで {true}
- 結果が false のときも出力された値の集合はシングルトンで {false}
- 結果が indef のときは両方の可能性を保留して中断したと考えれば、可能な値の集合は {true, false}
いちおう、それらしい解釈となります。
